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FoxLegend

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Équations du second degré

Bonjour, Si quelqu'un pouvait m'aider je n'ai vraiment pas compris.

On considère la fonction polynôme du second degré f définie par f(x)=ax²+bx+c.
Résoudre l'équation f(x)=c
En déduire l'abcisse du sommet de la parabole P représentant f .
Compléter le programme ci-contre permettant de retourner les coordonnées du sommet P
Def sommet (a,b,c):
x=...
y=...
Return (x,y)
Que va retourner le programme pour f(x)= -3x²+5x+1
J'ai strictement rien compris et c'est noté on a jamais vu ça en cours je sais pas quoi faire

Maenwe

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Re : Équations du second degré

Bonsoir,

Connais tu quelques propriétés sur les paraboles ? Notamment sur ses axes de symétries...
La 1ère question est purement calculatoire : comment peux tu réécrire cette équation ?

La deuxième question demande un peu plus de réflexions pour pouvoir déduire la réponse de la question précédente, et demande notamment de connaître une propriété sur la parabole, son axe de symétrie... (je dois avouer que j'ai été un peu perplexe au début devant le "en déduire..." mais en réfléchissant un peu, je me suis souvenu à quoi ressemblait une parabole et ais trouvé ça pas bête du tout comme approche et même très astucieux comparé à la méthode usuelle que l'on voit en première).

Dernière modification par Maenwe (28-10-2019 22:39:21)

FoxLegend

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Re : Équations du second degré

Je n'y arrive vraiment pas est le prof ne nous fait pas voir ce genre de méthode c'est à nous de nous débrouiller le problème c'est que c'est noté et j'ai peur pour mon parcours sup

FoxLegend

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Re : Équations du second degré

Mais je pense que pour la première question il suffit de remplacer les x par c
ac²+ac+c
Non?

Maenwe

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Re : Équations du second degré

Bonsoir,

Donc tu es soit en première soit en terminale pour t'inquiéter de parcoursup.
Non ce n'est pas ce que je voulais dire par réécrire l'équation, l'équation initiale est $f(x) = c$ ou, ce qui revient exactement au même, $ax^{2} + bx + c = c$. Mais avant que je continue, pourquoi pensais tu qu'il fallait remplacer x par c ? Parce qu'il y a un c dans l'équation et que ton intuition te dit "remplace x par c" ? (C'est important que je comprennes pourquoi pour savoir comment t'expliquer la suite).

FoxLegend

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Re : Équations du second degré

Je ne sais pas j'ai essayer de faire qlq chose^^ donc en faite ça donne juste f(x)=ax²+bx+c=c c'est juste ça la réponse ? Ca me paraît bizarre ou alors c'est moi le problème ça je ne voit ce que je doit en déduire pour la suite. Désolé si je ne comprend pas tout je tiens vraiment a réussir j'ai des difficultés merci d'avance.

Maenwe

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Re : Équations du second degré

Bonjour,
Désolé de ne pas avoir été très clair ^^ Non ce n'est pas la réponse, on attend de toi que tu trouves le ou les valeurs qui satisfassent cette équation (c'est ce que l'on veut dire par "résoudre l'équation").
Donc l'équation que l'on te demande de résoudre est $ax^{2} +bx + c = c $ tu es d'accord ?

Maintenant on va simplifier cette équation pour la résoudre (en gros pour une équation soit tu la simplifie soit tu la résous directement comme par exemple avec le discriminant pour une équation du second degré ), résoudre l'équation que l'on te demande est la même chose que résoudre :
$ax^{2} + bx = 0$ tu es d'accord ?

Dire qu'une équation est équivalente à  une autre ça  veut dire q'elles possèdent les mêmes solutions, et ça  s'écrit avec la symbolique mathématiques avec ce signe : $\iff $. Dans notre cas on écrit donc la simplification que l'on a effectué de cette manière :
$ax^{2} + bx + c = c $ $\iff $ $ax^{2} + bx = 0$

Je continue donc mes simplifications :
$ax^{2} + bx + c = c $ $\iff $ $ax^{2} + bx = 0$ $\iff $ $x.(ax+b) = 0$
Et je te laisse faire la suite de la question, n'hésite pas si tu ne comprends pas un mot de ce que j'ai écris à demander.

