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#1 15-02-2020 20:01:56

yannD
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Trouver une forme général

Bonsoir,

Partie A. Cas particuliers
Soient 3 points A,B et C.
On considère les homothéties h1 et h2 de centre A et de rapports respectifs k1 = 2 et k2=-3
1. Reproduire la figure en respectant le quadrillage.
- pour passer du point A au point B, il faut descendre de 2 carreaux puis aller vers la droite en comptant 3 carreaux
- pour passer du point A au point C, il faut aller vers la droite en comptant 4 carreaux et monter d'un carreau

2. (a) Construire les images $B_1$ et $C_1$ des points $B$ et $C$ par l'homothétie h1.
    (b) Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AB}$1 en fonction du vecteur $\overrightarrow{AB}$
     (c) Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AC}$1 en fonction du vecteur $\overrightarrow{AC}$

3. (a) Construire les images $B_2$ et $C_2$ des points $B$ et $C$ par l'homothétie h2.
    (b) Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AB}$2 en fonction du vecteur $\overrightarrow{AB}$
    (c) Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AC}$2 en fonction du vecteur $\overrightarrow{AC}$
4. Soit M un point quelconque. On note $M_1$ l'image de M par l'homothétie h1 et $M_2$ l'image de $M$ par l'homothétie h2
   (a) Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AM}$1 en fonction du vecteur $\overrightarrow{AM}$
    (b) Exprimer vecteur $\overrightarrow{AM}$2 en fonction du vecteur $\overrightarrow{AM}$

Partie B. Cas général
    Soit h une homothétie de centre A et de rapport k≠0
Pour tout point M , on note $M'$ l'image de $M$ par l'homothétie h.
Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AM'}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AM}$.

Pouvez-vous m'aidez , x'il vous plait ?

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#2 16-02-2020 12:04:27

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Salut,

Je n'ai pas trop de temps jusqu'à la fin du mois, une revue trimestrielle à compléter (j'ai déjà 8 pages sur 12) en plus de mercredi à dimanche, je ne serai pas chez moi, ce qui ne me facilitera pas la tâche...
Bon, on, va commencer par la fin... à travers quelques  exemples.

Les théorèmes de la droite des milieux (4e). Tu te souviens ?  ^_^
Après en 3e, on t'a dit : ces théorèmes de la droite des milieux et bien c'était un cas particulier du théorème de Thalès, le cas où les rapports communs valaient 1/2 ou 2 (selon l'ordre numérateur/dénominateur).
Avec le théorème de Thalès, il y avait encore deux cas de figure :
- le cas où les deux triangles avaient deux côtés superposés
- le cas qu'on appelait  nœud papillon ou sablier...

https://www.cjoint.com/c/JBqkvqCjlhW

Alors,  on va dire que si tu travailles avec des vecteurs, tu avais là deux formes d'homothéties de centre A et
- dans le premier cas , de rapport positif
- dans le 2e cas, de rapport négatif.

Mais ici, il y a des vecteurs..
Avec Thalès, tu pouvais écrire, sachant que (MN)//(BC), dans l'un ou l'autre cas :
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ parce que c'étaient des longueurs...

Mais le théorème de Thalès que tu connais est un cas particulier d'Homothétie : c'est le cas où le centre d'homothétie est un sommet du triangle...
Mais ce n'est pas toujours le cas :
https://www.cjoint.com/c/JBqkZl6RLbW
Sur l'Homothétie signalée sur le dessin :
$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OA}$  M est l'image de A dans cette Homothétie
$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OB}$   P est l'image de B dans cette Homothétie
$\overrightarrow{ON}=2\overrightarrow{OC}$   N est l'image de C dans cette Homothétie

Mais on pourrait voir l'Homothétie de centre O et de rapport 1/2
$\overrightarrow{OA}=\frac 1 2\overrightarrow{OA}$  A est l'image de M dans cette Homothétie
$\overrightarrow{OB}=\frac 1 2\overrightarrow{OP}$   B est l'image de P dans cette Homothétie
$\overrightarrow{OC}=\frac 1 2\overrightarrow{ON}$   C est l'image de N dans cette Homothétie

Et de façon plus générale, on dit que A' est l'image de A dans une Homothétie de centre O et de rapport k ($k\neq 0$) si $\overrightarrow{OA'}=k.\overrightarrow{OA}$

Tu devrais avoir de quoi démarrer, et éventuellement poser des questions...

