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Max_MPSI

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Développement asymptotique

Bonjour,
J'ai des difficultés avec cet exercice,
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on définit la fonction [tex]f_{n} [/tex] de [0,1] dans [tex]\mathbb{R}[/tex] par
[tex]f_{n} = x^{n} -nx + 1[/tex]

1. Montrer que l'équation [tex]f_{n} =0[/tex] admet une unique solution dans [0,1] (On désigne cette unique solution par [tex]x_{n}[/tex])
2. Etudier le sens de variation de  [tex](x_{n})[/tex]
3. En déduire que la suite  [tex](x_{n})[/tex] est convergente et déterminer sa limite
4. Déterminer un équivalent de la suite  [tex](x_{n})[/tex]
5. Déterminer un développement asymptotique à deux termes  de la suite  [tex](x_{n})[/tex]

Alors j'ai pas eu de problèmes pour les 4 premières questions, j'ai trouvé que la suite est décroissante, admet 0 comme limite et est équivalente à [tex]\frac{1}{n}[/tex]. Mais j'ai du mal pour la dernière question.

J'ai posé [tex]y_{n}=x_{n}-\frac{1}{n}[/tex] tel que [tex] y_{n}=o(\frac{1}{n})[/tex] et je me sers du fait que [tex]f_{n}(x_n)=0[/tex] et j'obtient l'égalité [tex]ny_{n}=(y_{n}+\frac{1}{n})^{n}[/tex]. Bon jusqu'ici rien d’impressionnant, ensuite j'ai essayé de travailler cette expression, je me doute qu'il faut que j'utilise les développements limités mais mes tentatives n'aboutissent pas à grand chose...

Suis-je sur la bonne voie ou à côté de la plaque ?

Maenwe

Invité

Re : Développement asymptotique

Bonsoir,

Tu peux tenter ceci : [tex](\frac{1}{n} + o(\frac{1}{n}))^{n} -n.x_{n} + 1 = 0[/tex]. J'ai développé les calculs de têtes donc le résultat n'est pas garantit mais normalement ça devrait le faire.

Cordialement

aviateur

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Messages : 172

Re : Développement asymptotique

Bonjour
Puisque [tex]y_n=o(1/n)[/tex] tu poses[tex] y_n=e_n/n[/tex]   avec [tex]e_n=o(1)[/tex] et tu remplaces dans l'équation, ce  qui donne:
[tex]e_n=1/n^n (1+e_n)^n[/tex]
Donc pour n assez grand  on a
[tex]0< e_n=exp(-n ln(n)) exp(n ln (1+e_n))<  exp(-1/2n ln(n))[/tex]
On en déduit que ne_n=o(1) et alors:
[tex]
e_n=exp(-n ln(n)) exp(n ln (1+e_n)) =exp(-n ln(n)) exp(n e_n  +  o(n e_n))=exp(-n ln(n)) exp(o(1)) [/tex]
c'est à dire :  [tex]e_n\sim exp(-n ln(n))[/tex]

Dernière modification par aviateur (12-08-2019 21:25:46)