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#51 18-08-2019 09:52:57

yoshi
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonjour,

@Zebulor.
   Pour un débutant pur, Python est très bien, facile à lire, facile d'accès donc rapidement gratifiant.
   La taille des nombres utilisables n'est limitée que par la quantité de RAM de ta machine.
   A titre indicatif en ne travaillant qu'avec des entiers, j'ai déjà calculé le nb d'or avec 20000 décimales (avec les instructions basiques) avec la méthode apprise en 4e il y a... un temps certain ! ^_^
   Puis en utilisant, le module decimal qui permet notamment de manipuler 20000 décimales si nécessaire et la méthode de Héron d'Alexandrie ; pour le fun, calcul de $\sqrt 5$ avec 20000 décimales :

#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8 -*-

from decimal import Decimal as D,getcontext
getcontext().prec=20000

N=5
u=D(2)
for i in range(30):
    u=(u**2+D(N))/(u*D(2))

print (u)

Vraiment pour le fun parce que ce module intègre une racine carrée qui donne directement $\sqrt n$ avec la précision souhaitée...
https://www.python.org/downloads/, langage de programmation libre et gratuit...


@YannD
Trigonométrie: née dans le triangle rectangle (d'où son nom : tri : 3, gone : angle, métrie : mesure), on est passé assez vite  dans les triangles quelconques puis plus tard à la notion de cercle trigonométrique...
En 4e, tu as vu le cosinus d'an angle (aigu) dans un triangle rectangle, en 3e se sont rajoutés par dessus, le sinus d'un angle et la tangente d'un angle dans un triangle rectangle :
  B           
  |\
  | \           
  |  \
  |   \         
A|    \C

$\sin \hat C =\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$

$\cos \hat C =\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$

$\tan \hat C =\dfrac{sin \hat C}{\cos \hat C}=\dfrac{\dfrac{AB}{BC}}{\dfrac{AC}{BC}}=\dfrac{AB}{BC}\times \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$
Formules qu'on résume avec la phrase "Mon cacatoès s'appelle SohCahToa"
Soh : Sinus opposé hypoténuse, Cah : Cosinus opposé adjacent, et Toa : Tangente opposé adjacent.

Entre le sinus et cosinus d'un angle existe la relation :
[tex]\sin^2 \hat C+\cos^2\hat C =1[/tex]
Démonstration dans le triangle rectangle :
$\sin^2 \hat C+\cos^2\hat C =\dfrac{AB^2}{BC^2}+\dfrac{AC^2}{BC^2}=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}$
Or puisque le triangle ABC est rectangle en A alors le th de Pythagore nous dit que $AB^2+AC^2=BC^2$
Je remplace :
$\sin^2 \hat C+\cos^2\hat C =\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}=\dfrac{BC^2}{BC^2}=1$

Ça, c'est qu'un élève quittant la 3e est censé avoir vu...
En 2nde, en principe, tu as découvert le cercle trigonométrique cercle de rayon 1 (1 quoi ?  1 cm ? c'est un peu petit 1 dm, 1 m, 1 dam... ce que tu veux...) où les angles sont positifs ou négatifs selon qu'ils sont mesurés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (appelé sens trigonométrique) ou dans l'autre...
Ces angles sont mesurés en radians (au début pour s'y retrouver on peut convertir en degrés, mais plus vite on pense en radians mieux c'est...)
190818111235625641.png
Je place un point M sur le cercle et j'appelle H et K les pieds des perpendiculaires abaissées de M sur (OI) et (OJ) et $\alpha$ l'angle $\widehat{HOM}$. Rappel OM =1
$\cos\alpha = \dfrac{OH}{OM}=OH$ c'est toujours vrai pour cette raison, l'axe horizontal est appelé axe des cosinus.
$\sin\alpha = \dfrac{HM}{OM}=HM= OK$ c'est toujours vrai pour cette raison, l'axe vertical est appelé axe des sinus.
Tant qu'on reste à l'intérieur du quadrant délimité par I, O et J, on n'est pas trop dépaysé parce que $\alpha$ reste un angle aigu...
Tu peux voir sur le dessin que OH =1/2 (j'ai placé M pour que H soit le milieu de [OI], et que (HM) étant médiatrice de [OI] :
MI =MO = rayon =1, de plus OI = rayon =1.
Le triangle OMI est donc équilatéral, donc $\widehat{MOH} = \dfrac{\pi}{3}\; (=60°)$
Et tu peux vérifier (calculette) que $\cos \dfrac{\pi}{3} (\cos 60)=1/2$. 
La valeur du cosinus d'un angle sur ce cercle se trouve effectivement en mesurant OH.
Tu peux voir que
si M est sur I l'angle vaut 0 et que cos 0 =1
si M est sur J l'angle vaut $\dfrac{\pi}{2}\;(90°)$ et que $\cos \dfrac{\pi}{2} = 0$...
Tu vois donc $\cos x=0$ pour $x=\dfrac{\pi}{2}$ et donc que pour $f(x)=\dfrac{1}{\cos x}$,  $x=\dfrac{\pi}{2}$ est une valeur interdite...

