Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Lol

Invité

algèbre élémentaire éléments irréductibles

Bonjour je bloque sur la partie 4 du problème suivant. Ce problème semble souvent donné car il permet de mettre en évidence un monoïde commutatif régulier mais non factoriel ce qui fait qu'on peut avoir des éléments irréductibles qui ne sont pas premiers.

Soit M = {x + i*racine de 5* y ; avec x élément de Z, y élément de Z}
et M* = {z élément de M tel que il existe z' élément de M tel que z*z' = 1}

1) Prouver que M*={1;-1}
2) prouver que 2, 3, 1 + i*racine de 5, 1 - i*racine de 5 sont des éléments irréductibles de M
3) Prouver que aucun des éléments 2, 3, 1 + i*racine de 5, 1 - i*racine de 5 n'est premier.

Et la fameuse partie 4) prouver que tout élément non inversible de M est le produit d'un nombre fini d'éléments irréductibles (penser par récurrence sur (module z)².

En particulier je ne comprends pas la nature de cette démo par récurrence que le prof propose.

MErci de votre aide

corto

Membre

Inscription : 01-12-2005

Messages : 6

Re : algèbre élémentaire éléments irréductibles

Prouver par récurrence revient toujours à raisonner par l'absurde en appliquant
le théorème (en fait c'est un axiome) suivant :
Tout ensemble d'entiers qui est non vide a un plus petit élément.
(cette forme du principe de récurrence s'appelle le principe de descente infinie)

Dans ton cas : les carrés des modules des nombres considérés sont des entiers.

On considère l'ensemble C des contre-exemples possibles (à ce qu'on veut démontrer
(un contre-exemple est ici un nombre de M autre que 0 et qui n'est pas un produits fini d'irréductibles)
On suppose C non vide : Les carrés des modules des nombres de C forme donc un ensemble non vide d'entiers, appelons-le E. E a un plus petit élément e.
e  est le carré d'un module d'un nombre c de C
Ce nombre c n'est pas  irréductible dans M (puisque c'est un contre-exemple)
donc c est  le produit de deux nombres non nuls de M , c' et c"
Le module d'un produit  est le produit des modules
Donc e est le produit de deux entiers e' et e" , qui sont les carrés des modules de c' et c"
e' et e" sont supérieurs à 1 (car 1 et -1 sont les seuls éléments de M de module 1) donc inférieurs à e
Donc ni e' ni e" ne sont dans E : les nombres c' et c" ne sont pas des contre-exemples.
Chacun d'eux est un produit fini d'irréductibles. Donc c lui-même est un produit fini d'irréductible.
Donc c  n'est pas un contre-exemple.
Cette contradiction prouve que l' hypothèse "C non vide" est fausse
CQFD