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#251 23-12-2019 19:35:17

yoshi
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Re : Terme général en fonction de n

Bonsoir,

Justification donnée p.7 post #169...

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#252 23-12-2019 19:47:22

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Bonsoir Yoshi, j'ai quand même eut du mal à comprendre à quoi correspond le terme $a_{p+q}$ d'indice $p+q$

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#253 23-12-2019 20:41:44

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Bonsoir, Yann, et Yoshi au passage

yannD a écrit :

1.La suite a1,a2,.......,an contient  n - p + 1 = n - 1 + 1 = n - 0  termes , soit n termes.

2. La suite $a_p,a_{p+1},.......a_{n-1},a_n$ contient  n - p + 1 termes.

3. Pour une suite $a_p,a_{p+1},......,a_{p+q}$ , le petit $n$ , ici c'est $p+q$ (soit l'indice du dernier terme).

donc le nb de terme pour cette dernière suite : $(p+q)$$ - $ $(p$ $ - 1)$

oui, et que tu peux encore simplifier..

A quoi correspond le terme $a_{p+q}$ ?
Exemple : $q=5$ : cà donne la suite $a_p,a_{p+1},a_{p+2},a_{p+3},a_{p+4},a_{p+5}$. le terme $a_{p+q}$ est $a_{p+5}$ soit le 5eme de cette suite qui succède à $a_p$

autre exemple : lorsque  p=0 et q=5 : $a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ , $a_{p+q}$ vaut $a_5$

Plus généralement $a_{p+q}$ est le q-iéme terme après $a_{p}$ dans une suite de type
$a_p,a_{p+1}, ...,a_{q-1},a_q$
Si bien que de  $a_{p+1}$ a $a_q$ Il y a q termes auquel j ajoute $a_{p}$ : q+1 termes au final

Dernière modification par Zebulor (24-12-2019 14:00:54)

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#254 23-12-2019 20:49:11

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

$p+q$ est l'indice du dernier terme de la suite.
il y a donc $(p+q) - (p-1) <=> p+q - p + 1 = q+1$

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#255 23-12-2019 20:51:02

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

oui, ici tu peux te passer des équivalences parce qu'il s'agit d'expressions identiques. Les équivalences sont utilisées dans un autre contexte du style : la proposition A est équivalente à la proposition B. Par exemple : $ x=2 \Longleftrightarrow x+3=5$

Tout simplement ici : $(p+q) - (p-1) = p+q - p + 1 = q+1$

Et tu peux voir que le nombre de termes de dépend pas de $p$

Dernière modification par Zebulor (24-12-2019 09:31:44)

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#256 23-12-2019 21:09:06

yoshi
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Re : Terme général en fonction de n

Salut vous deux,

Je revois ça demain...
Parce que, revue terminée, il m'est tombé des tas d'autres trucs sur la tête que j'ai dû gérer...
Je sature.
Je vous ai suivis de loin...

j'ai quand même eut du mal à comprendre à quoi correspond le terme $a_{p+q}$ d'indice $p+q$

De façon générale ou spécifiquement dans le post #169 ?
La formule que tu viens d'appliquer, c'est là que je l'ai justifiée.

Dans ce post#169, j'ai donné une interprétation concrète de ce que pouvaient être les termes $a_1,\,a_2,\,a_3...a_n$
J'ai dit que c'étaient les noms que j'avais donnés dans l'ordre à des piquets que j'avais plantés...
J'aurais pu dire que c'étaient des arbustes (a comme arbuste), que j'avais choisi de numéroter à partir de 1 : 1, 2, 3....n
Et que donc pour les différencier, dans l'ordre, j'avais choisi de peindre sur chacun son nom : $a_1,\,a_2,\,a_3...a_n$
Et j'ai expliqué que de $a_5$ (par exemple) à $a_n$ si je fais n-5, je n'obtiens pas le nombre d'arbustes mais le nombre d'espaces qu'il y a entre l'arbuste $a_5$ et l'arbuste $a_n$ et que le nombre d'arbustes lui est toujours supérieur de 1  ici (n-5)+1...

