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#1 05-01-2020 22:26:12

Chris
Membre
Inscription : 16-01-2019
Messages : 18

Coordonnantes composées

Bonjour,

ceci est probablement une question assez naïve (et peut-être aurait-elle plus sa place dans l'entraide collège (?)) mais je me heurte à ceci régulièrement:

mettons par exemple  que $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3, e_4)$ soit une base d'un espace $E.$

Écrire $v=e_1-e_3$ c'est (d)écrire un vecteur $v$ de $E.$ Écrire $[v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}
1\\0\\-1\\0
\end{pmatrix}$ c'est écrire le vecteur-coordonnées de $v$ dans la base $\mathcal{B}.$ Mais alors qu'est $(1,0,-1,0)$?  Je me rappelle avoir appris qu'il s'agit des composantes de $v$ dans $\mathcal{B}$ (?). Mais si c'est le cas, quelle est la différence avec la seconde écriture, mis à part, pour ainsi dire, la convention graphique?

J'aurais envie d'écrire $[v]_{\mathcal{B}}=(1,0,-1,0)$, mais ne serait-ce pas dire que composantes et coordonnées sont synonymes?

Merci,

Dernière modification par Chris (06-01-2020 07:52:14)

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#2 06-01-2020 05:19:23

Mateo_13
Membre
Inscription : 30-10-2013
Messages : 44

Re : Coordonnantes composées

Bonjour Chris,

les deux écritures sont correctes, mais par habitude et à cause du calcul matriciel, on préfère écrire les coordonnées (ou composantes) d'un vecteur verticalement, et les coordonnées d'un point horizontalement.

Cordialement,
--
Mateo.

Dernière modification par Mateo_13 (06-01-2020 05:20:02)

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#3 06-01-2020 07:51:56

Chris
Membre
Inscription : 16-01-2019
Messages : 18

Re : Coordonnantes composées

Salut Mateo,

merci pour ta réponse. Ah oui, cela me rappelle des choses ;). Donc, au sens géométrique ta réponse me va bien. En revanche, pour faire écho à ce post (on se place dans le cadre de l'algèbre linéaire), si l'on prend $v$ dans $E=\mathbb{K}^4$ espace vectoriel, la distinction entre ces deux écritures se perd car le "point" $(1, 0, -1, 0)$ est vecteur du $\mathbb{K}$-espace $E$, c'est ça?

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#4 06-01-2020 07:57:41

Mateo_13
Membre
Inscription : 30-10-2013
Messages : 44

Re : Coordonnantes composées

Il faut revoir la différence entre un espace affine, avec des points, et l'espace vectoriel associé, formé de vecteurs, que je n'appellerais pas des points. Le post que tu as cité est bien expliqué.

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#5 06-01-2020 08:21:53

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 211

Re : Coordonnantes composées

Re,

Lorsque j'étais Lycéen (et même un peu plus tard, jeune prof) on parlait de coordonnées d'un point et de composantes d'un vecteur...
Puis un jour, la dénomination est devenue identique, on a commencé à parler de coordonnées d'un vecteur...
Mais tout ça remonte assez loin : utiliserait-on encore le mot composantes ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#6 06-01-2020 12:02:01

Chris
Membre
Inscription : 16-01-2019
Messages : 18

Re : Coordonnantes composées

En géométrie dans $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ (et plus), je vois tout-à-fait que l'on veuille réserver le mot "coordonnées'' pour les points et "composantes'' pour les vecteurs (ce que j'avais en effet appris au lycée).

En algèbre linéaire, le mot vecteur désigne tout élément d'un espace vectoriel. Ok. Le post référencé ne fait complétement sens pour moi que si (dans ce contexte) le mot composantes est défini par "coordonnées dans la base canonique'' (et pas juste équivalent à) (il faut bien que les valeurs dans $(\cdot, \cdot,\ldots,\cdot)$ fassent référence à quelque chose).

Il me semble ça s'éclaircit un peu. Merci pour vos réponses.

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