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#276 25-12-2019 18:37:19

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

La question du premier point paraît claire mais je partage l avis de Yoshi que la suite l est moins.... Alors comme c’est en effet délicat pour l’énoncé autant continuer ici

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#277 25-12-2019 18:39:55

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Mon DM je l'ai rendu depuis longtemps et je n'ai pas bien répondu aux questions..
il faut démontrer les 3 propriétés suivantes :
   1. Pour tout entier naturel n, $u_n=u_0+n.r$. (fait).
   2. Pour tout entier naturel n, $u_n=u_1+(n-1).r$. (plus ou moins fait).
   3. Pour tout entier naturel n et pour tout entier naturel p : $u_n=u_p + (n-p).r$. (pas fait)....

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#278 25-12-2019 18:42:12

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Alors on va prendre ces questions une par une si tu veux bien ..
Qu as tu fait pour le 1

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#279 25-12-2019 18:44:05

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

oK, Je le fais sans regarder ce que j'ai mis dans Dm (pour voir si je sais le refaire)

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#280 25-12-2019 18:45:56

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Ok je relis le début, pour une suite arithmétique $u_n$ tu as démontré que :
u1=u0+r
U2=u0+2r
U3=u0+3r
Excuse moi je dois m’absenter. On reprendra plus tard mais je vois déjà sur quoi on part.
La question 1 nécessite de raisonner par récurrence.

Dernière modification par Zebulor (25-12-2019 18:49:40)

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#281 25-12-2019 19:29:18

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Oui, pour la 1ère propriété, j'ai montré :
$u_1=u_0+r$.
$u_2=u_0+2r$.
$u_3=u_0+2r$.

Pour démontrer la 2e propriété  : $u_n=u_1+(n-1).r$

D'après la définition, on a  $u_1=u_0+r $
donc on a aussi : $u_1=u_0+r <=> u_0=u_1-r$

$u_2=u_0+2r <=> u_2=u_1-r+2r = u_1+r$

$u_3 = u_0+3r <=> u_3 = u_1-r + 3r = u_1+2r$

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#282 25-12-2019 19:56:16

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Re,
D'accord.
Tu as démontré ceci :
• la propriété P(n) : $u_n=u_0+n*r$ est vraie pour n=1;n=2 et n=3
Ce qui revient à écrire que P(1),P(2) et P(3) sont vraies.

• la propriété Q(n) : $u_{n+1}=u_1+(n-1)*r$ est vraie pour n=1;n=2 et n=3
Ce qui revient à écrire que Q(1),Q(2) et Q(3) sont vraies.

Je ne dirais pas que tu n’as pas bien répondu aux questions , mais plutôt que tu y as répondu partiellement.
Parce qu il s’agit de vérifier que les égalites ci-dessus sont vérifiés pour n’importe quel indice $n$ entier.

Dernière modification par Zebulor (26-12-2019 08:54:37)

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#283 25-12-2019 20:06:06

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

c'est ce que j'ai mis dans mon DM pour démontrer la 2e propriété $u_n = u_1+(n-1).r$
j'ai rien trouvé d'autres, j'espère que c'est ce qu'il fallait écrire

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#284 25-12-2019 20:06:39

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Tu peux aussi faire :
$u_2=u_1+r$ : par définition d’une suite arithmétique chaque terme est la terre précèdent et d un nombre fixe qu’on appelle la raison $r$
On veut u2 en fonction de u0. Or u1 est fonction de u0. Il suffit donc de remplacer u1 par u0+r dans l’expression de u2 :
U2=(u0+r)+r=u0+2r
Etc..

Si tu veux démontrer que un=u0+n*r pour tous les entiers naturels par cette méthode ni ta vie ni la mienne n’y suffirait ..

