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#1 21-06-2007 19:17:43

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Enigme : Le partage équitable

Bonsoir,

A mon tour :
Deux frères héritèrent d'un troupeau de moutons. Ils le vendirent, touchant pour chaque bête autant d'euros qu'il y avait de moutons dans le troupeau. Ils touchèrent cet argent en billets de 10 € plus, en monnaie, une somme inférieure à 10 €. ILs se répartirent la somme totale en plaçant les billets sur une table et en prenant un chacun à leur tour, jusqu'à ce qu'il n'en reste plus.
<< Ce n'est pas juste ! >> se plaignit le plus jeune << C'est toi qui a pris le 1er billet et c'est encore toi qui prends le dernier, tu as reçu dix euros de plus que moi. >>
Pour rendre le partage plus équitable, le plus vieux céda à son frère toutes les pièces de monnaie ; mais celui-ci n'était toujours pas satisfait : << Tu m'as donné moins de dix euros, tu me dois donc encore de l'argent. >>
<< C'est vrai répondit le plus vieux. Je te propose donc de te faire un chèque du montant nécessaire pour que nous recevions chacun la même somme. >>
Le plus jeune accepta.
Quelle fut la valeur du chèque ?

A John : je reste pantois devant ton brillant traitement du problème Micro$oft...

A vous lire


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#2 22-06-2007 14:17:31

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
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Re : Enigme : Le partage équitable

Joli problème d'arithmétique Yoshi...

Juste un conseil : n'oubliez pas l'information contenue dans les deux premières phrases du problème!

Fred.

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#3 23-06-2007 13:12:43

vbnul
Membre
Inscription : 06-02-2007
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Re : Enigme : Le partage équitable

Les deux première phrases nous disent que le nombre d'euros partagés est un carré, sa ne m'a pas l'air important.

Soit R le montant de la monnaie, celui du chèque est alors de (10-R)/2.
Si on veut le montant du chèque en fonction du nombre N de moutons on a aussi R = N*N modulo 10.

Dernière modification par vbnul (23-06-2007 13:20:21)

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#4 23-06-2007 13:34:15

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 16 947

Re : Enigme : Le partage équitable

Bonjour

vbnul a écrit :

Les deux première phrases nous disent que le nombre d'euros partagés est un carré, sa ne m'a pas l'air important.

Et pourtant, si !
La réponse attendue est un entier naturel précis et il n'y a qu'une seule réponse possible...

Mais j'en ai déjà trop dit !!!

@+


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#5 25-06-2007 19:03:21

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
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Re : Enigme : Le partage équitable

Bonsoir,


Alors là, soit tout le monde coince (ça m'étonnerait) soit mon énigme n'intéresse personne ?
Z'en voulez une autre ?

@+


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#6 25-06-2007 22:40:57

john
Membre actif
Inscription : 10-02-2007
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Re : Enigme : Le partage équitable

Bonsoir yoshi,

... mais siiiii !!! ça intéresse tout le monde et d'ailleurs je donne la solution pour passer à la suivante.
Le prix du troupeau est un carré. Le plus petit carré pour un troupeau (au moins 2 moutons) c'est 4 €, divisé par 2, ça fait un chèque de 2 €. Sauf erreur évidemment.
A+

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#7 26-06-2007 06:12:54

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Enigme : Le partage équitable

Bonjour,

John !!! Tu retombes dans ton péché mignon, la lecture des énoncés en diagonale ? Ce doit être  la rançon des esprits forts...
Il te faut revoir ta solution...
Attention à bien lire ce que je viens d'écrire ici et ce qui n'y est pas écrit... (ça pour éviter toute contestation ultérieure... :-) )

@+


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#8 26-06-2007 08:44:17

john
Membre actif
Inscription : 10-02-2007
Messages : 543

Re : Enigme : Le partage équitable

Hello,
Heu, maintenant, j'évite de lire les énoncés en diagonale et en fait, c'était une grosse farce pour yoshi... j'avais pensé aussi à une solution du type : "Puisqu'un mouton à toujours 4 pattes, le chèque est forcément de 2 € !" mais c'était un peu gros.
J'espère seulement que quelques uns se sont arrachés les cheveux pour essayer de comprendre ma démonstration.
Pour revenir à des choses plus sérieuses, si on ne connait pas l'arithmétique modulo, on peut quand-même se rabattre sur l'expérimentation numérique et constater que pour n moutons, n = 4, 6, 14... on se trouve dans les conditions du problème et le chèque est toujours de 2 €.
Il est quand-même curieux que ça marche aussi pour n = 2 alors que le nombre de billets de 10 € est pair.
A+

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#9 26-06-2007 08:47:28

navaro damien
Invité

Re : Enigme : Le partage équitable

indice n° 1 : "autant d'euros qu'il y avait de moutons dans le troupeau."

soit 1€ par tête ( c'est pas cher d'ailleurs).

#10 26-06-2007 08:59:25

john
Membre actif
Inscription : 10-02-2007
Messages : 543

Re : Enigme : Le partage équitable

Re,
hum ! Damien, si tu n'es pas un farceur comme moi, je crois que tu devrais relire l'énoncé avec attention.
A+

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#11 26-06-2007 10:52:32

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Enigme : Le partage équitable

Bonjour,

Hum ! John... Je ne suis toujours pas satisfait....
Tu as écrit :

...le nombre de billets de 10 € est pair.

Es-tu bien sûr de ne pas avoir à relire l'énoncé toi aussi ?

Par contre, Tu m'as bien eu ! Je n'ai pas envisagé la farce, pourtant j'aurais dû au regard de ton post sur les gourdes et le désert...


