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#76 23-08-2019 16:48:42

yoshi
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Mais non, mais non...

Si tu raisonnes froidement, tu vas constater que, bien au contraire, ça te simplifie le travail...


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#77 23-08-2019 17:00:09

yannD
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

froidement ?
bon, je propose :

$f(x) = \sqrt{|x^2  - 4|} $

$\sqrt{x}$ pour < 0 n'existe pas ( une valeur interdite est une valeur pour laquelle f(x) n'existe pas )
donc $|x^2-4| >0$
je dois chercher les valeurs de $x$ pour lesquelles $|x^2-4| > 0$

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#78 23-08-2019 17:13:03

yoshi
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Re,

je dois chercher les valeurs de x pour lesquelles |x²−4|>0

Oui, alors maintenant que tu poses la bonne question, c'est tout simple...
Peut-on avoir |x| <0 ?
(définition de la valeur absolue)

@+


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#79 23-08-2019 17:19:03

yannD
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Peut-on avoir |x| < 0 ?

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#80 23-08-2019 17:20:09

yannD
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

$|x|  = x$  si $x > 0$
$|-x|  = x$  si $x < 0$

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#81 23-08-2019 17:21:25

yoshi
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Oui, et alors ? Tu en déduis quoi sur le signe de |x] ?

@zebulor. Bien d'accord, c'est ce que je lui ai dit au post #76. Faut pas se laisser impressionner...

Dernière modification par yoshi (23-08-2019 17:26:33)


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#82 23-08-2019 17:22:54

yannD
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Définition :
    $|x|  = x$  si $x > 0$
$|-x|$  = x  si $x < 0$

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#83 23-08-2019 17:24:42

yoshi
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Re,

Je répète ma question :

Post #81, Yoshi a écrit :

Oui, et alors ? Tu en déduis quoi sur le signe de |x] ?


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#84 23-08-2019 17:26:10

yannD
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

j'ai un carré dans la valeur absolue donc x > 0

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#85 23-08-2019 17:26:36

Zebulor
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

@ Yann : il te suffit de traduire par des mots tes deux égalités du post #82 pour en déduire le signe de valeur absolue de x suivant que x>0 ou x<0.

Dernière modification par Zebulor (24-08-2019 23:18:33)

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#86 23-08-2019 17:27:46

yoshi
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

@YannD
Tu réponds à côté :
quel est le signe de |x| ?

Dernière modification par yoshi (24-08-2019 12:00:24)


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#87 25-08-2019 07:00:52

yoshi
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonjour,

Alors, je suis obligé de préciser ma pensée
Quand j'écris : quel est le signe de |x| ?, le est un article défini, cela signifie que ce signe est unique !

Une variable $x$ peut être négative, positive ou nulle. Si x =0, x n'est ni positif ni négatif...
Avec $x\neq 0$,
Peut-on avoir
|x|< 0 ?
|x| >0 ?
Justifie ta réponse grâce à la définition (que tu connais parfaitement d'ailleurs)...

Deux exemples :
|-3] = ?
|+5] = ?

@+


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#88 25-08-2019 10:19:13

Zebulor
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonjour,

yannD a écrit :

Définition :
$|-x|$  = [tex]x[/tex]  si $x < 0$
$|x|$  = [tex]x[/tex]  si $x > 0$

@YannD : C'est tout à fait exact et c'est strictement la même chose que :
Définition :
|[tex]x[/tex]| =[tex]-x[/tex]  si  $x< 0$
|[tex]x[/tex]| =[tex]x[/tex]  si  $x>0$
On pourrait mettre des inégalités larges à moins d'ajouter |[tex]x[/tex]| =[tex]0[/tex]  ssi  [tex]x=0[/tex]

@YannD : et si tu traçais la fonction  [tex]x[/tex] [tex]\mapsto [/tex]|[tex]x[/tex]|, est ce que tu n'y verrais pas plus clair ..?

Dernière modification par Zebulor (25-08-2019 15:53:01)

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#89 25-08-2019 20:56:07

Maenwe
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

yannD a écrit :

Définition :
    $|x|  = x$  si $x > 0$
$|-x|$  = x  si $x < 0$

Bonsoir,

C'est peut-être une erreur de frappe mais la troisième ligne n'est pas correcte (mais je n'ai rien à redire à la définition que propose Zebulor ;)), ce serait plutôt :
$|x|  = |-x| = x$  si $x > 0$

Et au passage j'en rajoute de ma petite interprétation :
La valeur absolue permet de ne pas s'embêter avec le signe d'un nombre, et pour cela on regarde le nombre "en valeur absolue" (positive).

C'est ainsi que je l'avais compris en 3ème, mais si jamais tu vas plus loin dans tes études en mathématiques (après le BAC) tu verras que la valeur absolue possède une autre interprétation très élégante.

