Suites arithmetique 1ere

yoshi · 05-11-2019 18:09:26

Re,

Tu as oublié de compléter la décomposition du denier nombre de la parenthèse : 2n+5=4+(2n+1)

On a donc :
$S_n = \dfrac 1 4 (($ $4$ $ + 1) + ($$4$ $+ 3) + ( $ $4$$ + 5 ) + ( $$4$ $+ 7)+....+ ( $$4$ $+2n+1)$

Tu as aussi zappé le point 3 :

3. Regroupe tous les nombres désignés ci-dessus par ..?.. au début et tous les 4 à la fin. Montre-moi ce que tu obtiens...

$S_n=\dfrac 1 4[(1+ ...............................)+(..............................)]$
Fais-le.

Que vois-tu dans la première parenthèse ?

@+

yannD · 05-11-2019 19:13:17

c'est ce que je cherchais pour $2n + 5$ le dernier terme c'est $2n + 5$ et je peux le décomposer en $(2n+1) + 4$

$S_n = \dfrac 1 4 \; (\: (4 + 1) + (4 + 3) + (4 + 7) \;+ . . . + $ $(2n + 1)$ $+ \;4 )$

Maintenant le 3.

$S_n = \dfrac 1 4 \; ( \;1 + 3 + 7 \;+ . . . +\; $$2n +1 $$ \;) \;\;\left( \;4 + 4 \;+ . . . + \;4\,\right)$

yannD · 05-11-2019 19:15:40

donc pour la première parenthèse, j'ai une suite qui augmente à chaque fois de 2 x 2

yoshi · 05-11-2019 19:39:11

Re,

Je ne suis pas d'accord avec ça :
$S_n = \dfrac 1 4 \; ( \;1 + 3 + 5 + 7 \;+ . . . +\; $$2n +1 $$ \;) \;\;\left( \;4 + 4 \;+ . . . + \;4\,\right)$
C'est faux !
1. Tu as oublié le 5 entrez 3 et 7 +
2. Et un + en bleu ci-dessous...
Mais ça, c'est correct:
$S_n = \dfrac 1 4$$[$$( \;1 + 3 + 5 + 7 \;+ . . . +$$2n +1$) $+$$\left( \;4 + 4 \;+ . . . + \;4\,\right)$$]$

Tu as écrit un produit de 3 facteurs.
Moi, un produit de 2 facteurs...

j'ai une suite qui augmente à chaque fois de 2 x 2

Utilise donc le bon vocabulaire : une suite arithmétique de raison 2.
Bon, ce n'est pas tout ce qu'il y a à dire...
Et les nombres de la suite, à part aller de 2 en 2, qu'est-ce que tu peux dire de plus sur eux ?
Ce sont tous des nombres ..?..
1+3+5+7+....+2n+1 est une somme de nombres ..?.. consécutifs
Complète avec le même adjectif...

@+

yannD · 05-11-2019 20:24:44

Ce sont tous des nombres impairs

1+3+5+7+....+(2n+1) est une suite de nombres impairs consécutifs

yoshi · 05-11-2019 20:53:19

Re,

Bon....
C'est maintenant que ça se corse :
1 c'est le premier de la liste
3 c'est le 2e de la liste
5 c'est le 3e de la liste
7 c'est le 4e de la liste
Ok ?
Je fais un tableau :
n° nombre
1 1
2 3
3 5
4 7
Comment passes-tu (par le calcul) de 1 à 1 ? de 2 à 3 ? de 3 à 5 ? de 4 à 7 ?
C'est un seul et unique procédé ...

Lorsque tu auras trouvé tu sauras comment s'écrit, si le n° est n, le nombre impair correspondant. Donne-moi cette écriture...
Ensuite tu pourras trouver quel est le n° qui correspond au dernier nombre, à savoir 2n+1, la première parenthèse...

Après quoi, ce qui suivra ne devait pas être trop dur...

@+

yannD · 07-11-2019 13:22:26

Bonjour Yoshi,
pour passer de 1 à 1: j'ajoute 0,
pour passer de 2 à 3 : j'ajoute 1,
pour passer de 3 à 5 : j'ajoute 2,
pour passer de 4 à 7 : j'ajoute 3,
donc c'est une suite de raison 1

yoshi · 07-11-2019 13:40:55

Re,

Oui et non....
Non ce n'est pas ce que j'appelle un procédé unique...
Là, à chaque ligne tu fais une addition, mais jamais le même nombre.
On ne fait ni une multiplication, ni une soustration seules...