PS : Ne te laisse pas décourager par les maths ! Les maths ce n'est pas simple de par son apparente "non connection" avec le monde réel, et à  tout niveau ce n'est pas simple  d'apprendre les maths, et ça  prend du temps ! Ce n'est pas grave si tu ne comprends pas une notion, ça m'arrive aussi ;) mais en y passant du temps sans se stresser et sans se dire  "il faut sur je comprenne ce soir ", un soir ou l'autre  (ça  peut  prendre plusieurs jours voir une semaine ou plus suivant la notion et la personne) tu vas te dire bah en fait  c'est pas si dure et c'est extrêmement gratifiant tu peux me croire !
Et d'ailleurs pour t'aider à comprendre les maths n'hésite pas à  faire des dessins ! Par exemple pour ce problème dessine la courbe à la main, avec ou sans l'aide d'un logiciel tel geogebra. Et pour  les notions mathématiques abstraite essayé de trouver une image mentale qui le représente le mieux, tu peux même te l'imaginer comme un être vivant ;)

FoxLegend

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Re : Équations du second degré

Bonjour merci de prendre du temp pour moi j'ai fait l'equation et voilà la suite:
x(ax+b)=0 <=> ax =-b <=> x=-b/a
Donc les solutions de l'equation sont [0;-b/a]
Mais je ne comprend toujours pas quoi en déduire.

yoshi

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Re : Équations du second degré

Bonsir,

Réfléchis à ce que Maewen t'a écrit :

La deuxième question demande un peu plus de réflexions pour pouvoir déduire la réponse de la question précédente, et demande notamment de connaître une propriété sur la parabole, son axe de symétrie...

Je ne sais pas trop comment Maewen comptait agencer la suite de son aide...
Pour te faire gagner du temps en attendant qu'il te reprenne en mains, je prends le risque de te proposer de réfléchir à ce qui suit :
Tu as deux solutions $x=0$ et $x=-\dfrac b a$.
L'axe de symétrie de ta parabole est-il horizontal ? vertical ?
Quel rapport y a-t-il entre cet axe de symétrie et le Sommet de la parabole ?
Que valent $f(0)\; ?\; f\left(-\dfrac b a\right)\;?$
Comment sont placés les points de coordonnées
$(0\,;\,f(0))\text{ et }  \left(-\dfrac b a\,;\; f\left(-\dfrac b a\right)\right)$ par rapport à l'axe de symétrie ?

Maenwen t'a suggéré de travailler sur un exemple...
En voilà un : $f(x)=4x^2+8x-5$
Trace ta parabole
Cherche les solutions de f(x)=-5 puis relis mes questions...

@+

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FoxLegend

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Re : Équations du second degré

Bonsoir je suis désolé mais ça ne m'aide vraiment pas je suis sûr que c'est simple mais je ne comprends pas ce que je dois faire avec l'exemple ni le lien avec mon exercice...

FoxLegend

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Re : Équations du second degré

Bon j'ai réfléchi et pour ma deuxième question l'abcisse du point P est -b/2a mais je ne sais pas si c'est la réponse attendu car je n'ai pas de valeur sur l'exercice donc je donne juste le calcul ensuite par contre pour la 3 je ne comprend pas ce que je dois faire
PS: J'ai réussis à faire la parabole de ton exemple et je me suis souvenu du coup comment calculer l'abcisse du sommet.

FoxLegend

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Re : Équations du second degré

Voilà les réponses de mon exercice (sauf pour la dernière question mais je pense avoir compris.

F(x)=c  S=[0;-b/a]
L'abcisse du sommet P est -b/2a
Def sommet (a,b,c):
x=0
y=-b/a
Return (x,y)
Pour la dernière question il suffit de calculer le sommet de la parabole avec la fonction donnée.
Est ce bon?

Maenwe

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Re : Équations du second degré

Bonsoir,

Merci Yoshi pour l'aide apporté :)
Le resultat de la question 2 est bon mais il faut que tu sois convaincu de ton résultat (pour de bonnnes raisons). Tu as pu remarquer la symétrie de ta parabole je suppose, est ce que tu as tracé un trait horizontale sur ton graphique ?
Si non fait le (trace n'importe quel trait, ce qui compte c'est qu'il soit horizontal) et après regarde l'abscice des points d'intersections de la droite que tu as tracé et ta courbe, qu'elle est la position de l'absice du sommet par rapport à ces deux autres abscices ?

