Nombres complexes et suite , terminale S

Leo12 · 28-10-2019 13:24:49

Bonjour
Je bloque sur un exercice de nombre complexe associé à des suites, le voici:

On pose : -1/2+i×Racine3/2

A) Montrer que j est une solution de z²+z+1=0
B) Calculer j², j³, j⁴
En déduire la valeur de j²⁰¹⁹
C) Calculer S= 1+j +j² +...+ j²⁰¹⁹

Jai fait la A et calculer les trois premier terme mais je ne comprend pas comment calculer j²⁰¹⁹.
Jai essayer en utilisant la formule d'une suite géométrique mais je ne pense pas que ce soit la bonne technique puisque cela me donner des nombre vraiment bizarre. Je ne sais même pas si cest possible de l'utiliser avec des nombre complexes
Voila merci d'avance pour votre aide.

yoshi · 28-10-2019 13:39:07

Bonjour,

Avant toute chose, qu'as-tu trouvé pour $j^2,\;j^3,\;j^4$ ?
(N-B: $j^3=1$)
As-tu déjà vu la formule de Moivre ou pas encore ?
As-tu déjà vu l'écriture des nombres complexes sous forme exponentielle ou pas encore ?
Si la réponse est non, ce n'est pas grave, on peut s'en passer...

@+

Leo12 · 28-10-2019 13:43:21

Jai trouvé
J²= -1/2 - racine3 /2
J³ =1
J⁴= -1/2 + Racine3 /2

Desolee pour l'écriture je n'ai pas trouvé comme on met une Racine carré mais je précise quelle ne s'applique qu'au numérateur

yoshi · 28-10-2019 13:53:06

RE,

Ok, c'est juste.
Alors, tu as dû remarqué que $j^4=j$, mais tu n'as pas pensé à aller voir (un peu) plus loin !
Déduis-en (même si ce n'est pas demandé) $j^5$, $j^6$ et $j^7$ (en fonction de j)

Si tu veux écrire comme ça : $j=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,
il te faut écrire ta formule en utilisant le Code LateX et encadrer cette formule avec un dollar de chaque côté :
j=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}

@+

Leo12 · 28-10-2019 13:59:46

Du coup on remarque que j⁵ = j²
j⁶ = j³
Et j⁷= j⁴ cest ça ?

Ok merci pour la formule

Leo12 · 28-10-2019 14:33:46

Et pour répondre à votre question , je n'ai vu aucune des notions que vous avez mentionné..

freddy · 28-10-2019 16:12:25

Leo12 a écrit :

Du coup on remarque que $j^5 = j^2$, $j^6 = j^3$ Et $j^7= j^4$ cest ça ?

Salut,

ben, oui ! Et donc, comment poursuis-tu ? et comment déduire la valeur de $j^{2019}$ ?

PS : si tu fais "citer", tu peux voir comment j'ai codé en Latex !

Dernière modification par freddy (28-10-2019 16:13:23)

Leo12 · 28-10-2019 16:24:36

Hey,
Peut-être superposer ces puissances pour arriver à une puissance 2019 mais ça me paraît un peu long a faire..
Ça à l'air tout bête mais la je vois pas trop

Leo12 · 28-10-2019 16:30:19

Ou peut-être que comme 2019 est un multiple de 3 on peut déduire que le résultat sera de 1 ? Car les puissance multiple de 3 on l'air de toutes donner 1

yoshi · 28-10-2019 16:44:18

Salut,

Peut-être superposer ces puissances pour arriver à une puissance 2019 mais ça me paraît un peu long a faire..

Non, ce ne sera pas long !
Souviens-toi :
$j=j^1=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$j^2 =-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$j^3= 1$

$j^4= j^1\;=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $4 = 3 \times 1 +1$
$j^5 = j^2 =\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $5 = 3 \times 1+2$
$j^6=j^3 = 1$ $6 = 3 \times 2 $

Et 2019, t'en penses quoi ?