C est pourquoi on le démontre par récurrence sur n

Dernière modification par Zebulor (25-12-2019 20:22:44)

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#285 25-12-2019 20:12:18

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Et on veut démontrer ceci :

1. Pour tout entier naturel n, $u_n=u_0+n.r$ : j’appelle cette propriété P(n)

Il s’agit démontrer cette propriété que j’appelle P(n) : $u_n=u_0+n*r est vraie pour n’ importe quel entier sachant qu il’y a une infinité d’entiers.

P(1), P(2) et P(3) sont vérifiés de par ce que tu as fait.

Il faut donc  montrer que si P(n) est vraie pour un entier n quelconque alors alors P(n+1) est aussi vrai. C est le point peut être difficile et délicat à comprendre

Tu m arrêtes si tu ne comprends pas

Dernière modification par Zebulor (25-12-2019 20:27:40)

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#286 25-12-2019 20:26:57

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

P(n) est vraie parce que P(1), P(2) et P(3) sont vérifiés, c'est ça ?

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#287 25-12-2019 20:29:46

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Re,
PS : j’ai complété le post 282. Partiellement redondant avec le 285 mais ce n’est pas grave.

yannD a écrit :

P(n) est vraie parce que P(1), P(2) et P(3) sont vérifiés, c'est ça ?

Surtout pas : on ne sait pas si P(n) est vraie pour n’importe quel entier. C est ce qu’on veut démontrer. Par exemple as tu démontré que : $u_{345}=u_0+345*r$ ?
J’appelle P(n) : pour $n$ entière la propriété suivante :
u$_n$=$u_0$+n*r.  C’est exprès que je mets le $n$ en rouge.

En remplaçant n par 1, 2 et 3 tu es d’accord que tu as bien démontré que P(1); P(2) et P(3) sont vraies. Ok?

Je tente de t’expliquer le principe de la récurrence . C'est la difficulté de ton Dm. Le calcul, très très simple, viendra après.

Imagine une rangée de dominos placés debout très près les uns des autres.
https://m.youtube.com/watch?v=_lEmDtl45KU
Cette rangée est comme une demi droite : elle commence par un domino $u_1$ mais n’a pas de fin comme l’ensemble des entiers. Le premier domino $u_1$ tombe (c est P(1) vraie ) sur le deuxième qui tombe à son tour : (P{2) vraie) sur le troisième, lequel tombe  : P(3) vraie: c’est ce que tu as démontré jusque ici par analogie avec les trois premiers termes de la suite.

Comment montrer que tous les dominos vont tomber ? Par analogie comment démontrer que P(n) est vraie pour tout entier?
On suppose, on admet (comme l 'écrit Yoshi), on émet l’hypothèse qu un domino quelconque $u_n$ tombe à partir d un indice $n$, n importe lequel (de façon analogue on admet P(n) vraie). On veut alors démontrer que son suivant $u_{n+1}$ d indice $n+1$ tombe aussi : soit P(n+1) vraie.
D ou : P(n)=>P(n+1). Si on parvient à faire cette démonstration ..simplissime ! alors on peut en déduire que tous les dominos a partir de l’indice $n$ tombent, jusqu’à l’infini, en cascade. C est le point délicat à comprendre.

Pourquoi ?
P(n) => P(n+1) => P(n+2)...
Parce que si c’est vrai pour un certain rang ( ou indice ) $p$ quelconque ça l est aussi pour le rang suivant.
Logiquement si c est vrai pour ce rang suivant -et c est le cas car c est la conclusion précédente-, alors c est vrai pour le rang suivant de ce rang suivant. Etc..

On admet P(p) vraie. On conclut : P(p+1);P(p+2)..P(p+3).....etc vraies.

En résumé le raisonnement par récurrence consiste à dire :
• les dominos $u_1$ et $u_2$ sont tombes.
Le domino $u_3$ est tombé. Tu as aussi démontré P(3) vraie et  c est l’amorce de la récurrence. : P(3) est vraie. Je n admets pas que P(3) est vrai, je sais qu’il est vrai : c’est une certitude et non une supposition.

