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#1 15-02-2020 10:44:52

xXJustiZz
Membre
Inscription : 15-02-2020
Messages : 2

Suite de Grandi

Bonjour,
Il y a un sujet qui me tracasse depuis quelque temps...Sur internet, un professeur tenta de prouver que 0=1. En voici la démonstration:
0=0+0+0+0+...
0=1-1+1-1+1-1+1-1+...
0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...
0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...
0=1+0+0+0+0+0+0+0...
0=1

Il s'avère que le mathématicien Grandi a traité le sujet et que pour que la suite soit correcte, il faut noter 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...-1. Mais pourquoi ?? ?

Une démonstration serait bien cool ! J'ai trouver aucun site qui traite du sujet en français. Merci de votre lecture et de votre engagement !!

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#2 15-02-2020 11:08:15

freddy
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Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 133

Re : Suite de Grandi

Salut,

Comme pour d’autres résultats tout aussi paradoxaux, c’est de la poudre aux yeux car tu manipules des suites de termes infinies, et donc il faut aller jusqu’à bout de la suite pour conclure. Comme elle est infinie, l’éternité ne te suffira pas :-).
D’autres ici démontreront mieux que moi la supercherie.
Bon courage !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#3 15-02-2020 11:48:23

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 133

Re : Suite de Grandi

xXJustiZz a écrit :

Bonjour,
Il y a un sujet qui me tracasse depuis quelque temps...Sur internet, un professeur tenta de prouver que 0=1. En voici la démonstration:
0=0+0+0+0+...
0=1-1+1-1+1-1+1-1+...
0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...
0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...
0=1+0+0+0+0+0+0+0...
0=1

Il s'avère que le mathématicien Grandi a traité le sujet et que pour que la suite soit correcte, il faut noter 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...-1. Mais pourquoi ?? ?

Une démonstration serait bien cool ! J'ai trouver aucun site qui traite du sujet en français. Merci de votre lecture et de votre engagement !!

Re,

La dernière équation déplace des parenthèses, il faut donc le faire rigoureusement, par paire.

Donc $0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dots -1 + \cdots$


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#4 15-02-2020 13:01:53

xXJustiZz
Membre
Inscription : 15-02-2020
Messages : 2

Re : Suite de Grandi

freddy a écrit :
xXJustiZz a écrit :

Bonjour,
Il y a un sujet qui me tracasse depuis quelque temps...Sur internet, un professeur tenta de prouver que 0=1. En voici la démonstration:
0=0+0+0+0+...
0=1-1+1-1+1-1+1-1+...
0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...
0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...
0=1+0+0+0+0+0+0+0...
0=1

Il s'avère que le mathématicien Grandi a traité le sujet et que pour que la suite soit correcte, il faut noter 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...-1. Mais pourquoi ?? ?

Une démonstration serait bien cool ! J'ai trouver aucun site qui traite du sujet en français. Merci de votre lecture et de votre engagement !!

Re,

La dernière équation déplace des parenthèses, il faut donc le faire rigoureusement, par paire.

Donc $0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dots -1 + \cdots$

Merci à toi !
J'ai réfléchi et je pense avoir compris.
Regarde:
Comme tu l'as dit, il faut former des pairs de 1-1. Or là il y a un +1 tout seul.
Donc:
1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...-1 <=> (1-1)+(1-1)+(1-1)...

C'est donc ça ?
Merci à toi :) !!

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#5 15-02-2020 14:16:48

freddy
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Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 133

Re : Suite de Grandi

Re,

Oui, c'est ça et on peut le prouver par récurrence aussi !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#6 15-02-2020 14:56:08

Omhaf
Membre
Inscription : 16-01-2020
Messages : 22

Re : Suite de Grandi

Salut
avec cette logique on peut prouver que n'importe quel nombre =0
0=0+0+0+0+...
0=97-97+97-97+97-97+97-97+...
0=(97-97)+(97-97)+(97-97)+(97-97)+...
0=97+(-97+97)+(-97+97)+(-97+97)+...
0=97+0+0+0+0+0+0+0...
0=97
!!!!

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#7 15-02-2020 15:31:18

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 387

Re : Suite de Grandi

Bonjour,
Ceci est un problème lié à la façon dont on fait une somme infinie de termes non nuls, la façon la plus classique de considérer une somme infinie c'est en la définissant comme la limite  (si elle converge dans $\overline {\mathbb {R} }$) des sommes partielles  ($\sum_{k=0}^n a_{k} $). Il faut savoir qu'il y a d'autres façon de sommer des termes, par exemple en étendant la fonction zeta en -1 dans le plan complexe donne que la somme (une autre sommation que celle que j'ai présenté avant) des entiers naturels est $\frac {-1}{12} $ .
Bien entendu ce genre de somme perd certaines propriétés qu'ont les familles sommables tel que la commutativité.
Mais je suppose que toi tu parlais de la façon usuel de sommer des termes infinies. En fait tout ce que ton résultat montre c'est que la somme des $(-1)^{n} $ ne converge pas (même pas vers $\pm \infty $). L'erreur réside dans le passage de la 3eme à  la 4eme égalité, en fait la somme que tu as écrit dans la troisième égalité est la limite de la sous suites des sommes partiels suivantes : $\sum\limits_{k=0}^{2n} (-1)^{k}$.
Et pour celles de de la 4eme ligne : $\sum\limits_{k=0}^{2n+1} (-1)^{k} $.
Or on a le théorème suivant :
Soit $(u_{n}) $ une suite.
$(u_{n}) $ converge si et seulement si $(u_{2n}) $ et $(u_{2n+1}) $ convergent.

Ce qui montre bien que pour la façon usuelle de sommer infiniment des termes  la somme des $(-1)^{n}$ n'existe pas.

PS : Omahaf, tu n'avais pas tellement besoin de montrer ça parce que si le résultat avait $1=0$ était vrai cela voudrait dire que l'axiomatique ZFC est incohérente et avec le phénomène d'explosion toute formules logiques seraient vrai et fausse ; )

Dernière modification par Maenwe (15-02-2020 15:36:52)

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#8 15-02-2020 18:40:08

freddy
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Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 133

Re : Suite de Grandi

Maenwe a écrit :

Or on a le théorème suivant :
Soit $(u_{n}) $ une suite.
$(u_{n}) $ converge si et seulement si $(u_{2n}) $ et $(u_{2n+1}) $ convergent.

vers la même limite, non ? C’est une précision utile ou superfétatoire ?


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#9 15-02-2020 20:06:07

Maenwe
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Messages : 387

Re : Suite de Grandi

Effectivement, j'y ai pensé mais j'ai oublié de l'écrire ^^

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#10 15-02-2020 21:06:45

freddy
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Messages : 7 133

Re : Suite de Grandi

Maenwe a écrit :

Effectivement, j'y ai pensé mais j'ai oublié de l'écrire ^^

C’est très important !


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