Avec p<=n entre  l'arbuste $a_p$ et l'arbuste $a_n$, il y a (n-p)+1 arbustes
Avec p et q positifs, entre  l'arbuste $a_p$ et l'arbuste $a_{p+q}$, il y a (p+q-p)+1 arbustes : ça marche toujours...
Si chez toi, tu as une étagère avec de nombreux CD, tu glisses un signet entre chaque CD : il y a un CD de plus que de signets, c'est "évident" (du moins j'espère)

Cette histoire de piquets et d'intervalles permet de résoudre arithmétiquement ce vieux problème (j'ai appris ça en CM2, c'est te dire...)
Une échelle mesure 2,85 m de log.
Les barreaux ont une épaisseur de 2 cm, ils sont séparés de 15 cm.
Echelle posée verticalement, entre le pied de l'échelle  sur le sol et le 1er barreau, il y 20 cm, entre le dernier barreau et le sommet de l'échelle 25 cm.
Combien y a-t-il de barreaux ?
Je peux adapter ce problème d'échelle à l'étagère de CD.
Si je suppose que c'est chez moi :
avant le 1er CD, je mets une cale pour l'empêcher de basculer,
après le dernier CD, je mets une autre cale pour l'empêcher de basculer.
(Avec des livres, on appellerait ça des serre-livres)
Puis entre chaque CD, je mets des séparations.
Si je mesure la distance totale (du début de la 1ere cale à la fin de la dernière cale) l'épaisseur de ces cales, l'intervalle entre chaque CD, la largeur d'un CD, le calcul me donnera le nombre de séparations auquel j'ajouterai 1 pour obtenir le nombre de CD...

Et si je te dis : j'ai tout une série de CD numérotés de 1 à n que je baptise $a_1,\,a_2,\,a_3\cdots a_n$...
Là c'est bien moins tordu que mes problèmes arithmétiques
Avec p<n, je peux te demander combien il y a de CD entre le n° p et le n° p+10 (avec p+10<=n, sinon ça n'a pas pas de sens)...
(p+10-p)+1 =11...

De $a_p$ à $a_{p+q}$ (peu importe p) : (p+q-p)+1 =q+1
Ça peut se prouver.... par récurrence (sur q) en partant de p quelconque...

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#257 24-12-2019 16:12:00

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Bonsoir, est-ce que l'on peut revoir la question 1) du  # 203
c'est à dire avec $p=0$ et $n$ quelconque

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#258 24-12-2019 17:01:20

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Bonsoir,
Le cas $p=0$ et $n$ quelconque de la suite $a_p,a _{p+1}, ....a_n$ ?
On peut tout étudier..tester..le terrain de jeu est vaste

Dernière modification par Zebulor (24-12-2019 17:15:47)

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#259 24-12-2019 17:26:58

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Bonsoir Zebulor, je te remercie de me répondre, j'ai oublié que c'est la veille de Noel..
c'est surtout au # 205 où tu me dit que c'est à la condition où n a une valeur précise et j'ai pas bien compris

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#260 24-12-2019 17:36:40

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Veille de Noël certes, mais ce n est pas grave..je fais du feu en même temps..
Je reprends :

yannD a écrit :

Il y a :  n - ( p - 1) = n - p + 1 termes dans la suite $a_p,a_{p+1},...........a_{n-1},a_n$

Cas où $p=0$.

c'est la suite a0. et il y a un seul terme..
est-ce que c'est ça ?

Et je t avais répondu qu en choisissant $p=0$ la suite $a_p,a_{p+1},...........a_{n-1},a_n$ ne se réduit qu à un seul terme $a_0$ moyennant une condition supplémentaire : que $n$ prenne une valeur bien précise en effet.

Dernière modification par Zebulor (24-12-2019 17:43:56)

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#261 24-12-2019 17:49:29

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Oui, et c'est cette condition supplémentaire qui m'arrête..
Cela fait une petite semaine que j'essaie d'y répondre !!

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#262 24-12-2019 18:01:35

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

d accord , regarde bien cette suite :

$a_p,a_{p+1},...........a_{n-1},a_n$

Lorsque je lui impose p=0 sans toucher à rien d’autre elle devient :
$a_0,a_1,...........a_{n-1},a_n$ : c’était la réponse à ma question.

Tu peux remarquer que : $a_0$ est son premier terme, $a_n$ son dernier

$a_0$ est une suite particulière de la suite $a_0,a_1,...........a_{n-1},a_n$, lorsque $a_0$ en est le SEUL terme c'est à dire à la fois son premier et son dernier terme.