Pour la réponse à  la question 3, ce n'est pas ça, mais c'est juste dû à  un malentendu par rapport à ce qui t'es demandé, que représentent x et y ? Ou' que veut on calculer ?

Dernière modification par Maenwe (29-10-2019 21:30:51)

FoxLegend

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Re : Équations du second degré

Je suppose que tu me parle de l'exemple que yoshi m'a donné et j'ai trouvé en horizontale 0;-5 et -2;-5. Si tu me parle de mon exercice et bien à part pour la dernière question je ne sais pas faire la parabole il me manque des valeur

FoxLegend

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Re : Équations du second degré

Et le sommet j'ai -1;-9 donc je ne vois pas de rapport ?

FoxLegend

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Re : Équations du second degré

Pour la question 3 il faut que je mette les calculs de l'abcisse x et l'ordonne y donc
X=-b/2a
Y=-delta/4a

Maenwe

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Re : Équations du second degré

Tu n'as pas répondu à ma question, par exemple, dans l'exemple proposé par Yoshi où se trouve l'abscice du sommet par rapport à ceux des points d'intersection ?

FoxLegend

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Re : Équations du second degré

Au milieu

Maenwe

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Re : Équations du second degré

Exactement, et c'est le cas pour n'importe quel courbe à cause de sa symétrie ! Et maintenant je te rappel la formule pour calculer la position du point M au milieu d'un segment $[a;b] $ : $M = \frac {a+b}{2} $ (je peux essayer de t'expliquer cette formule si tu le souhaites)
Tu vois où je veux en venir ou pas du tout ?

FoxLegend

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Re : Équations du second degré

Grâce à a et b on obtient la droite ou se situe le sommet de la parabole et donc c'est plus simple de faire une parabole avec cette méthode que la méthode classique ou il faut tout calculer?

Maenwe

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Re : Équations du second degré

J'ai utilisé de mauvais indices dans mon message précédent (je le réécris donc : la position du point M au milieu d'un segment $[f;g]$ : $M = \frac{f+g}{2}$) mais je pense que tu as compris, je récapitule donc : on prend le milieu des deux abscisses des points d'intersections et on obtient l'abscisse du sommet de la courbe... et pourquoi ça marche ? A cause de la symétrie axiale selon l'axe vertical des paraboles.

Maintenant est ce que c'est plus simple ? ça dépend, si ça t'aide à retenir cette formule, alors oui c'est une façon plus simple que de retenir la formule juste par cœur. Quand je te parlais d'images mentale pour retenir les choses, ce peut en être une. Maintenant quant-à la question je suppose que tu voulais au final poser : Est ce que c'est plus rapide que de juste appliquer la formule ? La réponse est non, appliquer la formule est très rapide si l'on ne se trompe pas dans l'application numérique. Et est ce que c'est une preuve plus rapide que la méthode usuelle (pour moi la méthode usuelle est de dériver f et de trouver x tel que sa dérivée s'annule, c'est plus calculatoire, mais il y a moins de justifications à faire).

Dernière modification par Maenwe (29-10-2019 23:58:58)

FoxLegend

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Re : Équations du second degré

Merci c'a m'a beaucoup aidé, pour la question 3 donc il suffit que je mette les 2 formules et la 4 il suffit de les appliquer? Si c'est oui alors je peut y arriver si non j'aurais besoins de conseil pour m'aiguiller en tout cas merci énormément.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Équations du second degré

