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#26 21-02-2020 10:50:32

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Re,

le vecteur $\overrightarrow {OD}$ a pour coordonnées (0;4)

Ce qui veut dire que tu as placé un point D(0;4). C'est faux.
Tu n'es pas concentré ou mal réveillé : as-tu vérifié sur ton dessin  que ABCD avec A(-2; 0), B(2;0), C(2;4) et D(0;4) que ABCD est un carré ? Réponse : non.
Enoncé : On considère les points A(-2;0), B(2,0) (...) et les points C et D (d'ordonnées positives) tels que ABCD soit un carré .

est - ce qu'il faut montrer que O,D et D' sont alignés ?

M'enfin ???? l'énoncé dit 
* h homothétie centre O et de rapport k
* Déterminer les coordonnées de D'=h(D), soit D' image de D dans cette symétrie.
* Que peux-tu écrire grâce aux * précédents en utilisant la définition de cette homothétie appliquée aux points D et D' ?
Alors réponds toi-même à ta question.
Ne t'y trompe pas, j'attends bien que tu répondes à ta question et que tu la justifies dans ton prochain post...

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#27 21-02-2020 11:51:56

yannD
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Re : Trouver une forme général

Oui, en traçant le vecteur $\overrightarrow{OD} : (0\,;\,4)$,  le vecteur  est à la vertical ce qui me donne un point qui est sur l'axe des ordonnées, (mal réveillé..)

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#28 21-02-2020 12:17:41

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Yoshi a écrit :
YannD a écrit :

est - ce qu'il faut montrer que O,D et D' sont alignés ?

M'enfin ???? l'énoncé dit 
* h homothétie centre O et de rapport k
* Déterminer les coordonnées de D'=h(D), soit D' image de D dans cette symétrie.
* Que peux-tu écrire grâce aux * précédents en utilisant la définition de cette homothétie appliquée aux points D et D' ?
Alors réponds toi-même à ta question.
Ne t'y trompe pas, j'attends bien que tu répondes à ta question et que tu la justifies dans ton prochain post...

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#29 21-02-2020 18:12:52

yannD
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Re : Trouver une forme général

Bonsoir Yoshi, pour montrer que D' appartient à (L) , question (b), il suffit de calculer la longueur OD'...
Et pour les coordonnées de D', il faut calculer les coordonnées de $\overrightarrow{OD}$
Donc avec un point D de coordonnées (-2;4) puisque A et D sont sur une même verticale d'équation x = - 2
$\overrightarrow{OD} = (x_D-x_O\,;\,y_D-y_O) $
comme $x_O = y_0 = 0$
$\overrightarrow{OD} : (-2\,;\,4)$

$\overrightarrow{OD'} = k \overrightarrow{OD} <=> x.\vec i + y.\vec j = \frac{\sqrt{5}}{5}. \left(-2.\vec i+ 4.\vec j\right)$
$x.\vec i+ y.\vec j = \frac{-2\sqrt{5}}{5} .\vec i+ \frac{4\sqrt{5}}{5}.\vec j$
D'où :
$x = \frac{-2\sqrt{5}}{5}$
$y = \frac{4\sqrt{5}}{5}$

(b) Montrer que D' appartient à (L).
Calcul de la longueur OD' :
$OD'=\sqrt{(x_{D'}-x_O)^2+(y_{D'}-y_O)^2} $

$x_O=y_O=0$

$OD' = \sqrt{\left(\frac{-2\sqrt{5}}{5}\right)^2 + \left(\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)^2}$

$OD' = \sqrt{\frac{(-2)^2\times 5}{25} + \frac{(4)^2\times 5}{25}}$

$OD' = \sqrt{\frac{20}{25}+\frac{80}{25}}= \sqrt{\frac{100}{4}} = 2$

Comme il a été démontré, à la question 1.(c) que le cercle a pour rayon 2 alors D' est bien sur le cercle

Dernière modification par yannD (21-02-2020 18:17:49)

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#30 21-02-2020 19:42:27

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Re,

Oui, mais je te l'ai dit, je n'ai pas l'intention de lâcher le morceau.
Je n'ai pas la réponse à ma question, donc je la reposerai (ad nauseam si nécessaire, jusqu'à ce que tu répondes :

Yoshi a écrit :
Yoshi a écrit :
YannD a écrit :

est - ce qu'il faut montrer que O,D et D' sont alignés ?

