Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Super Yoshi

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Analyse, nombre réel

bonjour,

je bloque sur cette exo pouvez vous m'aider svp,

1) A l'aide de la caractérisation de la borne supérieur avec les ɛ, montrer que  [tex] Sup( ]−∞,8[ ∩ ℚ)=8 [/tex]

je pence qu'il faut utiliser le fait que ℚ est dense dans R et donc voir que la borne sup existe mais je ne suis pas sur. 

merci

Maenwe

Membre confirmé

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Re : Analyse, nombre réel

Bonsoir,

La borne supérieur (dans $\mathbb{R}$ parce qu'une borne supérieur dans $\mathbb{Q}$ n'existe pas en général) de $A$ existe dès que :
- $A \subset \mathbb{R}$
- $A \not = \emptyset$
- $A$ est majorée.
Et tu peux constater que $] -\infty, 8[\cap \mathbb{Q}$ répond à ces 3 conditions. Tu n'as pas besoin de dire que $\mathbb{Q}$ est dense (d'ailleurs je ne vois pas en quoi cela justifie l'existence de la borne supérieure, enfin si, je pense que tu penses que puisque $\mathbb{Q}$ est dense on peut approcher aussi près que l'on veut n'importe quel réel par un rationnel, d'un certain point de vue c'est vrai, mais la borne sup donne plutôt le nombre le plus près des plus grands nombres d'une partie).

Après si tu compte utiliser le fait que $\mathbb{Q}$ est dense pour montrer que $Sup(] -\infty, 8[\cap \mathbb{Q})=8$ ça peut marcher. La caractérisation qui y ait fait allusion est pratiquement la solution du problème, écris juste cette caractérisation et essaye de voir ce qu'il en est...