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#1 18-12-2019 23:32:34

Chris
Membre
Inscription : 16-01-2019
Messages : 23

Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale

Salut,

je me fais une série d'exos dans lesquels il faut, entre autres, montrer l'existence des intégrales demandées, à l'aide de comparaisons. Jusque là ça se passait plutôt bien...mais je n'arrive maintenant plus à voir la différence entre le fait de dire qu'une fonction n'est pas intégrable sur un intervalle, ou de dire que l'intégrale sur cet intervalle diverge.

Pour moi (Riemann-)"intégrable" signifie 1) que l'on "peut intégrer" puisque l'opération a un sens, 2) faisant référence à la convergence des sommes de Darboux (pour toutes les valeurs de la droite réelle achevée?), alors que "divergente" signifie que la valeur de l'intégrale "progesse indéfiniment ($\pm \infty$).

Donc, par exemple $\frac{1}{x}$ est intégrable sur $[1, +\infty[$, mais $\int_0^{+\infty}\frac{1}{x}\mathrm{d}x$ diverge. Mon souci est que j'ai un corrigé qui donne:

$f$ est continue sur $\mathbb{R}_+$, donc y est localement intégrable...or $f \underset{+\infty}{\sim}\frac{1}{x}$, et puisque $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\mathrm{d}x$ diverge, $f$ n'est pas intégrable sur $[1, +\infty[$.

Mon problème est-il au niveau de la définition de "localement intégrable" vs "intégrable"?

Merci d'avance

Dernière modification par Chris (19-12-2019 14:48:45)

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#2 19-12-2019 06:33:11

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 894

Re : Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale

Bonjour,

"Localement intégrable" signifie "intégrable sur tout compact".

Roro.

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#3 19-12-2019 08:14:39

Chris
Membre
Inscription : 16-01-2019
Messages : 23

Re : Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale

Bonjour,

Merci bien pour la réponse. Je vois; je connaissais en fait cette définition, mais la pièce ne tombe que maintenant XD.

Ça n'aurait en revanche pas de sens de dire qu'une fonction est intégrable mais diverge sur I?

Chris

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#4 19-12-2019 12:36:36

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 966

Re : Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale

Bonjour,
L'intégrabilité d'une fonction $f$ sur I où I est un compact, équivaut à ce que l'intégrale de $f$ sur tout segment $[a;b]$ inclus dans I est bornée.
Dans le cas où $[a;b]=I$, $f$ intégrable sur I implique donc que l'intégrale de $f$ est convergente sur $I$ .

Dernière modification par Zebulor (19-12-2019 16:33:47)

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#5 19-12-2019 14:57:59

Chris
Membre
Inscription : 16-01-2019
Messages : 23

Re : Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale

D'accord, en résumé:

- si $f$ intégrable sur tout compact $J\subset I$, $I$ non-compact, alors $f$ est localement intégrable;

- l'intégrale sur tout $J$ est finie;

- selon le cas, l'intégrabilité de $f$ peut-être étendue à $I$, et être éventuellement divergente.

mais minorer $f$ par une fonction dont l'intégrale est divergente permet-il d'exclure que $f$ soit localement intégrable?

désolé si c'est évident. Merci pour la réponse en tous cas.

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#6 19-12-2019 16:19:52

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 966

Re : Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale

Re,
ne sois pas désolé.. si c'est évident ? pas tant que çà du moins à mes yeux...
En te relisant je ne suis pas sur d'avoir répondu à ta question.
En tout cas "intégrable sur I", quel que soit la nature de I,  est pour moi synonyme de "convergente sur I"

Dernière modification par Zebulor (19-12-2019 16:38:55)

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#7 19-12-2019 18:06:49

Chris
Membre
Inscription : 16-01-2019
Messages : 23

Re : Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale

Ok, je ne suis peut-être pas vraiment au clair avec ce qui me pose problème. J'essaie d'éclaircir avec la question suivante. À mes yeux, $f:t\mapsto \frac{1}{t}$ est bien définie et continue sur $I=[1,+\infty[$, j'ai donc envie de dire qu'elle est localement intégrable sur $I$. Alors pour $x \in [1,+\infty[$, on a l'intégrale de Riemann

$$\int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t}= \ln(x) \underset{x\to+\infty}{\longrightarrow}+\infty$$ et donc $\displaystyle\int_I f \ $ diverge.

