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#1 06-10-2005 21:55:06

Dupont Cyprien
Invité

[Résolu] Intégration d'exponetiel moins 1/2*x² Au secours !!!

Bonjour
en me balladant sur internet j ai trouvé une formule qui me disait que l'integrale de o à l'infini de exponetiel moins 1/2*x² vaut racine de (pi sur 2). Je cherche une demonstation de ce resultat ( je me souviens de deux methodes pour le demonter l'une d'elle utilisant les coordonnées polaires et un autre dont justement je n'arrive pas à me rappeler ...
QQun peut il m aider ou me rediger vers un site ou je trouverais cette demonstation
Merci bcp !!

Cyp

#2 07-10-2005 09:39:23

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 703

Re : [Résolu] Intégration d'exponetiel moins 1/2*x² Au secours !!!

La méthode la plus facile utilise effectivement les coordonnées polaires.

On note :

[tex]I(a)=\int_{D_a}e^{-(x^2+y^2)}dxdy[/tex]
[tex]J(a)=\int_{C_a}e^{-(x^2+y^2)}dxdy[/tex]
où D_a est le disque de centre 0 et de côté a, et C_a est le carré centré en 0 de côté a.

En comparant la taille des carrés et du disque, on doit avoir quelque chose comme
J(a)<=I(a)<=J(2a)
EN particulier, les limites de J et I en l'infini sont égales.

Maintenant, l'intégrale sur le carré peut se décomposer très facilement en produit d'intégrales, et on a :
[tex]I(a)=\left(\int_{-a}^a e^{-x^2}dx\right)^2[/tex]

En passant à la limite en l'infini, on a le carré de l'intégrale demandé.
Maintenant, il n'est pas dur de calculer I(a) en passant en coordonnées polaires, car l'intégrale se transforme en

[tex]\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^a re^{r^2}drd\theta[/tex],

et cette fois on sait trouver directement une primitive de re^{r^2}....

Il reste les calculs à ajuster!

Hors ligne

#3 22-10-2005 10:42:38

Au
Membre
Inscription : 22-10-2005
Messages : 22

Re : [Résolu] Intégration d'exponetiel moins 1/2*x² Au secours !!!

On peut aussi montrer ce résultat à l'aide d'intégrale à paramètre.

On consid\`ere les fonctions f  et g
de [tex]\R+[/tex]dans [tex]\R[/tex] d\'efinies par
[tex]f(x)=\left(\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt\right)^2[/tex] et
[tex]g(x)=\int_{0}^{1}\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}dt.[/tex]
On montre que ces fonctions sont de classe [tex]C^1[/tex] sur [tex]\R_+[/tex] et que
f'(x)+g'(x)=0 pour tout x>0. On en d\'eduit
[tex]\forall x\geq 0[/tex] f(x)+g(x)=C et on calcule C  avec la limite en 0.
On peut alors en d\'eduire la valeur de
[tex]I=\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}dt[/tex]par passage \`a la limite en l'infini.

Voilà, à vous de jouer !!!

Dernière modification par Au (22-10-2005 12:46:50)

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