Cordialement.

#90 26-08-2019 08:45:53

yoshi
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Re,

Pour l'instant, Yann entre en 1ere..
Je pense qu'il est temps de mettre les choses au clair.
La seule définition qui lui importe est la suivante :
$|x|=\begin{cases}\;\;\;x\; \text{ si  }x >0\\\;\;\;0\;\text{ si  }x=0\\-x\;\text{ si  }x<0\end{cases}$
Et on peut alors écrire aussi :
* si $x >0$   alors  $|x|=x >0$
* si $x=0$   alors  $|x|=0$
* si $x<0$   alors  $|x|=-x = \text{ opposé d'un nombre négatif }>0$

Et de même qu'on dit qu'une racine carrée est toujours positive ou nulle, on peut dire qu'une valeur absolue est toujours positive ou nulle...

Et pour boucler la boucle, cher YannD, un petit coup de massue (?) pour terminer : le lien qui existe entre racine carrée et valeur absolue, lien que je te laisse méditer : $\sqrt {x^2} = |x|$

@+


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#91 26-08-2019 08:58:54

Zebulor
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonjour,

Définition :
    $|x|  = x$  si $x > 0$
$|-x|$  = x  si $x < 0$

en effet cette 3e ligne n'est pas correcte... ! je m'y suis moi même embrouillé...  Merci Maewe pou cette précision.... et sans vouloir donner des coups de massue à notre Yann sympathique et motivé !

Dernière modification par Zebulor (26-08-2019 09:02:57)

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#92 26-08-2019 12:36:09

yannD
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Salut Yoshi, je ne sais pas si c'est la réponse que tu attends mais je propose :

                    $\sqrt {x^2} = |x|$

$\sqrt {x^2} = x$          et          $ |x| = x $     si $x >0$
                                    $ |x| = - x $   si $x<0$

2 cas:
   - si $x > 0$

    $\sqrt {x^2} = x$     et           $|x| = x$


-  si $x < 0$

   $\sqrt {-x^2} = x$      et         $ |x|= -x$



   donc (dans les  cas ) $\sqrt {x^2} = |x|$

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#93 26-08-2019 13:23:57

Zebulor
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonjour Yann,
tu t'adresses à Yoshi, mais comme je tombe sur ton post.. !
Ok pour  $\sqrt {x^2} = x$    si  x>0.  Tu peux même inclure la valeur [tex]0[/tex] et ajouter une équivalence : $\sqrt {x^2} = x$    <=>  [tex]x \ge 0[/tex]

Ensuite :

yannD a écrit :

-  si $x < 0$
   $\sqrt {-x^2} = x$      et         $ |x|= -x$
  donc (dans les  cas ) $\sqrt {x^2} = |x|$

Petit problème dans cette écriture :  $\sqrt {-x^2}$ parce que le signe "-" porte sur le carré de [tex]x[/tex].
Alors [tex]-x^2[/tex] est négatif car [tex]x^2[/tex] est toujours positif. Or la racine carré d'un nombre strictement négatif n'existe pas dans R

Par contre :  -  si $x < 0$
   $\sqrt {x^2} = -x$      car   $ |x|= -x$ lorsque [tex]x<0[/tex] et là encore tu peux mettre une inégalité large [tex]x \le 0[/tex]..
  Exemple : [tex]x=-3[/tex]  :   $\sqrt {(-3)^2} = -(-3)   ...$ et [tex]-(-3)[/tex] tu sais ce que ça vaut...
  Ici le carré porte bien sur le nombre [tex]-3[/tex]
Par contre  $\sqrt {(-x)^2} $ existe et dans ce cas : $\sqrt {(-x)^2}=\sqrt {x^2}=|x| $

sinon je cherche à comprendre pourquoi tu écris : $\sqrt {-x^2} $ dans le cas [tex]x<0[/tex]..

Je crois que Yoshi a voulu t'aider pour la réponse à la question qu'il te posait : à savoir quel est le signe de |[tex]x[/tex]| sachant que |[tex]x[/tex]|= $\sqrt {x^2}$

Dernière modification par Zebulor (26-08-2019 13:40:06)

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#94 26-08-2019 13:27:05

freddy
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

yannD a écrit :

Salut Yoshi, je ne sais pas si c'est la réponse que tu attends mais je propose :

                    $\sqrt {x^2} = |x|$

Aïe, aïe, aîe :

-  si $x < 0$

  $\sqrt {x^2} =- x$      et         $ |x|= -x$

Salut,

fais un peu attention :-)