• Que si un domino quelconque tombe alors son suivant aussi :
P(n) => P(n+1). J applique cette implication pour n=3. Je pourrai le faire pour n=1 et 2 mais je sais déjà que P(1) et P(2) sont vraies donc c’est inutile. Ça donne dans  le détail :
si P(3) est vraie alors P(4) est vrai. Or P(3) est vraie donc P(4) est vraie.
Si P(4) est vraie alors P(5)  est vrai. or P(4)  est vraie donc P(5) est vraie.
Et ça ne s’arrête pas.


• Conclusion : P(3) vraie entraîne P(n) vraie pour tout entier supérieur ou égal à 4.
Or P(1) et P(2) sont vrais.
P(n) est vrai pour tout $n$ : tous les dominos tombent donc à partir du premier domino $u_1$
De manière analogue : $u_n=u_0+n*r$ pour tout entier.

j imagine que tu auras des questions. Reste la mise en oeuvre, assez rapide à faire.
Pour les fêtes Yoshi t’a apporté des piquets’ et moi des dominos !!
A bientôt

Dernière modification par Zebulor (27-12-2019 08:31:16)

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#288 26-12-2019 17:10:17

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Bonjour Zebulor, je suis en train de travailler avec ton premier post 287, c'est à dire celui d'hier soir que j'ai gardé à l'écran..
merci pour les dominos et les piquets... L'avion de chasse ?? c'est pas possible ??

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#289 26-12-2019 17:24:09

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Bonsoir Yann...il est peut être un peu long ce post, je l ai retravaillé, reecris’, mais je voulais t offrir des dominos pour Noël. L’avion de chasse est fourni gratuitement sous réserve d’avoir bien compris mon post 287.

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#290 26-12-2019 17:47:49

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

je fais faire le max pour comprendre le 287 !!!!!!

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#291 26-12-2019 18:01:01

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

La dernière version me semble plus précise. La récurrence est une notion délicate, une affaire de logique avec les implications.
De toute façon n hésites pas si tu as des questions. Une fois que tu auras compris le principe de la récurrence, le reste de ton Dm est simple par rapport à ce qu on a déjà fait.
PS : l’avion de chasse est en chocolat.

Dernière modification par Zebulor (26-12-2019 18:05:51)

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#292 26-12-2019 18:15:47

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Si c'est du chocolat Light, il pourra peut-être voler ....
Pour le DM, on a P(1), P(2) et P(3) vraie
et on cherche P(n)=>P(n+1)

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#293 26-12-2019 18:21:45

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Voilà . Et cette implication se traduit par :
Su une égalité E1 est vraie alors l égalité E2 est vraie : E1 => E2

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#294 26-12-2019 18:30:18

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

P(n)=>P(n+1) : c'est l'égalité E1 ??

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#295 26-12-2019 18:45:19

yoshi
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Re : Terme général en fonction de n

Bonsoir,

Dans une égalité, il y a un signe égal.
Dans

$P(n)\Rightarrow P(n+1)$

il n'y a pas de signe égal...
Zebulor va se faire un devoir de te remettre sur les rails...

Pour ce qui suit, il dirait qu'il veut apporter son grain de sel...
Yann, moi, je veux seulement apporter ma pierre à l'édifice, sous forme de deux exemples qu'on a déjà traité ensemble, mais autrement.
C'est bien de chercher à comprendre : apprendre par cœur une recette de cuisine, c'est pas enthousiasmant (et c'est même "dangereux"). Pourtant, c'est bien comme ça comme on m'a appris les maths et souvent, je comprenais le pourquoi un an, deux ans après...
Et je me disais : pourquoi ne me l'a-t-on pas dit ? Ça m'aurait simplifié la tâche !
Une fois passé de l'autre côté du bureau, je m'étais bien promis de ne jamais travailler de cette façon. Le "c'est comme ça, point-barre !" en guise d'explication ne doit plus être d'actualité...