@+


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#3 16-02-2020 16:08:21

yannD
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Re : Trouver une forme général

Bonjour Yoshi, je profite des vacances pour revoir des Dm de l'année dernières, et j'ai entrepris ce programme de révision parce que je me perds un peu dans le programme de cette année qui est "chargé " , notamment travail avec les changements de base..
Donc déjà je te remercie d'avoir répondu à ma demande..
Pour les 2 Théorèmes de la droite des milieux, oui, je m'en souviens ( tu m'as bien fait travaillé)
Par contre je ne comprends pas trop quand tu m'expliques que la droite des milieux est un cas particulier mais si tu n'as pas le temps cette semaine, je ne vais pas te déranger pour  cette semaine, je vais déjà travailler sur ce que tu m'as posté..

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#4 16-02-2020 16:24:40

yoshi
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Re : Trouver une forme général

salut,

Oui, la droite des milieux est un cas particulier des théorèmes de Thalès...
Droite des milieux
Dans un triangle ABC, la droite (D) qui passe par M milieu de [AB]  parallèlement à un 2nd côté (mettons [BC]) coupe le 3e côté [AC]en son milieu N et M = BC/2

Compare avec :

Dans un triangle ABC si $M \in (AB),\; N \in (AC) \text{ et }(MN)//(BC)$ alors on peut écrire les rapports égaux suivants :
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$
Ça  c'est le théorème de Thalès général.

Cas particulier :
M milieu de [AB].
Alors $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac 1 2=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$
Puisque
$\dfrac{AN}{AC}=\dfrac 1 2$ alors N est le milieu de [AC]
Et on a aussi $\dfrac{MN}{BC}=\dfrac 1 2$ donc $MN=\dfrac{BC}{2}$

C'est le cas particulier où M est le milieu donc $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac 1 2$...

Mais le théorème de Thalès s'applique aussi avec n'importe quel rapport $\dfrac 1 3,\;\dfrac 1 4,\;\dfrac 2 5,\;\dfrac 3 7,\;\dfrac{11}{8}\cdots$

Mais le théorème de la droite des milieux ne s'applique que si (et seulement si) on a deux milieux : c'est très restrictif...

Quant à l'autre :
Dans un triangle ABC, la droite (D) qui joint les milieux M de [AB] et N de [AC] est parallèle au 3e côté [BC]...

C'est un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès et la précision de la réciproque de Thalès : les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont placés dans le même ordre sur les droites (AB) et (AC), là est inutile :
parce que, en effet avec M milieu de [AB] et N milieu de [AC], les points A? M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont évidemment placés dans le même ordre sur (AB) et (AC)...

@+


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#5 16-02-2020 20:07:22

yannD
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Re : Trouver une forme général

Bonsoir Yoshi, est-ce que tu es d'accord pour me faire travailler sur les homothéties ?
As-tu un exercice, ou un de tes Dm qui pourrait s'apparenter à la 2e figure que tu m'as donné ..
mais c'est si tu as le temps, comme ça je pourrais bosser dessus et je te dirais ce que j'ai fait quand tu auras fini ton travail

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#6 17-02-2020 20:11:08

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Salut,

En voilà 2

On considère 3 points A, B et C tels que $\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AB}$.
Montrer qu'il existe une unique homothétie qui transforme A en B et B en C.
La définir.

-------------------------------------------

On considère les points A(-2;0), B(2,0) et $C'\left(\frac{2\sqrt 5}{5}\,;\,\frac{4\sqrt 5}{5}\right)$ et les points C et D (d'ordonnées positives) tels que ABCD soit un carré et le demi-cercle (L) de diamètre [AB] appartenant au même demi plan que le carré.
1. a) Montrer que le point C' appartient à la droite (OC).
    b) Calculer OC'.
    c) En déduire que C' est l'intersection de (OC) et de (L)
2. On considère l'homothétie h de centre O qui transforme C en C'.
    a) Quel est le rapport de l'homothétie h ?
    b) Déterminer les coordonnées de D'=h(D). Montrer que D' appartient à (L).
    c) Déterminer les coordonnées de A'=h(A) et de B'=h(B).
    d) Montrer que A'B'C'D' est un carré.

@+


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#7 18-02-2020 14:45:50

yannD
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Re : Trouver une forme général

Bonjour Yoshi, je te remercie d'avoir répondu à ma demande.
Hier après-midi,j'ai travaillé sur le # 4 et j'ai besoin de précision quand tu expliques que c'est un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalés.
Je suis en train de commencer les exercices que tu m'as donné.