M'enfin ???? l'énoncé dit 
* h homothétie centre O et de rapport k
* Déterminer les coordonnées de D'=h(D), soit D' image de D dans cette symétrie.
* Que peux-tu écrire grâce aux * précédents en utilisant la définition de cette homothétie appliquée aux points D et D' ?
Alors réponds toi-même à ta question.
Ne t'y trompe pas, j'attends bien que tu répondes à ta question et que tu la justifies dans ton prochain post...

Je reviendrai, l'exercice une fois fini, sur une autre façon de montrer que C'   est sur le demi-cercle (L) : avec un raisonnement sans calculer OC' : juste pour te montrer que les calculs (qui ici - une fois n'est pas coutume - sont le moyen le plus court et le plus facile de répondre) ne sont pas toujours une fatalité ;-)

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#31 21-02-2020 19:58:16

yannD
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Re : Trouver une forme général

Bonsoir Yoshi, je crois que je ne comprends pas bien ce que c'est une homothétie, et j'ai plus l'habitude de travailler avec des vecteurs
donc il faut que tu me ré-expliques ce que tu me demandes
-----------------------------------------------------------------------------------------
ceci n'a rien à voir avec les maths, mais on avait parlé de musique, alors, comme ce sont les vacances je te propose de regarder ce lien : https://www.youtube.com/watch?v=YqQ2sODxH3o
mais comme ça n'a rien à voir avec les maths, je supprimerais  immédiatement le lien si  tu me le demandes,

Dernière modification par yannD (21-02-2020 20:20:27)

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#32 21-02-2020 20:19:37

yoshi
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Re : Trouver une forme général

On va faire simple :
si je te dis qu'un point D' est l'image d'un point D dans une homothétie de centre O et de rapport k, par quelle égalité contenant des vecteurs peux-tu traduire cette phrase ? (1)

Si je te dis que 3 points O, D', D appartiennent la même droite, donc sont colinéaires, comment le traduis-tu avec des vecteurs d'origine O ?
(2)

Compare les deux égalités vectorielles (1) et (2). Qu'est-ce tu peux en dire ?

Donc, sachant que D'=h(d) où h est l'homothétie de centre O et de rapport k, que réponds-tu à la question :
est-ce qu'il faut montrer que O, D' et D sont alignés ?


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#33 22-02-2020 20:48:47

yannD
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Re : Trouver une forme général

Bonsoir Yoshi,

l'égalité (1) est $\overrightarrow{OD'} = k. \overrightarrow{OD}$
et si O, D,D' sont placés sur une  même droite alors $\overrightarrow{OD'} =k.\overrightarrow{OD}$ et les 2 égalités sont équivalentes .

Dernière modification par yannD (22-02-2020 20:49:53)

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#34 22-02-2020 20:57:42

yoshi
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Re : Trouver une forme général

C'est plus qu'équivalentes  :
c'est la même dans le cas où on dit que $D'= h_O(D)$ ou que les vecteurs $\overrightarrow{OD'}$ et  $\overrightarrow{OD}$ sont ..?.. (à compléter)

Conclusion ?


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#35 22-02-2020 21:27:39

yannD
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Re : Trouver une forme général

les vecteurs $\overrightarrow{OD}$ et $\overrightarrow{OD'}$ sont colinéaires
et la conclusion : je n'ai pas à me poser la question de savoir si je dois montrer que les points sont alignés, le seul fait de le dire que les vecteurs sont colinéaires suffit

Dernière modification par yannD (22-02-2020 21:30:03)

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#36 23-02-2020 09:43:02

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Re,

Oui mais c'est la partie la lus visible de la réponse, celle qui a fait que je t'ai asticoté...^_^
Mais il faut voir plus loin, jeune-homme :
Si deux vecteurs $\overrightarrow{OC}$ et $\overrightarrow{OC}$ sont colinéraires, alors il existe $k \in \mathbb R$ tel que $\overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{OC}$. Il existe donc une ....?..... qui transforme C en D.

Dans une homothétie de centre O et de rapport k ($k \in \mathbb R$), si deux points C et D sont tels que  D=h_O(C)  alors les vecteurs  $\overrightarrow{OC}$ et $\overrightarrow{OC}$ sont ...?.... (donc les points O, C, D sont ...?...)

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#37 24-02-2020 15:39:48

yannD
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Re : Trouver une forme général

Bonjour Yoshi, j'ai complété :
Si deux vecteurs $\overrightarrow{OC}$ et $\overrightarrow{OC}$ sont colinéraires, alors il existe $k \in \mathbb R$ tel que $\overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{OC}$. Il existe donc une  translation qui transforme C en D.