ET $j+j^2+j^3 = ?$

ET $j^4+j^5+j^6 = ?$

Car les puissance multiple de 3 on l'air de toutes donner 1

Elle n'ont pas que l'air...
Soit k un entier naturel > 1
$j^{3k}=(j^3)^k =1 ^k =1$

@+

Leo12 · 28-10-2019 16:47:53

Euh , 2019 = 3× 673 ?

yoshi · 28-10-2019 16:49:34

Bin, oui
2019 : S = 2+1+9 =12 multiple de 3...
Caractère de divisibilité par 3.

Leo12 · 28-10-2019 16:51:22

Ok merci bien , donc ça suffit pour la justification ?

Leo12 · 28-10-2019 16:52:44

Le truc cest que en le tapant a la calculatrice, elle ne me donner pas du tout 1 , cest normal ?

yoshi · 28-10-2019 17:12:47

Pour quelle valeur ?

Ce ne serait pas anormal, cela peut provenir du problème de la représentation informatique des nombres à virgule.
Ex en langage Python :

>>> print (0.3-0.1)

0.19999999999999998

Le i complexe en Python est j, j'ai donc remplacé j par a :

>>> a=-1/2+1j*3**0.5/2

>>> a

(-0.5+0.8660254037844386j)

>>> a**2

(-0.4999999999999999-0.8660254037844386j)

>>> a**3

(0.9999999999999998+1.1102230246251565e-16j)

Mais ma tête me dit que
* -0.4999999999999999 c'est -0.5 et -0.8660254037844386j est $-i\dfrac{\sqrt {3}}{2}$
* 0.9999999999999998 c'est 1 et 1.1102230246251565e-16j est 0i

En outre, ma tête me dit que :
$j=j^1=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$j^2 =-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$j^3= j^2 \times j^1 =\left(-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
qui est une identité remarquable
qui donne $ j^3= \dfrac 1 4 +\dfrac 3 4=1$
Ensuite $j^{2019}=(j^3)^{673}=1^{673}=1$

Leo12 · 28-10-2019 17:18:12

Daaccord, j'ai compris , super merci

Leo12 · 28-10-2019 18:29:05

RE
Du coup pour calculer la somme , j'utilise la formule dune suite géométrique ?

freddy · 28-10-2019 19:05:41

Leo12 a écrit :

RE
Du coup pour calculer la somme , j'utilise la formule dune suite géométrique ?

Oui, et ensuite, pense à ce que tu as établi précédemment que tu peux résumer comme suit : tout nombre entier $n$ s'écrit sous la forme $n=3k+r$, le reste $r$ est égal à 0,1 ou 2.
Donc $j^n=j^{3k+r}=j^r$
La somme devrait ensuite se calculer simplement.

Leo12 · 28-10-2019 19:11:19

Je n'ai pas vraiment compris la méthode

freddy · 28-10-2019 19:28:20

Leo12 a écrit :

Je n'ai pas vraiment compris la méthode

Je ne comprends pas ce que tu n'as pas compris.

Yoshi t'a montré que $j^{3k}=1$ donc $j^{3k+1}=j$ et $j^{3k+2}=j^2$.
Autrement dit, $j^{3k+r}=j^r$ avec r = 0, 1 ou 2.
Je n'ai fait que de le dire autrement.

Allez, calcule ta somme !

Dernière modification par freddy (28-10-2019 19:29:55)

Leo12 · 28-10-2019 19:44:51

Ca fait
S = 1× (1-j⁰ )/ (1-j) ?

freddy · 28-10-2019 19:48:38

Leo12 a écrit :

Ca fait
S = 1× (1-j⁰ )/ (1-j) ?

Je ne comprends pas bien. Combien trouves tu si tu considères avoir une suite géométrique de premier terme 1, de dernier terme $j^{2019}$ et de raison $j$ ?

Leo12 · 28-10-2019 19:51:24

Oui mais du coup on peut dire que j²⁰¹⁹ = j⁰ non ? Le résultat est le même

freddy · 28-10-2019 19:54:25

Oui, mais ta somme ne fera pas apparaître $j^{2019}$, mais un autre terme dont tu sauras calculer la valeur et trouver ce que vaut cette somme. Allez, en piste !

Dernière modification par freddy (28-10-2019 19:54:49)

freddy · 28-10-2019 19:55:35

Leo12 a écrit :

Oui mais du coup on peut dire que j²⁰¹⁹ = j⁰ non ? Le résultat est le même

Oui, bien sûr !

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