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rich

Invité

anneau

Bonsoir besoin d'aide sur cet exercice
Soit (A,+,.) un anneau;a,b des éléments de A tel que ab+ba=1 et a²b+b²a=1
montrer que a²b+b²a=1 et que aba+aba=a
montrer que a est inversible et que son inverse est b+b

Maenwe

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Re : anneau

Bonjour,
Qu'as tu fais ? Pourquoi bloques tu ? etc.
Ah et la 1ère égalité que tu dois montrer, c'est exactement une de tes hypothèses, donc tu ne te serais pas un peu trompé ?

rich

Invité

Re : anneau

oui je me suis trompé c'est montrer que a²b=b²a
et justement pour prouver cela j'ai commencé à partir de ce que l'on m'a donné
j'ai obtenu a²b+b²a=(ab+ba)^(-1)  ce qui signifie que ab+ba est l'inverse de a²b+b²a

Maenwe

Membre confirmé

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Messages : 409

Re : anneau

Bonjour,
Concernant cette égalité j'ai des doutes sur sa véracité, voici pourquoi :
Prenons le cas particulier de $\mathbb{R}$ qui est un anneau en particulier.
Donc étant donné que $ab+ba =1$ on a donc $2ab =1$ donc $a= \frac{1}{2b}$, donc en utilisant ça et l'équation $a^{2}b+b^{2}a = 1$ p, on obtient :
$1+2b^{2}=4b$ et en résolvant on a $b \in \left\{\frac{2-\sqrt{2}}{2}, \frac{2+\sqrt{2}}{2}\right\}$. Prenons le cas $b=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$.
Donc le couple $(a,b)$ avec $a = \frac{1}{2b}$ et $b =\frac{2+\sqrt{2}}{2}$ vérifie : $ab+ba=1$ et $a^{2}b+b^{2}a=1$.

Or si on a $a^{2}b=b^{2}a$, puisque $a= \frac{1}{2b}$ alors $\frac{1}{4b}=\frac{b}{2}$, donc $b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ or on a choisis $b>0$ donc $b= \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Donc $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$ donc $\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$ donc $2=0$ ce qui est absurde...

Donc soit je me suis trompé dans mes calculs soit il manque une ou plusieurs hypothèse à ton énoncé, ou ce n'est pas la bonne égalité.

Dernière modification par Maenwe (04-01-2020 15:13:41)

Matou

Invité

Re : anneau

Bonjour,

un peu après la bataille, mais bon...

Je pense qu'il faut démontrer que $ab=ba$. Après, tout est relativement simple. Pour cela, on peut procéder en plusieurs étapes :

1. Montrons que $a^2b=ba^2$.
$a^2b=a(1-ba)=a-aba=a-(1-ba)a=a-a+ba^2=ba^2$
On a de même $b^2a=ab^2$

2. Montrons que $ab=ba$.
$ab(a^2b+b^2a)=ab$, puisque $a^2b+b^2a=1$
Or,
$ab(a^2b+b^2a)=(1-ba)(a^2b+b^2a)=(a^2b+b^2a)-ba^3b-bab^2a$
Or,
$-ba^3b-bab^2a=-a^2bab-b^3a^2=-a^2bab-b^2a^2b=-a^2b(1-ba)-b^2a(1-ba)=-a^2b-b^2a+(a^2b+b^2a)ba=-a^2b-b^2a+ba$

En reportant, on a bien $ab=ba$.

Il y a sûrement plus simple (j'suis pas en forme aujourd'hui), mais au moins, je pense qu'on a les bonnes directions

Matou

rich

Invité

Re : anneau

Bonsoir
vous avez considerer l'anneau comme commutatif? parceque a²b=(1-ab)a normalement

Matou

Invité

Re : anneau

Bonjour,

$a^2b=a.ab$
Je remplace $ab$ par $(1-ba)$ d'après $ab+ba=1$. J'ai bien $a^2b=a(1-ba)$.

Je ne pense pas avoir besoin de la commutativité.

Sauf erreur.

Matou

rich

Invité

Re : anneau

et en quoi [tex]a^2b=b^2a[/tex] [tex]implique[/tex] [tex]Que[/tex] [tex]a^2b+b^2a=1[/tex]?
parceque si a²b=b²a
alors a²b+(-b²a)=0

Matou

Invité

Re : anneau

Bonsoir,

il faut se concentrer un peu !
Je n'ai pas dit que $a^2b =b^2a$. D'ailleurs Maenwe a montré que cette égalité est fausse. J'ai montré que $a^2b=ba^2$. J'espère que la différence est claire.

D'autre part, je ne déduit $a^2b + b^2a =1 $ de nulle part, c'est une donnée d'entrée de ton problème et j'utilise toutes les informations initiales dans ma démonstration.

Cordialement

Matou