Et oui, parce que le résultat dépendra du nombre n de départ :
- à 1 on fait correspondre 1
- à 2 on fait correspondre 3
- à 3 on fait correspondre 5
- à 4 on fait correspondre 7
Bon...
Et au lieu de prendre 1, 2, 3, 4 je prends un nombre entier n quelconque qui peut être n'importe quel nombre, au n° n, tu fais correspondre quel nombre impair (à écrire en fonction de n, bien sûr) ?

@+

yannD · 07-11-2019 17:08:52

je ne comprends plus pourquoi je dois partir de 1, 2 ,3 , 4 pour trouver un nombre impair, il n'y a qu'à partir de 1 et ajouter 2 à chaque fois,

yannD · 07-11-2019 17:32:37

$S_n = \dfrac 1 4$ [($1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n + 1)$$ + (4 + 4 + 4 + 4+.... + 4)]$
on s'intéresse à la première parenthèse : D'accord.
et on remarque : $1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n + 1)$ est une suite de nombres impairs
après la suite, je vois pas..

yannD · 07-11-2019 17:38:38

la source, ici, ça serait quoi ?
si j'utilise la méthode :
|
-->
|
-->
|
<--

yoshi · 07-11-2019 18:06:33

Bonsoir

Quel est le nombre impair n° n de la liste des nombres impairs consécutifs en commençant à 1 ?

Puisque tu ne vois pas Je vais aller un poil plus loin et t'expliquer pourquoi je pose cette question....
On va avoir besoin de savoir combien, entre 1 et 2n+1, il y a de nombres impairs (en fonction de n).
Pourquoi ?
Si tu ajoutes les 2 premiers nombres impairs : 1+3 = 4 = 2²
Si tu ajoutes les 3 premiers nombres impairs : 1+3= 5 = 9 = 3²
Si tu ajoutes les 5 premiers nombres impairs : 1+3+5+7+9 = 25 = 5²
Si tu ajoutes les 7 premiers nombres impairs : 1+3+5+7+9=11+13 = 49 = 7²...
........................
Si j'ajoute les n premiers nombres impairs, cette somme vaudra n²...

Je peux choisir n'importe quelle valeur pour n, par exemple 13, je ne vais pas m'amuser à les additionner 1 par 1 pour avoir leur somme, je me moque savoir qui ils sont, j'ai juste besoin de savoir qu'il y a en a 13 et alors je fais simplement n²=13² = 169... La somme des 13 premiers nombres impairs vaut donc 169.
La somme des 17 premiers nombres impairs vaut 17²=289...

Or, dans ma parenthèse, j'ai la somme S₁=1+3+5+7+11+... + (2n+1)
J'ai besoin de calculer cette somme en fonction de n : pour ça, j'ai besoin de savoir combien il y a en fonction de n, de nombres impairs de 1 à 2n+1,...
Cela me servira aussi pour la 2e somme qui la suit : S₂=4+4+4+....4 parce que j'ai besoin de savoir, en fonction de n, combien il y a de 4 !

Voilà pourquoi je te fais effectuer ces calculs... Pour te guider vers cette réponse.

je dois partir de 1, 2 ,3 , 4 pour trouver un nombre impair, il n'y a qu'à partir de 1 et ajouter 2 à chaque fois,

Je ne crois que tu veuilles dire ceci :
1+2 = 3
2+2 = 4
3+2 = 5
4+2 = 6

Je te demande de trouver la méthode qui permet d'obtenir la liste des nombres impairs consécutifs en utilisant leur numéro : j'ai besoin de connaitre leur n° pour ça....
Le nombre impair n°1 est 1.
Le nombre impair n°3 est 5.
Le nombre impair n°7 est 13.
Le nombre impair n°13 est 25
Le nombre impair n° 39 est 77...
Simple question maintenant (et je prends un nombre assez élevé pour te dissuader les écrire sur une feuille) : quel est le 543e nombre impair de la liste ?
Comment s'écrit alors, en fonction de n, le nombre impair n° n ? Tu peux arriver à trouver les deux réponses à partir de tes observations du post #57, tu ferais un détour, mais tu arriverais à la bonne formule pour le n° n...