Dernière modification par yannD (18-02-2020 14:46:57)

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#8 18-02-2020 18:06:44

yoshi
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Re : Trouver une forme général

re,

Parce que le #4 ne suffit pas ???? Tu exagères...
cas général    :
   Théorème de Thalès qui marche dans tous les cas, peu importe où sont placés les points M et N sur(AB) et (AC) pourvu que (MN)//(BC)
cas particulier :
   M milieu de [AB], N sur (AC) et (MN)//(BC) : c'est le théorème correspondant de la droite des milieux.

Au lieu d'utiliser le théorème de la droite des milieux pour conclure N milieu de [AC] on peut utiliser le théorème de Thalès, écrire les rapports égaux et comme M milieu on conclut que $\dfrac{AM}{AB}= \dfrac 1 2$  et que par conséquent comme
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ aloprs ces 3 rapports valent $\dfrac 1 2$.
On en tire comme conclusion :
$\dfrac{AN}{AC}=\dfrac 1 2 \iff AN =\dfrac{AC}{2}\iff N milieu de [AC]$

$\dfrac{MN}{BC}=\dfrac 1 2 \iff MN =\dfrac{BC}{2}$

Même conclusions que le th. de la droite des milieux en plus long...

Dans le cas de la réciproque de Thalès :
A, M, N alignés dans le même ordre que A,N, C  + calcul de $\dfrac{AM}{AB}$ et de  $\dfrac{AN}{AC}$ séparés montrant que $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ (bien sûr il faut que tu aies les valeurs de AM, AB, AN, AC sinon pas de calcul des quotients possible) alors conclusion (MN)//(BC).

Droite des milieux.
Tu as besoin de 2 milieux.
M milieu de [AB], N milieu de [AC] ==> (MN) //(BC)
C'est bien plus rapide...
Seulement voilà ça ne peut être utilisé que si tu sais (ou que tu as montré) que M et N sont des milieux (rapport $\frac 1 2$)

La réciproque de Thalès marche avec n'importe quelle valeur du rapport pourvu que tu aies pu montrer que $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$  : M et N ne sont pas obligés d'être au milieu de [AB] et de [AC]...

Le 1er exercice est assez difficile : tu vas avoir besoin de la définition d'une homothétie et de la relation de Chasles.
si tu prends k comme rapport, tu dois aboutir à une équation d'inconnue k...

@+

Dernière modification par yoshi (18-02-2020 19:26:37)


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#9 18-02-2020 19:33:03

yannD
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Re : Trouver une forme général

Bonsoir Yoshi, moi quand je vais dans la famille où il n'y a pas de box, et bien je me sers du téléphone comme routeur, as-tu essayé ?
Pour le premier exercice, je ne vois pas comment m'y prendre, alors j'ai commencé le 2e exercice et pour montrer que C' appartient à la droite (OC) pour cela j'ai utiliser la formule de la colinéarité mais je ne trouve pas 0

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#10 18-02-2020 19:41:04

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Re,

Contrordre : je ne pars plus, ma belle-mère est à l'hôpital...

Quelles coordonnées as-tu trouvées pour C ?
Coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{OC'}$ et $\overrightarrow{OC}$ ?
Et on verra où est la probable erreur de calcul...

@+


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#11 18-02-2020 19:54:05

yannD
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Re : Trouver une forme général

Pour les coordonnées du point C, j'ai trouvé (2;4)

Dernière modification par yannD (18-02-2020 19:54:29)

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#12 18-02-2020 20:07:10

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Re,

Oui.
Pourquoi faut-il que je te redemande : Coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{OC'}$ et $\overrightarrow{OC}$ ?

@+


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#13 18-02-2020 20:33:34

yannD
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Re : Trouver une forme général

Distance AB = valeur absolue 0B + OA
Puisque  distance AB =  distance BC = distance CD = distance AD alors $y_B = 4$
J'ai expliqué que les points B et C sont sur une même (droite) verticale qui a pour équation x = 2 d'où $x_B = x_C = 2$

O$(0\,;\,0)$  et C$(2\,;\,4)$

$\overrightarrow{OC} : (x_C-x_O \,;\,y_C-y_O) = (2-0\,;\,4-0) = (2\,;\,4)$

$\overrightarrow{OC'} = (x_C' - x_O\,;\,y_C'-y_O ) = \left(\frac{2\sqrt{5}}{5} - 0\,;\,\frac{4\sqrt{5}}{5}- 0 \right)$
Finalement le vecteur $\overrightarrow{OC'}$ a pour coordonnées $\left(\frac{2\sqrt{5}}{5} \,;\,\frac{4\sqrt{5}}{5} \right)$

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#14 18-02-2020 20:44:21

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Re,

Alors erreur dans la formule ?
Il s'agit de montrer que $\overrightarrow{OC'}=k.\overrightarrow{OC}$ (colinéarité des 2 vecteurs).