Yann : à ne lire que lorsque tu auras fini de digérer le chocolat  de Zebulor

La démonstration par récurrence, c'est un peu surprenant, voire déroutant au début, mais on s'y fait, et quand le sujet s'y prête, c'est bien pratique...
Qq exemples
1. La somme des n premiers termes de la suite des nombres entiers est $S=\dfrac{n(n+1)}{2}$
On peut démontrer ça comme on l'a déjà fait au début :
- en écrivant deux fois la somme,
- en appliquant la formule de calcul de la somme des termes d'une suite arithmétique...

Mais aussi par récurrence :
- On vérifie la propriété pour des valeurs simples de n
   $S_2=\dfrac{2(2+1)}{2}= 3$  qui est bien égal à 1+2 =3
   $S_3=\dfrac{3(3+1)}{2}= 6$  qui est bien égal à 1+2+3 =6
   $S_4=\dfrac{4(4+1)}{2}= 10$  qui est bien égal à 1+2+3+4 = 10

- On suppose (ou on admet) que la propriété est vraie pour n : $S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
  Et on vérifie l'héritage, c'est à dire qu'elle est vraie pour n+1..
  A quoi doit-on s'attendre ?
  Réponse : à  $S_{n+1}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$
  Démonstration :
  $S_{n+1}=S_n +(n+1)=\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1)$
  D'où
  $S_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{2(n+1)}{2}$
  $\iff$
  $S_{n+1}=\dfrac{n(n+1)+2(n+1)}{2}$
  $\iff$
(on met (n+1) en facteur )
$S_{n+1}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$

2. La somme des n premiers termes de la suite des nombres impairs est $S=n^2$
On peut démontrer ça comme on l'a déjà fait au début :
- en écrivant deux fois la somme,
- en appliquant la formule de calcul de la somme des termes d'une suite arithmétique...

Mais aussi par récurrence :
- On vérifie la propriété pour des valeurs simples de n
   $S_2= 2^2 =4$  qui est bien égal à 1+3 = 4
   $S_3=3^2 =9$  qui est bien égal à 1+3+5 = 9
   $S_4=4^2= 16$  qui est bien égal 1+3+5+7 = 16

- On suppose (ou on admet) que la propriété est vraie pour n : $S_n=n^2$
  Et on vérifie l'héritage, c'est à dire qu'elle est vraie pour n+1..
  A quoi doit-on s'attendre ?
  Réponse : à $S_{n+1}=(n+1)^2$
  Démonstration :
  J'ai besoin de savoir quel est le n+1 ième nombre impair, donc pour cela connaître l'écriture du n_ième nombre impair...
  Ce n_ième nombre impair s'écrit 2n-1, son suivant est donc 2n-1+2 = 2n+1
  $S_{n+1}=S_n+2n+1$
  $\iff$
  $S_{n+1}=n^2+2n+1$
  $\iff$
  $S_{n+1}=(n+1)^2$

Le moment venu lorsque tu auras compris ce que j'ai écrit, on pourra te proposer des exemples à traiter toi-même...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#296 26-12-2019 19:08:10

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Bonsoir Yoshi, je sais pas mais il me dit que l'implication P(n) => P(n+1) se traduit une autre implication E1=>E2
et moi, dans ma petite tête , j'essaie de voir ce qu'est E1,
j'ai compris que E1 c'est P(n)=>P(n+1)
ce n'est pas ça

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#297 26-12-2019 19:28:59

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Re,

yoshi a écrit :

Bonsoir

Dans une égalité, il y a un signe égal.
Dans
$P(n)\Rightarrow P(n+1)$
il n'y a pas de signe égal...

