Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#26 25-10-2019 19:44:50

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Suites arithmetique 1ere

oui, il fallait deviner..

Hors ligne

#27 25-10-2019 19:46:08

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Suites arithmetique 1ere

pour $S_n$, je dois additionner $a_0$ , $a_1$ etc………?

Hors ligne

#28 25-10-2019 20:01:27

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : Suites arithmetique 1ere

A ton avis ?
L'énoncé dit :

3) Sn = a0 + a1 +...+ an

exprimer Sn en fonction de n

Mais d'abord, réponds à ces questions :

yoshi a écrit :

Donc tu ne connais pas (pas encore ?) la formule donnant la somme des termes d'une suite arithmétique)
Elle se démontre simplement en écrivant deux fois la somme une fois à "l'endroit", une fois à "l'envers" et on ajoute en colonnes, cela va nous donner $2S_n$ :
$Sn=a_0+\;\;a_1\;\;+\,\,a_2\;\;+\cdots+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$
$Sn=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots+\;\,a_2\;\;+\,\,a_1\;\;+a_0$

On commence par $a_0+a_n$ 1ere colonne.
r est la raison
La 2e colonne, c'est $a_1+a_{n-1}$ c'est à dire $a_0+r+a_n-r = a0+an$
La 3e colonne c'est $a_2+a_{n-2}$  et tu vas exprimer $a_2$ par rapport à $a_0$ et $a_{n-2}$ par rapport à $a_n$ puis tu remplace dans la somme de la 3e colonne: tu dois voir que arrives encore à $a_0+a_n$
Si tu as besoin de plus, continue tout seul avec $a_3+a_{n-3}$...
Combien as-tu de colonnes qui donnent la même somme ?
Conclusion : que valent alors $2S_n$ ?  $S_n$ ?

Dernière modification par yoshi (26-10-2019 07:26:03)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#29 26-10-2019 13:08:43

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Suites arithmetique 1ere

Bonjour Yoshi,  ce que je ne comprends pas dans la démonstration, c'est $a_{n-1}$ et le $a_{n-2}$

Hors ligne

#30 26-10-2019 14:28:10

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : Suites arithmetique 1ere

Re,

La raison r, par définition, est telle que $a_n=a_{n-1}+r$...ok ? Bin donc, tu en déduis que $a_{n-1}=a_n-r$
Et $a_1=a_0+r$
Donc si tu ajoutes $a_1+a_{n-1}$ tu as donc : $a_1+a_{n-1}=(a_0+r)+(an-r)=a_0+a_n$
Pour $a_2+a_{n-2}$ :
$a_2=a1+r=(a_0+r)+r=a_0+2r$
$a_{n-2}=a_{n-1}-r=(a_n-r)-r=a_n-2r$
D'où  $a_2+a_{n-2}=(a_0+2r)+(a_n-2r)=a_0+a_n$

C'est ça que tu voulais voir ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#31 26-10-2019 15:47:03

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Suites arithmetique 1ere

Non, je ne suis pas encore là
c'est bien avant ça,
ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi il y a $a_{n-2}$

Dernière modification par yannD (26-10-2019 15:47:24)

Hors ligne

#32 26-10-2019 15:54:35

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : Suites arithmetique 1ere

Re,

Alors, sois plus précis..
Ici :
$Sn=a_0+\;\;a_1\;\;+\,\,a_2\;\;+\cdots+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$ ??

Si oui, alors l'indice de $a$ va de 0 à n, et pour n assez grand, entre 0 et n, on trouve notamment  n-3, n-2, n-1,
Donc entre $a_0$  et $a_n$ on trouve $a_{n-3},\;a_{n-2},\;a_{n-1}$

Sinon, je ne vois pas où...

