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#1 29-10-2019 12:32:00

Here2000
Membre
Inscription : 29-10-2019
Messages : 1

Groupe monogène

Bonjour,

Dans mon cours sur les groupes, le prof nous a dit que tout groupe monogène est forcément commutatif, mais je n’arrive pas à comprendre pourquoi.

Merci d’avance

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#2 29-10-2019 20:09:51

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 387

Re : Groupe monogène

Bonsoir,

Pour le voir il faut que tu reviennes à la définition, qu'elle est donc la définition d'un groupe monogame ? Ou plus spécifiquement, qu'elles sont les éléments condtitiant cet ensemble ?

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#3 30-10-2019 10:16:53

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 152

Re : Groupe monogène

Maenwe a écrit :

Bonsoir,

Pour le voir il faut que tu reviennes à la définition, qu'elle est donc la définition d'un groupe monogame ? Ou plus spécifiquement, qu'elles sont les éléments condtitiant cet ensemble ?

Salut,

monogène c'est mieux que monogame, même si au fond, ça renvoit à la même idée d'unicité :-)

Dernière modification par freddy (30-10-2019 10:17:03)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#4 30-10-2019 10:22:57

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 387

Re : Groupe monogène

Bonjour,

C'était voulu ;) Non je plaisante, je ne l'avais même pas vu (et surtout même pas relu...), je blâme souvent le correcteur automatique mais sur ce coup là c'est plutôt drôle !

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#5 27-02-2020 16:21:03

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 111

Re : Groupe monogène

J'écrirais la chose suivante :
Si $G$ est un groupe monogène, alors il existe un élement $g$ de $G$ qui engendre $G$. Ce qu'on écrit :

$G=<g>:=\{g^k\,,k\in\mathbb{Z}\}$

Montrons qu'alors $G$ est commutatif.

On considère pour cela deux éléments $u$ et $v$ dans $G$. On peut alors écrire :

$u=g^p$ et $v=g^q$ avec $p$ et $q$ dans $\mathbb{Z}$

Par conséquent, on a :
$uv=g^pg^q=\underbrace{(g\cdots g)}_{p\,fois}\times \underbrace{g\cdots g}_{q\,fois}$

En regroupant les q premiers g, il reste alors p fois g.

Ce qui donne :
$uv=\underbrace{(g\cdots g)}_{q\,fois}\times \underbrace{g\cdots g}_{p\,fois}=g^qg^p=vu$.

On a donc bien uv=vu.

Ce qui veut dire que G est commutatif (ou abélien).

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