Dans une homothétie de centre O et de rapport k ($k \in \mathbb R$), si deux points C et D sont tels que  $D=h_O(C) $ alors les vecteurs  $\overrightarrow{OC}$ et $\overrightarrow{OD}$ sont colinéaires (donc les points O, C, D sont alignés

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#38 24-02-2020 15:56:46

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Bonjour,

Si deux vecteurs $\overrightarrow{OC}$ et $\overrightarrow{OC}$ sont colinéraires, alors il existe $k \in \mathbb R$ tel que $\overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{OC}$. Il existe donc une  translation qui transforme C en D.

Une translation avec k ? Que nenni ! Sûrement pas !!!
N-B : La translation conserve les longueurs...
Et si k=1, alors $\overrightarrow{OD}=1.\overrightarrow{OC}$ et C et D sont deux noms différentspour le même points, ils sont superposés, C = D...
Si D est le transformé de C dans une translation de vecteur directeur $\vec V$ alors $\overrightarrow{CD}=\vec V$
Si D est le transformé de C dans une translation de vecteur directeur $\overrightarrow{OA}$ alors $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OA}$
Si D est le transformé de C dans une translation de vecteur directeur $\overrightarrow{EF}$ alors $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EF}$....

La bonne réponse était :
Si deux vecteurs $\overrightarrow{OC}$ et $\overrightarrow{OC}$ sont colinénaires, alors il existe $k \in \mathbb R$ tel que $\overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{OC}$. Il existe donc une homothétie de centre O et de rapport k qui transforme C en D.

Ce que je voulais que tu voies c'est le lien entre homothétie et vecteurs colinéaires.
Lorsque tu as :
$\overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{OC}$ avec $k\neq 1$
tu peux aussi bien conclure à la colinéarité qu'à l'existence d'une homothétie qui transforme C en D...
Si k=1, pas d'homothétie au sens où on l'entend généralement, pas de translation au sens où on l'entend généralement, c'est la transformation Identité qui transforme C en lui-même...
Alors, oui O, C et D sont bien alignés parce qu'il n'y a que deux points O et C et que 2 points, passe toujours une droite (et une seule)...


Bon, et la suite ?

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#39 24-02-2020 16:34:29

yannD
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Re : Trouver une forme général

j'ai trouvé les coordonnées du point D', et les coordonnées de A' et de B' qui montrent bien que A'B'C'D' est un carré

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#40 24-02-2020 21:44:58

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Bonsoir,

A part calculer la longueur OD', il y avait une autre méthode pour montrer que D' est sur demi-cercle (L).
Se souvenir d'abord que l'homothétie conserve le le parallélisme, les angles, les milieux..., que toutes longueurs sont dans le même rapport k.
Ainsi
Dans une homothétie h de centre O et de rapport k, si 4 points A, B, C, D sont tels  que B=h(A) et D=h(C) alors
$\overrightarrow{OB}= k \overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OD}= k \overrightarrow{OC}$
On peut aussi écrire :
$\overrightarrow{BO}= k\overrightarrow{AO}$
Alors
$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{AO}+k \overrightarrow{OC}=k(\overrightarrow{AO}+ \overrightarrow{OC})= k\overrightarrow{AC}$
Autrement dit les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont colinéaires...
Ici, (AC)//(BD), BD=k AC et $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont de même sens...
Autrement dit, si je prends k=2, dans le triangle OBD, A est le milieu de [OD], B celui de [OD] et $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AC}$ (que je peux écrire aussi $\overrightarrow{AC}=\frac 1 2\overrightarrow{BD}$
Et voilà une démonstration du théorème de la droite des milieux...
Tu vois que l'image du triangle OBA par h est aussi un triangle : OBD.
Et bien l'homothétique d'un losange est aussi un losange, l'homothétique d'un carré est aussi un carré, l'homothétique d'un cercle est aussi un cercle (de rayon [k|r...
                        ----------------------------
Ceci posé, revenons à l'exercice.
Montre que D et C sont sur le demi-cercle (K) de centre O et de rayon $2\sqrt 5$
Montre que le demi-cercle (L) (de centre O et de de rayon OC'=2) est l'image du demi-cercle (K) (de centre O et de rayon $2\sqrt 5$) dans l'homothétie h de centre O et de rapport $k =\dfrac{\sqrt 5}{5}$.
Sachant D'=h(D), conclus que D' est sur le cercle.

C'est beaucoup plus long que ce qui a été fait dans l'exercice, mais bien plus formateur pour toi...
Je bien persuadé que ça susciter chez toi plein de questions.