@+


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#12 26-06-2007 10:58:23

vbnul
Membre
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Messages : 67

Re : Enigme : Le partage équitable

Le nombre minimal de moutons dans ce problème est 4, sans quoi il n'y aurait pas de billet de 10€ à partager.
Dans le cas de 4 moutons, on a 4*4=16 donc 6€ de monnaie, il reste à faire un chèque de 2€ comme l'a dit john.

Après on utilise le théorème de yoshi qui nous dit que la solution est unique, elle est donc de 2€.
Seule manque la démonstration du théorème ;-)

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#13 26-06-2007 11:38:57

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Enigme : Le partage équitable

Re,

vbnul a écrit :

Le nombre minimal de moutons dans ce problème est 4.

Non plus ! Relis !

@+


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#14 26-06-2007 13:16:05

john
Membre actif
Inscription : 10-02-2007
Messages : 543

Re : Enigme : Le partage équitable

Re,

Les mathématiques ne sont pas de la politique et si tu (yoshi) extrais de ma discussion non pas une phrase mais quelques mots seulement, il est clair que tu vas arriver à me faire passer pour quelqu'un qui écrit des bêtises involontairement... (alors que ce n'est pas le cas ici et rarement en général, enfin... pas trop souvent et je demande toujours pardon, même lorsque c'est impardonnable).

yoshi a écrit :

Bonjour,

Hum ! John... Je ne suis toujours pas satisfait....
Tu as écrit :

...le nombre de billets de 10 € est pair.

Es-tu bien sûr de ne pas avoir à relire l'énoncé toi aussi ?

Par contre, Tu m'as bien eu ! Je n'ai pas envisagé la farce, pourtant j'aurais dû au regard de ton post sur les gourdes et le désert...


@+

En réalité, j'ai écrit :

"Il est quand-même curieux que ça marche aussi pour n = 2 alors que le nombre de billets de 10 € est pair."
(Sous-entendu : et qu'il est impair dans le cas général).

Bon, revenons à nos moutons...
2 frères, n moutons, prix du mouton n €, prix en € du troupeau n² = 10.(2p+1) + m
réglé avec (2.p + 1) billets de 10 € et m € en monnaie (avec 0 < m < 10)

Partage équitable grâce à un chèque de montant c €.
10.(p + 1) - c = 10.p + m + c
10 - c = m + c => c = (10 - m)/2

n² est un carré => m, son dernier chiffre, est 1, 4, 5, 6 ou 9.
a/ n = 2.q => n² divisible par 4 => 10 + m divisible par 4 => m = 6
b/ n = 2.q + 1 => n²- 1 divisible par 4 => 9 + m divisible par 4 => pas de solution entière pour m.
d'où : c = (10 - 6)/2 = 2 €.
A+

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#15 26-06-2007 13:48:38

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Enigme : Le partage équitable

B'jour,

OK John ! J'ai mal interprété tes propos. Effectivement lu comme ça...
Loin de moi l'idée de vouloir imiter  certains (tous ?) hommes politiques...

Mais qui collera John ? Mission impossible ?....

@+

[EDIT]
La démonstration que je connaissais :
Le nombre de billets de 10 € est impair.
Or, le carré de n'importe que multiple de 10 étant pair, il faut bien que le carré du dernier chiffre du nombre de moutons comprenne un nombre impair de dizaines...
Sels 4 (4² = 16) et 6 (6² = 36) répondent à la condition.
Dans les deux cas , la terminaison est 6...
Donc, le chiffre des unités du carré du nombre de moutons, donc de la somme reçue, est 6...
La somme reçue en monnaie était donc de 6 €.
Le plus jeune ayant pris les 6 €, il accusait encore un déficit de 4 € sur son aîné...
Il y avait donc un partage équitable avec un chèque de 2 €


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#16 29-06-2007 21:14:34

john
Membre actif
Inscription : 10-02-2007
Messages : 543

Re : Enigme : Le partage équitable

Bonsoir,

yoshi a écrit :

Mais qui collera John ? Mission impossible ?....
@+

Non, ce n'est pas mission impossible et heureusement car ce serait bien triste pour moi. Mais c'est vrai, j'ai une certaine tendance à l'acharnement mathématique, un peu comme si le citron avait toujours besoin d'un os à ronger.
--------------
Je viens de m'apercevoir qu'un message peut être modifié par son auteur (cf. l'EDIT du message ci dessus)... sans être signalé sur le tableau de bord par un carré bleu foncé. Il me semble pourtant que ce serait utile pour ne pas manquer une partie de la réponse.
NB. Certes pas d'un grand intérêt pour les corrections d'orthographe (ce dont j'abuse).
A+

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#17 21-01-2008 19:23:11

De passage
Invité

Re : Enigme : Le partage équitable

Bonjours à tous, je viens certes un peu tard, mais je dois avouer que je n'ai pas compris toute la "deuxième démonstration" en effet, il m'apparait qu'un nombre dont le carré à un nombre impair de dizaines répond au problème. Vous avez l'air de dire que seuls 4 et 6 répondent à la condition. Alors je pense que cela exige une petite démonstration, car si on considère 14, 14²=196 à un nombre impair de dizaines. Bon il a 6 comme chiffre des unités, mais alors, il faudrait démontrer que quelque soit x, x² à un nombre impair de dizaine => le chiffre des unités est 6. C'est le cas de 16, 24,26...

#18 21-01-2008 19:27:14

De repassage
Invité

Re : Enigme : Le partage équitable

Ou là, veuillez m'excuser, je viens de comprendre la démo, oubliez ce que j'ai dit, mettons cela sur l'horaire tardif, et la fatigue de la reprise de la semaine...

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