Salut à Yoshi que je mets au chômage partiel !
@Yann :
Exemple de propositions : $P(1) : x=2$ et $P(2) : x+4=6$ telles que $P(1)\Rightarrow P(2)$

yannD a écrit :

et moi, dans ma petite tête , j'essaie de voir ce qu'est E1,
j'ai compris que E1 c'est P(n)=>P(n+1)
ce n'est pas ça

$E_2 \Rightarrow E_2$ n est que la retranscription "en termes d'égalité" (cf yoshi ci dessous) de l’implication :
$P(1) \Rightarrow P(2)$

Ce sont deux écritures différentes d une seule implication logique.

Dernière modification par Zebulor (27-12-2019 13:49:20)

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#298 26-12-2019 19:32:32

yoshi
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Re : Terme général en fonction de n

Salut,

Si je comprends bien ce qu'il a voulu dire.
Il a dit qu'une certaine propriété P est vraie au rang n ( P(n) vraie)
On veut montrer que si cette propriété est vraie au rang n, elle est vraie aussi au rang n+1 (P(n+1) vraie) donc que
P(n) vraie $\Rightarrow$ P(n+1) vraie...

Et qu'on peut transposer cela en termes d'égalité
Une égalité est une proposition mathématique vraie, par ex : 4 = 3+1...
Et en termes d'égalité
$E_n \Rightarrow E{n+1}$
qui peut se lire
L'égalité $E_n$ implique (entraîne) l'égalité $E_{n+1}$

Dans ton DM
E1, c'était $u_1=u_0+r$
E2, c'était $u_2=u_0+2r$
Et tu as bien montré que $u_1=u_0+r\Rightarrow u_2=u_0+2r$, c'est à dire que $E_1\Rightarrow E_2$

@+

[EDIT] Grillé... On devrait l'appeler Speedy Gonzalès (allusion à un dessin animé de ma jeunesse) et non Zebulor

Dernière modification par yoshi (26-12-2019 19:36:13)


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#299 26-12-2019 19:38:21

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Merci Yoshi d’avoir complété, précisé ma pensée. C est exactement ce que j’ai voulu dire et ça résume où nous en sommes.
Dans mon post 293 il manquait quelque chose, ce qui a logiquement fait décrocher puis partir en vrille notre ami Yann dans son avion en chocolat, ce que Yoshi a pu constater depuis sa tour de contrôle.
Tiens voilà une idée de signature éventuelle..à voir entre speedy gonzales (Génial ce dessin animé avec cette souris..) ou Tournicotons.

Et pour y rajouter mon grain de.,, et non cette fois ci mes graines de pépites au chocolat :

yannD a écrit :

$p+q$ est l'indice du dernier terme de la suite.
il y a donc $(p+q) - (p-1) \Leftrightarrow p+q - p + 1 = q+1$

@Yann : par exemple : p+q - p + 1 = q+1 ceci est correct.
Mais ceci $(p+q) - (p-1) \Leftrightarrow p+q - p + 1$ n a pas de sens. Il faut aussi un signe =

PS : a mon humble avis.pour s initier au raisonnement par récurrence, pour plus tard je suggère aussi cet exemple simple suivant, qui s ajoute à celui de Yoshi du post #295

yoshi a écrit :

De $a_p$ à $a_{p+q}$ (peu importe p) : (p+q-p)+1 =q+1
Ça peut se prouver.... par récurrence (sur q) en partant de p quelconque...
@+

PS: il me vient un songe. Yann semble se dire : on a pas démontré par récurrence qu il y a $n$ termes de $a_1$ à $a_n$. Alors pourquoi faut il maintenant démontrer par récurrence la propriété  $P(n)$ : $u_n=u_0+n*r$ pour une suite arithmétique.

Dernière modification par Zebulor (28-12-2019 09:40:26)

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#300 01-01-2020 12:25:02

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Bonjour, je vous souhaite une Bonne et Heureuse année !!
Merci beaucoup pour l'aide qui me permet de progresser
et pour répondre au  # 295 : j'ai compris ce que tu as écris et tu peux me proposer des exemples à traiter...

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