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#1 02-10-2019 13:03:12

AlfredP
Invité

Convexité : formalisme par les barycentres

Bonjour à ceux qui lisent ceci,

Voila le contexte :

Etude de la convexité d'une fonction.

Soit a et b deux éléments de I tels que a<b et une fonction de I dans R convexe sur [a,b].

Dire que la fonction est convexe revient à dire que l'image du barycentre de a et b par f est plus petite que le barycentre des images de a et b.

Et dit comme ça, pas de problème de compréhension.

Cependant c'est son formalisme dans certains cours que je n'arrive pas a assimiler correctement.

Par exemple:

"Le segment [tex][x,y][/tex] est l’ensemble des barycentres à coefficients positifs de x et y. On peut donc paramétrer par[tex]  [x, y] = \lambda x + (1-\lambda)y [/tex]"

Lamda représente quoi ?
Je crois comprendre qu'on se ballade autour de 1 à une distance de [tex]\lambda[/tex] mais ça représente quoi et pourquoi 1.

Je suis tombé sur cette formulation en faisant des recherches en essayant de comprendre dans un premier temps ce qui suit:
[tex] f(\lambda a+(1-\lambda b) \ll \lambda f(a)+ (1-\lambda) f(b) [/tex]

ce qui, je suppose, est très proche.


Excusez mon imprécision si vous avez du mal a me comprendre, et merci de votre aide pour ceux qui essaieront quelques choses.

#2 02-10-2019 14:00:47

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Convexité : formalisme par les barycentres

Salut,

$\lambda$ est un réel compris entre 0 et 1, le segment unitaire.
Dans l'expression du segment $[x,y]$ il parcourt tout le segment unitaire.
La formulation de la fin de ton message est un classique de la définition de la convexité.
Fais un graphique, tu comprendras tout de suite.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#3 02-10-2019 14:47:08

AlfredP
Invité

Re : Convexité : formalisme par les barycentres

Ca signifie que [tex]\lambda[/tex] est le coefficient d'un point, et l'autre point à pour coeff [tex]\lambda-1[/tex], à eux deux ils ont une masse unitaire.
Cette formule ne fonctionne que pour ce cas ? il faut adapter pour des points dont la somme des coefficients de pondération sont supérieurs à 1.

Si j'ai compris..

#4 02-10-2019 17:48:34

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Convexité : formalisme par les barycentres

Re,

on dit que les pondérations $\lambda$ et $1-\lambda$ sont précisément les combinaisons linéaires convexes.

Dernière modification par freddy (02-10-2019 17:48:52)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#5 03-10-2019 07:11:09

AlfredP
Invité

Re : Convexité : formalisme par les barycentres

J’ai du me démontrer que le barycentre de a et b avec les coefficients de pondération de combinaison linéaire convexe était dans [a;b].
Tout va bien désormais merci beaucoup Freddy.

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