@+

[EDIT]
Histoire des Mathématiques.
1777 naissance en Prusse de Karl Friedrich Gauss futur grand des mathématiques...
Dans une biographie écrite par l'un de ses contemporains, on peut lire qu'un jour de 1786, son Instituteur de manda à sa classe de faire la somme des nombres entiers de 1 à 100 : il pensait sûrement que cela allait les occuper un moment et il retourna s'asseoir...
Quelle ne fut pas sa surprise quand, au bout de quelques instants, le jeune GAUSS, âgé de 9 ans seulement, se lève, et brandit son ardoise en s'écriant : Ca y est !...
Intrigué son Instit est allé lui demander comment il avait fait...
Et le jeune Gauss lui expliqua qu'il avait remarqué qu'en écrivant deux fois la somme :
S = 1 + 2 + 3 + ............... .+ 98 + 99 + 100
+ S = 100 + 99 + 98 + ................ + 3 + 2 + 1
---------------------------------------------------------------------------
=2S = 101 + 101 + 101 + ................ + 101 + 101 + 101

et en faisant la somme par colonnes, chaque colonne avait pour résultat 101, et comme il y avait 100 colonnes :
2S = 101 * 100 et donc $S = \dfrac{101 \times 100}{2}=5050$

Ce résultat donna naissance à la formule $S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ valable pour n'importe quelle valeur de n
Ainsi, pour n = 2109, la somme des nombres de 1 à 2019 vaut $S = \dfrac{2109 \times(2019+1)}{2}=2\,039\,190$

Cette méthode doit te rappeler quelque chose.

[EDIT2]
Pas de source...
Je n'ai jamais essayé d'appliquer cette méthose en dehors de la Géométrie.

Je crois que tu cherches trop loin les réponses alors que tu as toit sous les yeux.
J'espère que le présent post va t'éclairer davantage...

Dernière modification par yoshi (07-11-2019 18:56:51)

yannD · 09-11-2019 20:19:45

Bonsoir Yoshi, on a besoin de connaître la somme des aires d'un trapèze , cela dépend de n , (c'est pas ça ?)
donc si on veut calculer la somme $S_n=1+3+5+7\;+\;....\;+\;(2n+1)$, cela dépend aussi de n
je ne vois toujours pas pourquoi tu me demandes d'obtenir la liste des nombres impairs en utilisant leur numéro

yoshi · 09-11-2019 21:19:44

RE,

donc si on veut calculer la somme $S_n=1+3+5+7\;+\;....\;+\;(2n+1)$, cela dépend aussi de n

Non, ce que tu écris n'est pas $S_n$
$S_n$ est la somme des aires des trapèzes
- de hauteurs 1
- de petites bases et grandes bases successives
$1$ et $\frac 3 2$, $\frac 3 2$ et $2$, $2$ et $\frac 5 2$, $\frac 5 2$ et $3$, ......, $\frac{n+2}{2}$ et $\frac{n+3}{2}$
- donc d'aires successives :
$\frac 5 4$, $\frac 7 4$, $\frac 7 4$, $\frac 9 4$, $\frac{11}{4}$, ......, $\frac{2n+5}{4}$

Maintenant, je vais récapituler ce qui a été fait (jusqu'au moment où tu butes) et rejustifier les étapes...
$S_n= \frac 5 4+\frac 7 4+\frac 7 4+\frac 9 4+\frac{11}{4}+\cdots+\frac{2n+5}{4}$

Oui, tu le vois, la somme dépend de n, mais pour être bien plus précis cette somme doit s'écrire en une seule formule (très courte), où figure n...
Si tu utilises la formule donnant la somme d'une suite arithmétique de premier terme $\frac 5 4$ et de raison $\frac 1 2$, on trouve :
$S_n=\dfrac{(n+1)(n+5)}{4}$
C'est la solution la plus simple et la plus rapide...
Encore faut-il que tu saches, en fonction de n combien il y a de termes de $\frac 5 4$ à $\frac{2n+5}{4}$...