Alors modification Exercice 1
On considère 3 points A, B , C alignés dans cet ordre et distincts du plan tels que $\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AB}$
Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe une homothétie de  centre un 4e point O et de rapport k à définir qui transforme A en B et B en C.
Plan
Supposons qu'existe cette homothétie.
1. Exprimer $\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OC}$ en fonction de k et $\overrightarrow{OA}$.
2. A partir de l'égalité  $\overrightarrow{AC}-4\overrightarrow{AC}=\vec 0$
   a) A l'aide de la relation de Chasles, décomposer $\overrightarrow{AC}$ et  $\overrightarrow{AB}$ en passant par O.
   b) Développer et réduire
   c) Remplacer $\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OC}$ par leur expression en fonction de $\overrightarrow{OA}$. Factoriser.
   d) En déduire la seule valeur de possible.
3. Montrer que la valeur de k obtenue pour l'homothétie h transforme B en C

N-B : On a montré que notre supposition était exacte pour A et B, mais il faut montrer encore que le rapport trouvé permet à l'homothétie h de transformer B en C...

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Dernière modification par yoshi (25-02-2020 08:18:02)


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#41 25-02-2020 13:17:54

yannD
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Re : Trouver une forme général

Bonjour Yoshi, je te remercie parce que je suis content de ce que tu m'as posté et aussi parce que tu as répondu bien tard..alors, oui , cela a suscité un tas de questionS.   C'est plus un cours que j'ai sous les yeux, j'ai d'abord pensé l'appendre mais à la relecture , c'est une démonstration et je voudrais la faire  en exercice (je suis en vacances donc j'ai tout le tps cette après-midi).
Peux-tu me poser des questions pour que je fasse la démo ?

Dernière modification par yannD (25-02-2020 13:47:32)

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#42 25-02-2020 13:52:29

yannD
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Re : Trouver une forme général

oui, ce que je veux dire, c'est que je ne regarde pas la démo, et je voudrais que tu me la fasse faire en exo..

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#43 25-02-2020 14:22:56

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Tu veux dire

Si on a $\overrightarrow{OB}= k \overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OD}= k \overrightarrow{OC}$ alors $\overrightarrow{BD}= k \overrightarrow{AC}$ ?

Si c'est bien ça :
1. Décomposer $\overrightarrow{BD}$ en passant par O.
2. Exprimer chacun des vecteurs de la somme en fonction de $\overrightarrow{AO}$ et $\overrightarrow{AC}$
3. Factoriser
4. Conclure

@+


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#44 25-02-2020 15:06:09

yannD
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Re : Trouver une forme général

oui, c'est ça !

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#45 25-02-2020 15:33:48

yannD
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Re : Trouver une forme général

j'ai commencé par faire un dessin :
$A\xrightarrow{h_O}B$ : j'ai placé un point A et le point B qui est son image
$C\xrightarrow{h_O}D$ : pareil avec C et D
pour la 1) j'ai décomposer $\overrightarrow{BD} $ en passant par O
c'est la relation de Chasles : $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OD}$
pour la 2) en utilisant la colinéarité , le vecteur $\overrightarrow{BO}$ c'est le vecteur $\overrightarrow{AO}$ multiplié par sa norme donc, on a : $\overrightarrow{BO} = k.\overrightarrow{AO}$
et $\overrightarrow{OD} = k.\overrightarrow{OC}$
en remplaçant dans la 1ère égalité , on obtient :
$\overrightarrow{BD} = k.\overrightarrow{AO}+k.\overrightarrow{OC} $
$\overrightarrow{BD} = k. \left( \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}\right)$

Dernière modification par yannD (25-02-2020 17:25:54)

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#46 25-02-2020 18:04:40

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Oui, et après ?

multiplié par sa norme

Pas du tout ! la norme d'un vecteur c'est sa longueur...
Ici, k est le  rapport d'homothétie !


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#47 25-02-2020 18:11:24

yannD
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Re : Trouver une forme général

donc pour conclure , j'ai mis que le vecteur BD = k vecteur (AC) donc les vecteurs BD et AC sont colinéaires

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#48 25-02-2020 18:14:01

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Oui, et dans le même rapport k


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#49 25-02-2020 18:27:55

yannD
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Re : Trouver une forme général

je dois montrer que B et C sont sur le même demi-cercle ?

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#50 25-02-2020 18:33:53

yoshi
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Re : Trouver une forme général

tu parles de quoi, là ?
Tu es toujours dans la démonstration (finie) ou tu es revenu dans l'exercice n°2 que tu as aussi terminé mais pour lequel, je t'ai unvité à utiliser autre chose que la longueur OD' pour monter que D' est sur (L) ?


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