Là, peut-être ?
Je commence $S_n$ en écrivant les 3 premiers termes (j'aurais pu choisir 2, 4, 5 mais c'est plus long à écrire et ne tient pas forcément sur la ligne ce qui serait gênant pour la présentation et sa compréhension), et comme je vais récrire $S_n$ en allant de la fin au début, pour qu'il y ait une correspondance en colonne (de quoi faire l'addition si tu préfères), après $a_2$, je mets des points de suspension, je termine l'écriture de $S_n$ par les les 3 derniers termes :
$Sn=a_0+\;\;a_1\;\;+\,\,a_2\;\;+\cdots+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$ ??
Et quand je récris la même somme en allant de la fin vers vers le début, ça donne ça :
$Sn=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots+\;\,a_2\;\;+\,\,a_1\;\;+a_0$

Et enfin en les écrivant l'un sous l'autre :
$Sn=a_0+\;\;a_1\;\;+\,\,a_2\;\;+\cdots+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$
$Sn=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots+\;\,a_2\;\;+\,\,a_1\;\;+a_0$

Si il y a un $a_i$ que je n'écris pas, il va y avoir un "trou" dans une colonne...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#33 26-10-2019 16:34:56

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Suites arithmetique 1ere

en fait, c'est comment dire , je sais pas si on peut dire "l'appellation"  $a_{n-2}$
on veut dire l'avant dernier terme
c'est ça ?

Hors ligne

#34 26-10-2019 16:47:16

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : Suites arithmetique 1ere

Si le dernier terme est est $a_n$, l'avant-dernier est $a_{n-1}$... $a_{n-2}$, c'est l'avant-avant-dernier : il y a un mot précis pour nommer cette position, c'est antépénultième, pénultième désignant l'avant-dernier avec le préfixe (anté, avant)...

Mais je ne vois pas en quoi ça te perturbe :
je compte
- dans l'ordre croisant : 0, 1, 2, 3......n-3, n-2, n-1, n
puis
- dans l'ordre décroissant : n, n-1, n-2, n-3 ....... 3, 2, 1, 0.

Et alors ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#35 26-10-2019 18:19:39

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Suites arithmetique 1ere

oK
je continue avec la 2e colonne

$ S_n = a_0\,\,+a_1\,\,\,+\,a_2\,\,\,\,\,+......+a_{n-2} + a_{n-1}+a_n$

$S_n = a_n+a_{n-1}+a_{n-2} + ......+ a_2\,\,+a_1\,\,\,+\,a_0$

        $a_1  = a_0+r$
        $a_{n-1} = ..$

Dernière modification par yannD (26-10-2019 18:29:22)

Hors ligne

#36 26-10-2019 18:22:20

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 075

Re : Suites arithmetique 1ere

Bonsoir Yann,
je vois qu'il y a de la lumière alors je rentre.

yannD a écrit :

en fait, c'est comment dire , je sais pas si on peut dire "l'appellation"  $a_{n-2}$
on veut dire l'avant dernier terme
c'est ça ?

Le ${n-2}$ est un numéro : $a_{n-2}$ est le terme de la suite de numéro [tex]n-2[/tex].

[tex]a_1=a_0+r[/tex] signifie : le terme de numéro 1 qui s'appelle [tex]a_1[/tex] est la somme du terme de numéro 0  qui s'appelle [tex]a_0[/tex] et d'un nombre fixe qu'on appelle r où r est la raison de la suite.

Dernière modification par Zebulor (26-10-2019 18:30:31)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#37 26-10-2019 18:30:54

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Suites arithmetique 1ere

Salut, donc tu dit que : $_{n-2}$ est un numéro

Hors ligne

#38 26-10-2019 18:33:57

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 075

Re : Suites arithmetique 1ere

Oui ... [tex]a_n[/tex] est le terme de rang $n$ si tu préfères...

Dernière modification par Zebulor (26-10-2019 18:34:16)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#39 26-10-2019 18:35:03

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 075

Re : Suites arithmetique 1ere

On numérote les termes de la somme [tex]S_n[/tex] dont le premier terme est [tex]a_0[/tex]. Le deuxiéme terme est donc logiquement [tex]a_1[/tex]

Dernière modification par Zebulor (26-10-2019 18:38:05)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#40 26-10-2019 18:50:01

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : Suites arithmetique 1ere

Yann,

$a_1  = a_0+r$
$a_{n-1} =$$a_n-r$
Pour passer d'un terme à son suivant (dans une suite arithmétique) on ajoute la raison r:
$a_n =a_{n-1}+r$ par conséquent $a_{n-1} = a_n-r$  pour passer du dernier terme à l'avant dernier terme, on soustrait la raison r...

