Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
Discussion fermée
#1 10-11-2019 17:05:00
- ade
- Membre
- Inscription : 13-11-2016
- Messages : 36
Endomorphisme commutant
Bonjour j'ai besoin de votre aide sur la question [tex]N°2[/tex] de cet exercice.
************************************************
Soit [tex]E[/tex] un espace vectoriel de dimension [tex]3[/tex] et [tex]f \in L(E) [/tex] telle que [tex]f^2\neq 0[/tex] et [tex]f^3= 0[/tex]
Soit [tex] x_0 \in E / f^2(x_0)\neq 0[/tex]
1. Montrer que [tex](x_0,f(x_0),f^2(x_0))[/tex] est une base.
2. Montrer que l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec [tex]f[/tex] est un sous-espace vectoriel de [tex]L(E)[/tex] de base [tex](id,f,f^2)[/tex].
***********************************************
J'ai traité la première question mais la deuxième j'ai réfléchi sans aboutir. Merci de m'aider.
Hors ligne
#2 10-11-2019 19:15:15
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Endomorphisme commutant
Salut,
et si tu reprenais la définition d'une base ?
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
Hors ligne
#3 10-11-2019 19:38:25
- ade
- Membre
- Inscription : 13-11-2016
- Messages : 36
Re : Endomorphisme commutant
Une base est une famille libre et génératrice.
J'ai posé soit [tex]G[/tex] l'ensemble des endomorphismes commutant avec [tex]f[/tex]
soit [tex]g\in G[/tex], On a alors [tex]f°g=g°f[/tex].( lire [tex]f [/tex] rond [tex]g[/tex])
Mon problème est comment partir d'ici pour montrer que G est un sous-espace vectoriel de base [tex](id,f,f^2)[/tex].
Merci.
Hors ligne
#4 10-11-2019 22:45:10
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Endomorphisme commutant
Re,
je répète : c'est quoi, une base ? Et que fais-tu de la question précédente ?
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
Hors ligne
#5 11-11-2019 00:14:19
- ade
- Membre
- Inscription : 13-11-2016
- Messages : 36
Re : Endomorphisme commutant
Une base d'un espace vectoriel est une famille libre de même dimension que l'espace vectoriel.
D'Après la première question, on sait que [tex](id,f,f^2)[/tex] est une famille libre de [tex]L(E)[/tex].
Ma question est que comment montrer que c'est une base de l'ensemble des endomorphismes commutant avec f sachant que
un endomorphisme [tex]g[/tex] commute avec [tex]f[/tex] si et seulement si [tex]f°g=g°f[/tex].
Merci.
Hors ligne
#6 15-11-2019 21:46:04
- Maenwe
- Membre confirmé
- Inscription : 06-09-2019
- Messages : 409
Re : Endomorphisme commutant
Bonsoir,
Tu es d'accord que $(Id, f, f^{2}) $ est une famille libre ?
Si ce n'est pas une base de $C (u) = \{h | h\circ u = u \circ h \}$ alors il existe $h \in C (u) $ tel que $(Id, f, f^{2}, h) $ est libre. Qu'en déduis tu ?
Hors ligne
#7 16-11-2019 12:41:34
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Endomorphisme commutant
Bonsoir,
Tu es d'accord que $(Id, f, f^{2}) $ est une famille libre ?
Si ce n'est pas une base de $C (u) = \{h | h\circ u = u \circ h \}$ alors il existe $h \in C (u) $ tel que $(Id, f, f^{2}, h) $ est libre. Qu'en déduis tu ?
Salut,
cherche pas, on ne lui a pas donné la solution, il ne voulait pas pousser plus loin la réflexion pour établir le résultat demandé, il a raté une jolie occasion d'avancer dans la compréhension des EV, il s'est barré, tant pis pour lui :-)
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
Hors ligne
#8 18-11-2019 14:04:40
- ade
- Membre
- Inscription : 13-11-2016
- Messages : 36
Re : Endomorphisme commutant
OK Merci beaucoup... Je ne me suis pas barré Mr Freddy
Hors ligne
Pages : 1
Discussion fermée