Avec :
$x\, =\, 2$            $y\, =\,4$
$x'=\frac{2\sqrt 5}{5}$        $y' =\frac{4\sqrt 5}{5}$

Comment appliques-tu ta formule ?

@+


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#15 18-02-2020 21:29:21

yannD
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Re : Trouver une forme général

je vais refaire la démo

on suppose que $\overrightarrow{OC'} = k.\overrightarrow{OC}$ , qu'il existe un réel k tel que les vecteurs soient colinéaires

ces deux vecteurs s'écrivent

$\overrightarrow{OC'} = x'.\vec i + y'.\vec j$

$\overrightarrow{OC} = x.\vec i + y.\vec j$ d'où $ k.\overrightarrow{OC'} = k.x.\vec i + k.y.\vec j$

$\overrightarrow{OC'} = k.\overrightarrow{OC}<=> x'.\vec i + y'\vec j = kx.\vec i + k.y.\vec j$

$x' = k.x$ et $y' =k.x$

Maintenant je dois montrer que les rapports x/x' et y/y' sont égaux
en remplaçant $x'$ par $k.x$ et $y'$ par $k.x$  et en simplifiant , on trouve k = k
puisque k=k alors x/x' = y/y' et c'est là où je me trompe

c'est xy' - x'y = 0 donc c'est $2\times \frac{4\sqrt{5}}{5} - \frac{2\sqrt{5}}{5}\times 4 = \frac{8\sqrt{5}}{5}- \frac{8\sqrt{5}}{5} = 0$

Dernière modification par yannD (18-02-2020 22:09:51)

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#16 18-02-2020 21:51:45

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Re,

Produits en croix, nom d'une pipe ! Ce qui permet d'arriver à xy'-x'y=0  (xy'=x'y est bon aussi) et là, ça va tout seul...

A demain


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#17 18-02-2020 22:11:29

yannD
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Re : Trouver une forme général

j'ai complété le calcul
A demain

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#18 20-02-2020 13:11:55

yannD
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Re : Trouver une forme général

Bonjour Yoshi, pour la (b), j'ai trouvé une somme de deux fractions  de dénominateur 25
et pour la (c), pour en déduire que C est le point d'intersection de la droite (OC) et du cercle (L), j'ai dis que le cercle qui a pour diamètre [AB] est un cercle de centre O et de rayon 2 ce qui  est même  longueur pour  (OC)

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#19 20-02-2020 14:22:53

yoshi
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Re : Trouver une forme général

RE,


j'ai trouvé une somme de deux fractions  de dénominateur 25

???
Et bien alors, qu'attends-tu pour les additionner et prendre la racine carrée ?
$OC'=\sqrt{(x_{C'}-x_O)^2+(y_{C'}-y_O)^2}$
et comme $x_O=y_O=0$ :
$OC'=\sqrt{(x_{C}')^2+(y_{C'})^2}$

Et tu vas trouver un entier.

@+

[EDIT]

ce qui  est même  longueur pour  (OC)

Non, pour OC' !

Dernière modification par yoshi (20-02-2020 14:24:35)


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#20 20-02-2020 15:23:10

yannD
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Re : Trouver une forme général

$OC' = \sqrt{(x_{C'})^2 +(y_{C'})^2}=\sqrt{\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2+\left(\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)^2}= \sqrt{\frac{4\times 5}{25}+\frac{16\times 5}{25}}= \sqrt{\frac{100}{25}}=\sqrt{4}$

Puisque le cercle a pour diamètre [AB] alors ce même cercle a pour rayon 2
Et comme la longueur OC' = 2 alors C' est bien sur le cercle (L)

Dernière modification par yannD (20-02-2020 15:25:06)

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#21 20-02-2020 17:28:28

yannD
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Re : Trouver une forme général

Pour trouver le rapport de l'homothétie, je considère que les 2 vecteurs sont colinéaires

$\overrightarrow{OC'} = k.\,\overrightarrow{OC}<=> \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\,;\,\frac{4\sqrt{5}}{5}\right) = k.(2\,;\,4)$

$\frac{2\sqrt{5}}{5} = k\,.\,2 <=> \frac{2\sqrt{5}}{5} \times \frac{1}{2} = k<=> k = \frac{\sqrt{5}}{5}$

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#22 20-02-2020 18:17:29

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Bonsoir,

YannD a écrit :

Pour trouver le rapport de l'homothétie, je considère que les 2 vecteurs sont colinéaires

"je considère que"  $\iff$ "je suppose que"
Or, je te rappelle que l'énoncé te dit :

On considère l'homothétie h de centre O qui transforme C en C'.