J'avais trouvé, de tête, une méthode (depuis, j'en ai rajouté une plus simple à condition d'éviter un piège) pour arriver à $S_n=\dfrac{(n+1)(n+5)}{4}$ et qui n'utilise pas la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique...
Tu m'as demandé de te guider pour trouver toi-même la première des solutions...
C'est ce que j'essaie de faire...
Mais, toi, tu ne réponds pas à mes questions et à la place, tu me dis : je ne vois à quoi sert ce que tu me demandes...

------------------------------------------------------------------------------------

Je reprends donc tout ce qui a été fait...
J'ai d'abord pensé à factoriser par 1/4 pour ne pas être obligé d'écrire des tas de fractions :
$S_n= \frac 5 4+\frac 7 4+\frac 7 4+\frac 9 4+\frac{11}{4}+\cdots+\frac{2n+5}{4}=\frac 1 4(5+7+9 +11+\cdots + 2n+5)$

Ensuite j'ai décomposé chaque nombre de la parenthèse en utilisant 4 :
$S_n=\dfrac 1 4(5+7+9 +11+\cdots+ + 2n+5)=\dfrac 1 4[(1+4)+(3+4)+(5+4)+(7+4)+\cdots + (2n+1+4)]$

Puis j'ai regroupé tous les nombres impairs dans une seule parenthèse et tous les 4 dans une autre :
$S_n=\dfrac 1 4[(1+4)+(3+4)+(5+4)+(7+4)+\cdots + (2n+1+4)]=\dfrac 1 4[(1+3+5+7+\cdots 2n+1)+ (4+4+4+4+\cdots+ 4)]$

On en est là donc :
$S_n=\dfrac 1 4[(1+3+5+7+\cdots 2n+1)+ (4+4+4+4+\cdots+ 4)]$

Tu as remarqué que $S=1+3+5+7+\cdots+2n+1$ c'est la somme des nombres impairs de 1 à 2n+1...

Il y a une formule qui donne la somme des n premiers nombres impairs c'est $n^2$.
En effet, quelques exemples ;
- Si tu ajoutes les 10 premiers nombres impairs, tu obtiens $10^2=100$, le nombre impair n°1 est 1 mais le 10e, c'est 19...
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 100
- si tu ajoutes si tu ajoutes les 25 premiers nombres impairs, tu obtiens $25^2=625$, le nombre impair n°1 est 1 mais le 25e, c'est 49...
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+45+47+49 =625

La seule chose dont tu aies besoin pour trouver la somme des premiers nombres impairs de 1 à ...., c'est combien il y en a !
Je n'ai même pas besoin de faire les additions, tout ce dont j'ai besoin de savoir combien tu en ajoutes !
Si tu me demandes : quelle est la somme des 2345 premiers nombres impairs, je te réponds : $2345^2$, soit $5\,499\,025$, c'est quand même plus rapide que de faire la somme : $1+3+5+7+\cdots+4689$ Non ?

Donc, pour en revenir plus précisément à la question posée je cherche combien vaut :
$S=1+3+5+7+\cdots+2n+1$
Bin, diras-tu, yaka appliquer la formule que tu as donnée !
Certes, mais le problème est :
je dois savoir (en fonction de n) combien j'en ajoute !!!! Et ce n'est pas $n$...

Alors, de $1$ à $2n+1$ combien y a-t-il de nombres impairs ?
Tant que je ne sais pas répondre, je suis bloqué...
Si je sais répondre, alors je prends le carré de ce nombre et de plus, je sais aussi combien il y a de 4 dans la 2e somme (autant que de nombres impairs !!!...)

Donc, je répète, il me faut la réponse à ce point précis :
de $1$ à $2n+1$ combien y a-t-il de nombres impairs ?

C'est pour ça que j'écris :
de 1 à 1 il y a 1 nombre impair
de 1 à 3 il y a 2 nombres impairs
de 1 à 5 il y a 3 nombres impairs
de 1 à 7 il y a 4 nombres impairs
de 1 à 9 il y a 5 nombres impairs
..............................................................
de 1 à $2n+1$ il y a ? nombres impairs...
La réponse n'est pas il y a n nombres impairs...