Si tu prends la suite des nombres entiers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... suite arithmétique - que je baptise $(u_n)$ de premier terme $u_0=0$ et de raison 1, la raison, c'est le nombre qu'il fait ajouter à un terme de la suite pour obtenir son suivant
Avec cet exemple $u_8=7$, et $u_9 = 7+1 =8$ et tu vois bien que $u_8=u_9-1=8-1=7$
Pour généraliser, puisque $u_n=u_{n-1}+r$  alors $u_{n-1}=u_n-r$
Ce n'est pas parce qu'on travaille pour les suites que ce que tu appris jusque-là est à jeter aux oubliettes de l'Histoire :
$y=x+r \iff x=y-r$

Dans $a^n$, le n est l'exposant, dans $a_n$, le n est un indice, un repère qui permet de connaître  le rang, la place...
Dans la barre durils des messages figurent ces icônes :
$x^2$ et $x_2$ : si tu mets la flèche de la souris sur l'un puis sur l'autre une infobulle apparaît qui reprend les mots exposant et indice : essaie, tu verras !
L'indice (appelons un chat un chat) $n-1$ est suivi de l'indice $n$, l'indice n est précédé par l'indice $n-1$ : quelle que soit la suite $u_n$
le terme d'indice n-1 est suivi du terme d'indice n  $u_n$ suit $u_{n-1}$ quels que soient leurs contenus dans la liste des noms des termes...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#41 26-10-2019 19:02:40

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Suites arithmetique 1ere

ok, je vais essayer de continuer seul.
Bonne soirée
(à peluche)

Hors ligne

#42 26-10-2019 20:41:45

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 075

Re : Suites arithmetique 1ere

Re,
il y a pas mal de choses dans le post de Yoshi, alors histoire de compléter juste pour y aller très très doucement..à titre d'exercice:
Si [tex]S_n=a_0+a_1+a_2[/tex] tu peux voir qu'il y a 3 termes.
Combien il y a de termes pour [tex]S_n=a_0+a_1+a_2+...+a_n[/tex] ?
Combien de termes pour [tex]S_n=a_1+a_2+...+a_n[/tex]?  Quel est le p_ième terme de cette somme..où p est un entier [tex]p \ge 1[/tex]

quand on écrit :
$ S_n = a_0\,\,+a_1\,\,\,+\,a_2\,\,\,\,\,+......+a_{n-2} + a_{n-1}+a_n$, çà veut dire que l'indice de chaque terme augmente de 1, et ce jusqu'au dernier terme de la somme $a_n$. D'où les 2 termes qui précèdent $a_n$ que sont $a_{n-2}$ et $a_{n-1}$
Mais on pourrait très bien écrire : $ S_n = a_0\,\,+a_1\,\,\,+\,a_2\,\,\,\,\,+.....+ a_{n-1}+a_n$. C'est la même somme. Tu peux t'entrainer à chercher comment on écrit $S_0$, $S_1$, $ S_2$, $ S_5$..

Ensuite il y a la relation entre chaque terme et son suivant ou son précédent que t'a expliqué Yoshi. Mais çà fait déjà beaucoup. Je m'éclipse.

Tournicotons.

Dernière modification par Zebulor (27-10-2019 10:27:18)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#43 02-11-2019 19:46:53

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Suites arithmetique 1ere

Bonsoir Yoshi, je n'ai pas terminé la démonstration et je n'ai pas répondu à tes 2 questions que tu m'as posées au post #23
- Combien as -tu de colonnes qui donnent la même somme ?
   - Que valent alors $2\times S_n$ ? $S_n$


pour la colonne 1 :
$a_0 + a_n$

pour la 2e colonne : $a_1 - a_{n-1}$
$a_0 +r + a_n $ $\;\;\;- \,r$ $\;=\; a_0 +a_n$

pour la colonne 3 : $a_2 - a_{n-2}$
$ a_1+r  + a_{n-1}  $  $- \,r$  $= \;a_1+a_{n-1}$

pour la colonne 3 = $a_3 - a_{n-3}$
$a_2 +r + a_{n-2}$ $- \,r$  $=\; a_2 + a_{n-2}$

pour l'avant dernière colonne :  $a_{n-1} + a_{1}$
$a_{n-2} + r + a_2 $ $- \,r$  $\;= a_{n-2} + a_2$

la dernière colonne, c'est $a_n - a_0$

Soit : $2\times S_n = a_0 + a_n + a_1+a_{n-1}+a_2 + a_{n-2} + a_{n-2} + a_2 + a_n - a_0$