On considère $\neq$ "on considère que"
Tu n'as pas à supposer que c'est vrai, c'est un fait indiscutable : l'énoncé te donne l'homothétie de centre O et de rapport k et te dit que cette homothétie transforme C en C'.
Donc d'après la définition de l'homothétie, c'est une certitude (pas la conséquence d'une supposition) que $\overrightarrow{OC'}=k.\overrightarrow{OC}$

Ensuite, je te déconseille de présenter ça comme ça :
$\overrightarrow{OC'} = k.\,\overrightarrow{OC}<=> \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\,;\,\frac{4\sqrt{5}}{5}\right) = k.(2\,;\,4)$

Parce que ça, c'est jouer avec les couples et que, sauf erreur, personne encore ne t'a appris à additionner soustraire des couples, multiplier ou diviser des couples par un nombre. Tu l'as fait de manière intuitive, c'est bien, mais attends d'avoir eu des infos là-dessus.
Ecris plutôt
$\overrightarrow{OC'} = k.\,\overrightarrow{OC}\;\iff\; \frac{2\sqrt 5}{5} \vec i + \frac{4\sqrt 5}{5} \vec j=k(2\vec i+4\vec j)$
$\frac{2\sqrt 5}{5} \vec i + \frac{4\sqrt 5}{5} \vec j \;\iff\; 2k\vec i + 4k\vec j$
D'où
$\begin{cases}2k = \frac{2\sqrt 5}{5}\\4k = \frac{4\sqrt 5}{5}\end{cases}$
d'où $k= \frac{\sqrt 5}{5}$
De plus, toi tu as oublié de montrer, préciser que $4k = \frac{4\sqrt 5}{5}\;\iff \;k= \frac{\sqrt 5}{5}$
et que c'était bien le même k dans les... 2 cas ^_^
Donc, tu peux continuer...

@+


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#23 20-02-2020 20:31:38

yannD
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Re : Trouver une forme général

Bonsoir Yoshi, pour la 2(b), il faut lire D'=h(D) comme l'homothétie qui transforme D' en  D
et pour trouver les coordonnées du point D, j'ai utilisé la même égalité que précédemment mais en connaissant la valeur pour k

Dernière modification par yannD (20-02-2020 20:35:22)

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#24 20-02-2020 21:14:15

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Re,

pour la 2(b), il faut lire D'=h(D) comme l'homothétie qui transforme D' en  D

Non tu confonds image et antécédent.
D'=h(D) se lit D' est l'image de D par l'homothétie h...
$D  \xrightarrow{h_O} D'$

Sinon, oui il faut utiliser le k trouvé puisqu'il s'agit de la même homothétie.
C'est $\overrightarrow{OD'}=k.\overrightarrow{OD}$
Pour l'ex 1, je vais créer des questions intermédiaires pour te mettre sur la voie...

@+


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#25 21-02-2020 09:39:38

yannD
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Re : Trouver une forme général

Bonjour, j'ai présenté comme ça pour la question 2
$\overrightarrow{OD} = (x_{D}-x_{O}\,;\, y_{D}-y_{O}) $
et comme $x_O=y_O= 0$
le vecteur $\overrightarrow{OD}$ a pour coordonnées $(0\,;\,4)$

ensuite c'est $\overrightarrow{OD'}=k.\overrightarrow{OD}<=> x.\vec i + y.\vec j = \frac{\sqrt{5}}{5}. 0.\vec i + 4.\vec j$
D'où

|$x = 0$     |
|             |
|$y=\frac{\sqrt{5}}{5}$  |

$\overrightarrow{OA'}=k.\overrightarrow{OA}<=> x\vec i +y.\vec j = \frac{\sqrt{5}}{5} . -2.\vec i+ 0.\vec j $
D'où :
|$x = \frac{-2\sqrt{5}}{5}$ |
|               |
|$y = 0$       |

$\overrightarrow{OB'}=k.\overrightarrow{OB} <=> x.\vec i+y. \vec j = \frac{ \sqrt{5}}{5} . 2.\vec i+ 0.\vec j $
|$x = \frac{ \sqrt{5}}{5}$ |
|            |
|$y=0$    |

ensuite je dois montrer que D' appartient à (L), est - ce qu'il faut montrer que O,D et D' sont alignés ?

Dernière modification par yannD (21-02-2020 10:27:14)

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