Ça ne t'a pas inspiré ?
Alors, empruntons une voie plus directe :
Si 2n+1 = 5 combien vaut n ?
de 1 à 5, il y a ... nombres impairs, compare avec n... que constates-tu ?
Si 2n+1 = 7 combien vaut n ?
de 1 à 7, il y a ... nombres impairs, compare avec n... que constates-tu ?
Si 2n+1 = 9 combien vaut n ?
de 1 à 9, il y a ... nombres impairs, compare avec n... que constates-tu ?
Si 2n+1 = 11 combien vaut n ?
de 1 à 11, il y a ... nombres impairs, compare avec n... que constates-tu ?
Si 2n+1 = 23 combien vaut n ?
de 1 à 23, il y a ... nombres impairs, compare avec n... que constates-tu ?
Si 2n+1 = 59 combien vaut n ?
de 1 à 59, il y a ... nombres impairs, compare avec n... que constates-tu ?

Donc de 1 à 2n+1, il y a ... nombres impairs.

La somme des nombres impairs de 1 à 2n+1 est donc égale à $(\cdots)^2$

@+

Dernière modification par yoshi (10-11-2019 12:16:59)

yannD · 11-11-2019 17:03:29

Bonjour Yoshi, je suis en train de lire pas à pas, et déjà, je bute sur le calcul pour trouver $S_n=\dfrac{(n+1)(n+5)}{4}$ en utilisant la formule du cours, j'ai bien pris petite base, n/2+1 et grande base, (n+1)/2+1

yoshi · 11-11-2019 18:48:55

Re,

Normal, ton calcul te donne $\dfrac{2n+5}{4}$ (voir ton post #24) qui est l'aire $a_n$...
Toi, tu as oublié que
* $S_n$ est la somme des aires de $a_0$ à $a_n$
* Tu t'es arrêté sur la preuve que $a_0+a_n=a_1+a_{n-1}=a_1+a_{n-2}=a_3+a_{n-3}+.....$
On a écrit comme l'a fait Gauss la somme dans l'ordre des indices croissants puis une 2e fois juste en dessous, dans l'ordre des
indices décroissants, puis on a ajouté les 2 lignes par colonne par colonne et on a obtenu
$ 2S_n=(a_0+a_n)+(a_1+a_{n-1})+(a_2+a_{n-2})+(a_3+a_{n-3})+.....+(a_{n-3}+a_3)+(a_{n-2}+a_2)+(a_{n-1}+a_1)+(a_n+a_0)$
Toutes les sommes entre parenthèses sont égales à $a_0+a_n$ avec $a_0=\dfrac 5 4$ et $a_n\dfrac{2n+5}{4}$
Combien y a-t-il de sommés égales ? le même nombre qu'il y a en comptant de 0 à n...
La formule du cours, concernant la somme des termes d'une suite arithmétique est
$\dfrac{\text{premier terme + dernier terme}}{2}\times \text{nombre de termes}$

Tu connais le 1er et le dernier terme mais tu es scotché à : nombre de termes...
Voir cette discussion : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 969#p79969

Donc, je vais te répéter ce que je t'ai déjà dit...
Tant que tu n'auras pas répondu à ces deux questions qui ont la même réponse :
combien y a-t-il de termes (réponse à donner en fonction de n) de $a_0$ à $a_n$ ?
combien y a-t-il de nombres (réponse à donner en fonction de n) de $0$ à $n$ ?
tu seras bloqué...
Je te l'ai déjà dit, je t'ai posé des questions très simples dans mon post précédent parce que tu étais arrêté par le même problème...
Encore une fois tu ne réponds pas, tu "changes" de sujet et boum, tu te retrouves devant le même mur.
Tout est là :
si tu trouves combien il y a de nombres (réponse à donner en fonction de n) de $0$ à $n$ alors tu auras la réponse à :
- comment retrouver la formule du cours ?
- combien y a-t-il de nombres impairs entre 1 et 2n+1 ?

Donc, réponds : combien de nombres entre 0 et n ?
C'est tout bête, tu as fait déjà fait des choses tellement plus difficile... Et tant que tu n'auras pas cette réponse, je crains fort que tu aies des soucis avec les suites...