Hors ligne

#44 02-11-2019 20:44:39

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : Suites arithmetique 1ere

bonsoir,

Oui, mais si tu ne complètes pas, il y a quelque à voir que tu ne verras pas...
pour la 2e colonne : $a_1+a_{n-1}$
$a_1+a_{n-1}=$$a_0+r+a_n −r =$$a_0+a_n$

pour la 3e colonne  : $a_2+a_{n-2}$
$a_2+a_{n-2}=$$a_1+r+a_{n−1}  −r =$$a_1+a_{n−1}=a_0+a_n$
grâce à la 2e colonne

pour la 4e colonne : $a_3+a_{n-3}$
$a_3+a_{n-3}=a_2+r+a_{n−2} −r =a_2+a_{n−2}=a_1+a_{n−1}=a_0+a_n $

pour l'avant dernière colonne :  $a_{n−1}+a_1$

Complète...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#45 02-11-2019 21:02:49

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Suites arithmetique 1ere

$a_{n-1} +r = a_n$, je peux en  déduire :  $a_{n-1} = a_n - r$

$a_1 = a_0 $ $ - \;r$

Hors ligne

#46 02-11-2019 21:05:11

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Suites arithmetique 1ere

$a_{n-1} + a_1 = (a_n + r) + (a_0 - r  ) = a_n + a_0$

Hors ligne

#47 02-11-2019 21:55:49

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 075

Re : Suites arithmetique 1ere

Salut Yann

yannD a écrit :

$a_{n-1} +r = a_n$, je peux en  déduire :  $a_{n-1} = a_n - r$

C'est çà !

juste une petite erreur de signe :

yannD a écrit :

$a_1 = a_0 $ $ - \;r$

Dernière modification par Zebulor (03-11-2019 14:05:39)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#48 04-11-2019 13:10:40

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Suites arithmetique 1ere

Salut Yoshi, j'aimerais bien voir l'autre méthode : c'est celle du post # 23,
Peut-tu me l'expliquer ? mais pas en faisant tout toi-même , j'aimerais y arriver seul,   si tu es d'accord, je voudrais que tu me le fasses sous forme de questions posées; là, il faut que j'aille en cours mais à 16 heures j'aurais fini
D'avance merci.

Hors ligne

#49 04-11-2019 15:15:09

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : Suites arithmetique 1ere

Salut,

Allons-y...
Les trapèzes ont pour aires
$a_0 = \dfrac 5 4$
$a_1 = \dfrac 7 4$
$a_2 = \dfrac 9 4$
$a_3 = \dfrac{11}{4}$
............
$a_n= \dfrac{2n+5}{4}$
Donc
$S_n=a_0+a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=\dfrac 5 4+\dfrac 7 4+\dfrac 9 4+ \dfrac{11}{4}+\cdots+\dfrac{2n+5}{4}$
Jusque-là, c'est juste de la routine.
Maintenant,
1. Récris $S_n$ en factorisant par $\dfrac 1 4$ : $S_n=\dfrac 1 4(5+....). Complète.
2. Tu remarques
    a) que dans la parenthèse, tous les nombres sont supérieurs à 4.
    b) que tu peux donc décomposer chaque nombre de la parenthèse en une somme égale à 4 + ..?.. Fais-le.
3. Regroupe tous les nombres désignés ci-dessus par ..?.. au début et tous les 4 à la fin. Montre-moi ce que tu obtiens...

C'est après que ça se corsera : si tu n'as pas compris combien il y a de nombres entre 0 et n, tu auras du mal pour la suite. Il faudra qu'on n'aille pas trop vite...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#50 05-11-2019 16:42:11

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Suites arithmetique 1ere

Salut Yoshi,

$S_n = \dfrac 5 4+ \dfrac 7 4  + \dfrac 9 4 + \dfrac{11}{4} + ……… + \dfrac{2n + 5}{4}$

$S_n = \dfrac 1 4 \left(5 +7 + 9 + 11 + …… + (2n  + 5)\right)$

$S_n = \dfrac 1 4 (($ $4$ $ + 1) + ($$4$ $+ 3) + ( $ $4$$ + 5 ) + ( $$4$ $+ 7)+....+ ( $$4$ $+ ...)$

Hors ligne

Pied de page des forums