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

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#95 26-08-2019 13:38:43

yoshi
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

RE,

$\sqrt {-x^2} = x$

Ça, tu n'as pas le droit de l'écrire.
Réfléchis une minute : $x^2$ est toujours positif donc, $-x^2$ est toujours négatif...
C'est bien d'avoir essayé quelque chose, mais en l'occurrence, là je ne demandais rien : je te donnais un élément de réflexion, une propriété très importante...
Et donc par rapport à ce que tu as écrit, il y a une différence fondamentale entre $-x^2$ et $(-x)^2$...
En effet :,
* $-x^2= -1 \times x^2$. Comme, en l'absence de parenthèses, la puissance est prioritaire sur la multiplication, voilà le calcul de $-2^2$ :
   $-2^2=-1 \times 2^2 = -1 \times 4=-4$
* $(-2)^2$ . Là, c'est la définition de la puissance $a^2 = a \times a$. Donc $(-2)^2 = (-2)\times (-2)=4$...
Où suis-je remonté pour pêcher ça  ? Devine ! ^_^  En 4e... :-;

Donc je reprends : une racine carrée est toujours positive (ou nulle).
$\sqrt{2^2} =2$  et $\sqrt{(-2)^2} =2$ tant qu'on utilise des nombres, on voit bien ce qu'il faut faire...
Par contre $\sqrt{(x)^2} =?$ si $x<0$, c'est un peu piégeux, au début, n'ayant pas la valeur de $x$ (vois-le comme une une enveloppe cachetée dans laquelle est écrit un nombre (ici négatif) puisque tu ne le vois pas....
Tout ce que ce tu sais, c'est qu'il est négatif...
Alors, tu contournes la difficulté est disant :
$\sqrt{x^2}=...$ quand x est négatif ?.... Hmmmm... C'est l'opposé du nombre qui est dans l'enveloppe, donc $-x$...
Si tu as cet exemple en tête et que tu penses bien que $-x$ est l'écriture de l'opposé de $x$ tu penseras que : $\text{si }x<0\;\;\text{ alors }\;\;(-x)>0$...

Si $x >0$  alors  $\sqrt{x^2}=x >0$
Si $x = 0$  alors  $\sqrt{x^2}=\sqrt{0^2}=\sqrt 0 =0$
Si $x <0$  alors  $\sqrt{x^2}= -x >0$ (opposé d'un négatif = positif)

Et bien, c'est exactement la définition de $|x|$.
On résume tout ça en écrivant que :
$\text{Quel que soit }x \in \mathbb R,\; \sqrt{x^2}=|x|$...

C'est clair ?

@+


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#96 26-08-2019 18:42:38

yannD
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonsoir Yoshi
J'ai quant même envi de reprendre ce que j'ai essayé de faire  au # 92
(j'ai dû croire que tu me demander de démontrer  $\sqrt {x^2} = |x|$

je vais essayé de reprendre ' la démonstration que j'ai voulu faire ' avec les explications du # 93, (avec les précisions apportées par Zebulor )

         $\sqrt {x^2} = |x|$

     si $x≥ 0$
     
$\sqrt {x^2} = x$          et.         $|x| = x $

Est ce que je peux écrire ça  ?
( je démontre en faisant 2 colonnes, c'est à dire 1 colonne pour $\sqrt {x^2} $ et une autre pour |x|$)

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#97 26-08-2019 19:27:00

yoshi
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonsoir,

Oui, tu peux...

Cette relation est très importante...


@+


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#98 27-08-2019 07:40:49

Zebulor
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonjour,
@Yann :  $\sqrt {(-x)^2}$ :tu peux l 'écrire aussi parce que $\sqrt {(-x)^2}= \sqrt {x^2}$ existe toujours
   Par contre $\sqrt {-x^2}$  est la racine carré d'un nombre négatif et n'existe pas dans R privé de 0...

Dernière modification par Zebulor (27-08-2019 07:46:18)

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#99 31-08-2019 16:08:29

Zebulor
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonjour,
@Yann : en attendant que tu finisses de batailler en géométrie.
Si tu veux montrer que  $\sqrt {x^2}=|x|$, il est toujours possible de transformer l'écriture : $\sqrt {x^2}-|x|$ en distiguant les cas suivant [tex]x[/tex], sachant que pour [tex]x=0[/tex] l'égalité est évidente.

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#100 31-08-2019 20:47:56

yannD
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonsoir ,

résoudre  $\sqrt {x^2}=|x|$, revient à résoudre $\sqrt {x^2} - |x| = 0$, c'est ce que tu veut dire ?

est ce que c'est comme pour résoudre une équation avec $x^2$ ? puisque résoudre $x^2 = k$ , et. si $k > 0$ c'est résoudre l'équation $x^2 - k = 0 $  et je trouve deux solutions (en factorisant  j'arrive à une équation produit )  . Mais ici ??

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