Conclusion : $a_n$ et $a_0$ ne sont alors qu un seul et même terme. Ils coïncident. Alors nécessairement
n=0. Et il vient $a_n=a_0$
Finalement la suite $a_p,a_{p+1},...........a_{n-1},a_n$ se réduit à $a_0$ lorsque p=n=0

Ça va ?

Au fait elle contient $n-p+1$ termes soit ? .... terme.

Dernière modification par Zebulor (25-12-2019 17:26:27)

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#263 25-12-2019 17:00:52

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Bonsoir Yoshi et zebulor, je vous souhaite un Joyeux Noël ....

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#264 25-12-2019 17:04:01

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Bonsoir Yann bonnes fêtes de même !! Studieuses apparemment...

Dernière modification par Zebulor (25-12-2019 17:12:31)

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#265 25-12-2019 17:35:16

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Oui..studieuses !!
As-tu reçu les cadeaux que tu voulais ?
Moi, j'aurais bien voulu avoir l'avion de chasse qui est passé (#244)

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#266 25-12-2019 17:42:45

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Ahahhh! L avion de chasse!!! C était un petit clin d’œil mais ça doit coûter cher à entretenir. Mieux vaut savoir bien calculer les frais..
On m’a offert un tapis. Et il reste toujours au ras du sol. Ça me va.

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#267 25-12-2019 17:57:57

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Tu te trouves au ras du sol !!!???
Je trouve que tu es un bon pédagogue et tu m'as bien aidé pour les suites

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#268 25-12-2019 17:59:01

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Tu as le temps de faire un peu de math ?
je ne te dérange pas ?

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#269 25-12-2019 18:01:36

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

C est bon. Une petite heure devant moi. Non c’est le tapis qui est au ras du sol, certes il m’arrive d’être tête en l’air. Merci pour ton retour.

Dernière modification par Zebulor (25-12-2019 18:04:05)

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#270 25-12-2019 18:08:16

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

j'aimerais que l'on revienne sur la méthode par substitution que tu as utilisé pour me faire comprendre la récurrence

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#271 25-12-2019 18:11:33

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Dans ce cas cas il faudrait peu être ouvrir une autre discussion ?
Avant d’aborder la récurrence , as tu compris mon post 262? J’avais un petit exercice en tête par rapport à ce post là

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#272 25-12-2019 18:17:26

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

pour le # 262 : j'ai plus ou moins bien compris
et juste avant que tu me proposes un autre exercice ( celui que tu en tête ) j'aurais voulu revoir la méthode que tu m'as expliqué pour la récurrence , aussi je veux bien ouvrir un autre sujet mais je ne sais pas comment l'intituler

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#273 25-12-2019 18:26:43

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

#262 : donc un peu trop abstrait. Simplement dans le cas où la suite se réduit à un seul terme, on est ici dans le cas ou n=p=0 et on a bien n-p+1=0-0+1= 1 terme..
Concernant la récurrence..mieux vaut déjà revoir l’intitulé exact de ton Dm, pour que je sache sur quels éléments on part.
Sinon tu peux l’intituler : suites et principe de récurrence ?

Dernière modification par Zebulor (25-12-2019 18:27:57)

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#274 25-12-2019 18:32:21

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

si je crée un sujet : suite et principe de récurrence, je mets quoi comme énoncé ?

Dernière modification par yannD (25-12-2019 18:34:04)

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#275 25-12-2019 18:34:24

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

C était ça :

yannD a écrit :

Bonsoir, j'ai une partie d'un Dm que je n'arrive pas à faire tout seul, pouvez vous m'aidez à chercher, s'il vous plait ?


• Soit $u_n$ définie pour tout entier naturel n par $u_n=3n-2$.
montrons que $u_n$ est arithmétique, c'est à dire que la différence entre deux termes consécutifs est indépendante de $n$.

• Terme général en fonction de n
        Soit $u_n$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$.

Pour tout  entier naturel n, $u_n = u_0+n.r$
Pour tout entier naturel n non nul , $u_n=u_1+(n-1)r$
Pour tout entier naturel n et pour tout entier naturel $p$, $u_n=u_p +(n-p).r$

1. Montrer que la propriété $<< u_n = u_0+n.r >>$ est vraie pour n=1, n=2, n=3
2. Montrer qu'elle est encore vraie pour n+1
3. En conclure que la propriété  est vraie pour tout entier naturel n

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