@+

yannD · 11-11-2019 19:19:51

combien y a t-il de termes de $a_0$ à $a_n$ réponse à donner en fonction de n
$a_0$ existe
il y a donc (n+1) termes

yoshi · 11-11-2019 19:46:43

Re,

Enfin....
Donc puisque :
$a_0+a_n=a_1+a_{n-1}=a_1+a_{n-2}=a_3+a_{n-3}=......=a_{n-3}+a_3=a_{n-2}=a_2+a_{n-1}+a_1=a_n+a_0$ toutes ces sommes sont égales,
dans :
$(a_0+a_n)+(a_1+a_{n-1})+(a_2+a_{n-2})+(a_3+a_{n-3})+.....+(a_{n-3}+a_3)+(a_{n-2}+a_2)+(a_{n-1}+a_1)+(a_n+a_0)$
Combien y a-t-il de sommes égales ? Donner la réponse en fonction de n...

Maintenant, tu vas pouvoir répondre, puisque cette réponse tu l'as...

@+

yannD · 12-11-2019 15:29:15

Bonjour Yoshi, # 66 : tu me dis que le calcul du # 24 me donne l'aire de $a_n$ donc l'aire du trapèze. D'accord.
Ensuite, la ligne du dessous, tu me dis que : je me suis arrêté sur la preuve que $a_0+a_n=a_1+a_{n-1}=a_1+a_{n-2}=a_3+a_{n-3}+.....$ ,
- > je ne vois plus à quel endroit... (je me suis un peu perdu)

yoshi · 12-11-2019 16:04:01

Salut,

Page 2 post #26 à #47, surtout à la fin où zebulor te signale une faute de signe...

@+

yannD · 12-11-2019 20:09:03

Bonsoir Yoshi, oui c'est au # 46 et j'avais fait :

$a_0+a_n$ 1ere colonne

et pour la 2e colonne : $a_1+a_{n-1} $
j'avais fait : $ a_1+a_{n-1} = a_0+ r + a_n = a_0 + a_n$ $- \;r$ puisque $a_{n-1}+r =a_n <=> a_n $$- \;r$$ \;= a_{n-1}$

Mais dès la 3e colonne : c'est à dire $a_2 + a_{n-2}$
j'avais fait : $a_2+a_{n-2} = a_1 + r + a_{n-1} $ $- \;r$$ = a_1 + a_{n-1}$

et aussi pour la 4e colonne : $a_3 + a_{n-3}$
$a_3 + a_{n-3}=a_2+r + a_{n-2}$ $- \;r$ $= a_2+a_{n-2}$

.............

l'avant dernière colonne $a_{n-1}+a_1$
$a_{n-1}+a_1 = a_{n-2}+r + a_2$$- \;r$ $ = a_{n-2} + a_2 $

Et si tu regardes bien la fin du # 46 , j'étais arrivé à : $2 S_n = (a_0+a_n) + (a_1+a_{n-1}) + (a_2+a_{n-2}) \;+\; ..... \;+\; (a_{n-2}+a_2) + (a_n+a_0)$

C'est encore plus d'erreur(s) que tu n'as pas vu...

c'est bien pire ! parce que je n'étais pas encore arrivé à la preuve que : $a_0+a_n=a_1+a_{n-1}=a_1+a_{n-2}=a_3+a_{n-3}+.....$

Maintenant pour répondre à la question du # 68 : combien y a t-il de sommes? Donner une réponse en fonction de n

$S_n = \;\;\;\;\;\;a_0 \;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\; a_1\;\;\;\;\;\;\;+ \;\;\;\;\;\;\;\;a_2\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a_3\;\;\;\;+\; ........\;+\;\;\;\;\;\;a_{n-3}\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;a_{n-2}\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;a_{n-1}\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;a_n$
$S_n = \;\;\;\;\;\;a_n\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\;a_{n-1}\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;a_{n-2}\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;a_{n-3}\;\;\;\;+\; ........\;+\;\;\;\;\;\;\;a_3\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;a_2\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;a_1\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;a_0$
$2S_n = (a_0+a_n)+(a_1+a_{n-1})\;+(a_2+a_{n-2}) \;+ (a_3+a_{n-3})\; + ......... +\;(a_{n-3}+a_3) + (a_{n-2}+a_2)\;+(a_{n-1}+a_1)\,\,+\;(a_n+a_0)$