Re,

Maintenant que l'aide est terminée, je propose une démo pour montrer que deux points distincts de la parabole, ayant même ordonnée sont symétriques par rapport à la droite d'équation $x=-\dfrac{b}{2a}$
Soient $A(x_1\,;\,y_1)$ et $A2(x_2\,;\,y_2)$   deux points distincts de la parabole d'équation $y =ax^2+bx+c$ qui ont même ordonnée.
$y_1=ax_1^2+bx_1+c$
$y_2=ax_2^\boxed{2}+bx_2+c$ oubli de la puissance.
Alors :
$y_1=y_2\quad\iff\quad ax_1^2+bx_1+c=ax_2+bx_2+c $
$ax_1^2+bx_1+c=ax_2+bx_2+c $
$\iff$
$ax_1^2+bx_1$$\boxed{+c}$$-ax_2^2-bx_2=0$ à supprimer. Exact : $ax_1^2+bx_1-ax_2^2-bx_2=0$
$\iff$
$a(x_1^2-x_2^2)+b(x_1-x_2)=0 $
$\iff$
$a(x_1-x_2)(x_1+x_2)+b(x_1-x_2)=0 $
$\iff$
$(x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]=0 $
Les points étant distincts et de même ordonnée $x_1\neq x_2$ et donc $x_1-x_2\neq 0$
L'équation ci-dessus n'a qu'une solution:
$x_1+x_2=-\dfrac b a$
Le milieu M de $[A_1A_2]$ a donc pour abscisse $x_M=-\dfrac{b}{2a}$, abscisse du sommet de la parabole.
La droite d'équation $x=-\dfrac{b}{2a}$, passant part le sommet S de la parabole,  perpendiculaire à l'axe des abscisses, et le milieu du segment qui joint les points de même ordonnée de la parabole, en est la médiatrice.
Par conséquent, elle constitue l'axe de symétrie de cette parabole.

@+

[EDIT]Deux fautes de frappe rectifiées. Merci Maenwen...

Dernière modification par yoshi (30-10-2019 14:50:53)

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Maenwe

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Re : Équations du second degré

Bonjour,

C'est noté donc je ne vais pas tout te dire ;) Mais à ton avis ? Si tu as des doutes pose toi cette question : pourquoi aurais je torts ? Et cherche des trucs qui fait que ton raisonnement est faux, et au bout d'un moment si tu n'y arrives pas, c'est que soit c'est faux mais tu ne vois vraiment pas où ou alors c'est que c'est bon !
Pour répondre aux questions d'un devoir (et d'un problème en général) il est très important que tu te poses certaines questions avant de te poser cette question : "Comment je résous le problème ?", ces questions sont (liste non exhaustive) : "quelles sont les hypothèses du problème ?", "quelles indices puis-je récupérer de l'énoncé ?", "Puis je reformuler les hypothèses (et/ou l'énoncé) ?", "Y a t'il des indices dans les autres questions qui pourraient guider mon raisonnement (je parle bien des question avant et après la question que tu es en train de faire) ?", "Comment puis je représenter le problème ? (graphiquement, avec des mots, ...)" (ie. essayer de rendre le problème le plus claire possible), etc.

Par exemple pour la question 3, on te demande de compléter un programme, voici quelques exemples de questions :
"Quelles indices se trouvent dans le programme incomplet ? (dans son titre, ce qu'il renvoi comme valeur, sa structure, etc.)", "que m'a t'on demandé de faire précédemment ?" et "quelle est la question suivante ?", etc.

Ce genre de sous questions vont énormément te faciliter le chemin vers une éventuelle réponse ou un éventuelle raisonnement à mener, mais pour pouvoir savoir répondre et poser les bonnes questions il faut bien connaître son cours et le maîtriser (on peut le faire sans totalement le maîtriser mais c'est moins facile) ! Il faut que ce soit ta base sûr sur lequel tu puisses t'appuyer pour pouvoir réfléchir aux problèmes que l'on te pose. Je ne dis pas que c'est simple mais juste que c'est possible.

NB :
@yoshi, il y a deux petites fautes à la deuxième équivalence (tu as écrit $ax_{1}^{2} + bx_{1} + c - ax_{2} - bx_{2} = 0$), sinon jolie démo !

Dernière modification par Maenwe (30-10-2019 11:03:25)

FoxLegend

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Re : Équations du second degré

Bonjour merci beaucoup de votre aide voilà mon exercice terminé
(Je finit la question 4 mais elle reprend l'idée de l'exercice donc pas de problème d'application.)

F(x)=c     S=[0;-b/a]

L'abcisse du sommet P est -b/2a

Programme:
x= -b/2a
y= -delta/4a