Doit-on alors dire qu'elle n'est pas intégrable sur $I$?

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#8 19-12-2019 18:21:41

Zebulor
Membre
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Re : Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale

Re,
Merci. Je vois mieux l enjeu de ta discussion...
$f$ n est pas clairement pas intégrable sur $I$ parce que la limite de l’intégrale que tu as écrite tend bien vers l’infini quand $x$ tend vers l’infini.
En d’autres termes $\int_1^\infty \frac{\mathrm{d}t}{t}$ est une intégrale divergente

$f$ est localement intégrable sur I mais je ne pense pas que ce soit utile de l’indiquer compte tenu de ce que tu as précisé sur $f$ par ailleurs, parce que ce caractère localement intégrable sur I découle de la continuité de $f$ sur I.

Dernière modification par Zebulor (19-12-2019 18:47:39)

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#9 19-12-2019 18:46:23

Chris
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Re : Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale

ok merci.
Donc "être divergente" est une des manières de ne pas être intégrable (différent de ce j'avais compris).


Ce qui, pour revenir aux sommes de Darboux, se justifierait par le fait que l'on ne peut "comparer les infinis" (?) (elles auraient pu, peut-être, ``progresser de la même manière'' et ``donner le même résultat'', même si au fond l'inf et le sup divergent vers l'infini).

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#10 20-12-2019 17:12:07

Zebulor
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Messages : 966

Re : Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale

Rebonjour,
J'essaie de mieux cerner ce que tu écris dans ton post #9#
je crois comprendre que tu t'intéresses à la convergence des sommes de Darboux de la fonction inverse sur un compact $[a,b]$ quelconque de l'ensemble $I$ que tu as défini au post #7 ...ce qui ferait référence à ce lien : http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … ommes.html ..
en relisant tes posts #1 et 7, tu me sembles vouloir établir une relation entre la nature d'une intégrale généralisée comme $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t}$ et la convergence des sommes de Darboux de $f:t\mapsto \frac{1}{t}$ sur n'importe quel compact de $[1;+\infty$[

Dernière modification par Zebulor (21-12-2019 21:39:24)

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#11 21-12-2019 22:29:38

Chris
Membre
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Messages : 23

Re : Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale

Salut,

un bref message pour dire que j'ai bien lu ta réponse, mais étant pas mal occupé en ce moment - et visiblement ce qui me gêne se soulage un peu moins facilement que ce que j'avais imaginé - je vais laisser ces notions décanter un peu et je reviendrai quand je serai en mesure d'être plus clair.

Merci pour tes interventions et bonnes fêtes

Dernière modification par Chris (21-12-2019 22:33:40)

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#12 21-12-2019 22:38:39

Zebulor
Membre
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Messages : 966

Re : Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale

Salut,
Aucun problème. C est bien d’avoir donné signe de vie, parfois certains -une minorité- partent mystérieusement sans jamais revenir..
Merci et bonnes fêtes de même.

Dernière modification par Zebulor (21-12-2019 23:38:56)

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#13 06-01-2020 00:18:47

Chris
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Re : Non-intégrabilité vs divergence d'une intégrale

Bonne année!
Pour ne pas laisser ceci sans réponse, et si ça s'avérait utile à quelqu'un:

comme brièvement évoqué plus haut, pense que j'avais perdu de vue la distinction entre les notions de localement intégrable et d'intégrable... et même pire, elle était devenue synonyme de primitivable (par exemple, pas comme la fameuse fonction de Dirichlet). J'avais bêtement gardé en tête un bestiaire de fonctions dites non-intégrables (lors de comparaison surtout) et ne voyais plus pourquoi je ne pouvais pas avoir une fonction "intégrable'', dont la différence de la primitive aux bornes aurait été non-finie. Du coup, pour faire sens de ceci, je tentais de me ramener à la définition de la l'intégrabilité au sens de Riemann via la convergence des sommes de Darboux, où effectivement parler de ``la convergence des deux sommes vers l'infini'' aurait été absurde (mais quelque chose comme ça se lit en fait assez souvent, en particulier dans le monde anglosaxon, avec "converges to infinity''). J'ai repris la lecture de mes cours, je crois que ça va mieux ;).

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