Puisque de $a_0$ à $a_n$ il y a (n+1) termes
il y a donc le même nombre de sommes

yoshi · 12-11-2019 20:26:56

Bonsoir,

Oui...
Enfin on avance...
Je présume que tu sais que $\underbrace{2+2+2+\cdots+2}_{n\;termes\; égaux\; à\; 2}=2\times n$
Donc
$2S_n=\underbrace{(a_0+a_n)+(a_0+a_n)+(a_0+a_n)+\cdots+(a_0+a_n)+(a_0+a_n)+(a_0+a_n)}_{\text{n+1 sommes égales}}$

Donc $2S_n=(a_0+a_n)\times (\cdots)$ à compléter...
Donc
$S_n=\dfrac{(a_0+a_n)\times (\cdots)}{2}$ à compléter... On peut aussi écrire $S_n=\dfrac{a_0+a_n}{2}\times (\cdots)$
Et tu as la formule du cours...

Or $a_0=\dfrac 5 4$ et $a_n=\dfrac{2n+5}{4}$, tu remplaces, tu simplifies et tu as l'expression définitive de $S_n$

Après quoi, on va pouvoir revenir à ma démonstration sans utiliser la formule du cours...

@+

yannD · 12-11-2019 21:41:51

En additionnant les 2 lignes, je suis arrivé :

$2S_n = (a_0+a_n)+(a_1+a_{n-1})\;+(a_2+a_{n-2}) \;+ (a_3+a_{n-3})\; + ......... +\;(a_{n-3}+a_3) + (a_{n-2}+a_2)\;+(a_{n-1}+a_1)\,\,+\;(a_n+a_0)$

Mais cela ne correspond pas à :

$2S_n = (a_0+a_n) + (a_0+a_n) + (a_0+a_n) + ....... .... + (a_0+a_n) + (a_0+a_n) + (a_0+a_n)$

Ainsi pour le prouver, est ce que je dois faire une phrase comme : la démonstration me permet de dire que chaque somme est bien égale à $(a_n+a_0)$

Ensuite, j'ai complété ce que tu m'as demandé
$2 + 2 + 2 + .. + 2 = n\times 2$
et $(a_0+a_n) + (a_0+a_n) + (a_0+a_n) + ....... .... + (a_0+a_n) + (a_0+a_n) + (a_0+a_n) = (n+1)\times (a_0+a_n)$

Donc $2S_n = (a_0+a_n) \times (n+1)$

et avec $a_0 = \frac 5 4$ et avec $a_n = \frac{2n+5}{4}$ j'ai trouvé une équation de second degré : $n^2 + 6n + 5$

yannD · 12-11-2019 21:43:37

j'arrête pour ce soir, faut pas que je tarde , bonne nuit

yoshi · 12-11-2019 21:49:39

Re,

Bin non...
Tu l'as déjà fait :
$a_1+a_{n-1}=a_0+r+a_n-r=a_0+a_n$
$a_2+a_{n-2}= a_1+r+a_{n-1}-r =a_1+a_{n-1}=a_0+a_n$
$a_3+a_{n-3}=a_2+r+a_{n-2}-r=a_2+a_{n-2}=a_0+a_n$
.............
$a_{n-1}+a_1=a_n-r+a_0+r=a_n+a_0=a_0+a_n$
Là tu dis que de $a_0$ à $a_n$, il y a n+1 termes (pas besoin de justifier, on estime que tu sais compter),, donc que $2S_n$ est la somme de n+1 sommes égales à $a_0+a_n$, donc que $2S_n=(a_0+a_n)(n+1)$.
D'où $S_n=\dfrac{(a_0+a_n)(n+1)}{2}$...
Là c'est la formule du cours, si le 1er terme est $a_0$...
Si commence à $a_1$, ce n'est plus $(n+1)$ mais $n$...

Alors, dans un devoir tu ne redémontres pas la formule : une fois que tu as identifié correctement ta suite, tu balances ta formule...
... et là tu remplaces $a_0$ par $\dfrac 5 4$ et $a_n$ par $\dfrac{2n+5}{4}$, tu simplifies et tu as l'expression cherchée de $S_n$ en fonction de $n$...

@+

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