Et les sinus alors ?
$\sin\alpha = \dfrac{HM}{OM}=HM= OK$
$OM=1,\;OH =1/2$
Dans le triangle OHM rectangle en H, je peux utiliser le théorème de Pythagore qui me permet d'obtenir :
$HM^2=OM^2-OI^2=1-\dfrac 1 4 = \dfrac 3 4$  et  $OK = HM =\dfrac{\sqrt 3}{2}\approx 0,866... $
Vérification partielle en mesurant, avec un  cercle de rayon 1 dm  : ça colle...
La valeur du sinus d'un angle sur ce cercle se trouve effectivement en mesurant OK.
Tu peux voir que
si M est sur I l'angle vaut 0 et que sin 0 =0
si M est sur J l'angle vaut $\dfrac{\pi}{2}\;(90°)$ et que $\sin \dfrac{\pi}{2} = 1$...

J'arrête là...

Avant d'aller au delà de J, il me faut savoir si tu as digéré ça...

@+


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#52 18-08-2019 10:19:52

Zebulor
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonjour Yoshi,
20000 décimales quand même ...  !
Merci pour le lien et quelques infos, je regarderai çà. On trouve encore des choses gratuites, ce qui est appréciable..
J'ai entendU parler par ailleurs d'un certain site "france ioi"
Je ne sais pas ce que ça vaut..
En attendant que notre studieux YannD prenne le temps d'assimiler cette parenthèse de trigo...

A+

Dernière modification par Zebulor (18-08-2019 10:20:49)

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#53 18-08-2019 10:57:26

yoshi
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Salut,

Si tu lances dans Python, tout le monde conseille le bouquin téléchargeable librement et gratuitement en pdf (on peut aussi acheter la version papier) ici :
http://inforef.be/swi/download/apprendre_python3_5.pdf

Tiens 2 exemples de programmes courts, va voir ici : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=8905...

@+


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#54 18-08-2019 14:29:35

yannD
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Salut Yoshi, déjà 3e ligne : << En 4e, tu as vu ……………

-- > je n'ai pas  travaillé en 4e ( classe que je devais redoublé : je le précise bien)
t'as bien vu tous les efforts que tu as fait cette année pour me faire comprendre la droite des milieux,
donc quand tu me parles du cosinus d'un angle, bin ……

Peux tu me refaire un cours sur le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle, s'il te plait ?
avec q q   e x o s, également…


Après en Python, je voudrais bien refaire un programme sur les nombres premiers, mais je n'ai pas Python sur l'ordi, après en Ram, il me semble que c'est 4 Go

Dernière modification par yannD (18-08-2019 14:38:02)

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#55 18-08-2019 14:51:13

yannD
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

@ Zebulor , j'ai vu que tu es intéressé par la programmation
et je vais en avoir ( à bonne dose) cette année
or je me suis bien ramassé en Python
Es-tu d'accord pour demander à Yoshi de proposer un exo sur le calcul des nombres premiers ?
( et dans une autre discussion parce que je ne vais plus comprendre )
là, j'ai encore 15 jours pour me mettre à niveau, je sais que  j'en demande beaucoup à Yoshi, mais ça serait sympa de faire un programme en Python ensemble

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#56 18-08-2019 15:10:56

Zebulor
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

@yannD,
un exo sur le calcul des nombres premiers ? pourquoi pas.. dans la mesure de mes disponibilités car je révise et/ou j'apprends des notions d'algèbre...
J'ai quelques petites bases assez anciennes en programmation...
Mais comme tu as progressé sur les exercices que Yoshi t'a donné, tu vas y arriver aussi en Python!
Quant au cosinus d'un angle dans un triangle rectangle, c'est pas si compliqué. Le post #51 de Yoshi me semble déjà répondre à ta demande du post #54. Tu peux le travailler, refaire les schémas par toi même, repérer les côtés adjacents, opposés, l'hypoténuse..réécrire les formules de sinus et cosinus...

Dernière modification par Zebulor (18-08-2019 15:34:53)

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#57 18-08-2019 15:40:27

yannD
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Salut, mais je suis archi-nul en Trigo, et en 3e, dans les DS, je confonds le coté adjacent avec le coté opposé, enfin je ne repère pas bien les 2 et je me trompé à chaque fois dans la formule

Après, j'ai proposé un exo en Python sur les nombres premiers , c'est parce que j'ai eu un contrôle et je me suis gamelé  , mais maintenant, ( et si tu es d'accord, on peut prendre un exercice en Python d'un autre thème) mais pas trop dur ………

Dernière modification par yannD (18-08-2019 15:46:44)

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#58 18-08-2019 15:54:21

Zebulor
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Salut,
dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours le côté le plus long. Dans le triangle OHM rectangle en H du post #51 de Yoshi, ça ne peut être que le segment [tex][OM][/tex]...
Quant au côté opposé à l'angle [tex]\alpha[/tex], ça ne peut être que le segment [HM] ... être opposé c'est être "en face". Imagine que ton oeil soit symbolisé par l'angle [tex]\alpha[/tex] qui regarde vers la droite sur cette figure..
Le côté adjacent à [tex]\alpha[/tex] est alors le segment [OH]..  mon prof nous disait COsinus=ADjacent/hypoténuse ... co c'est le préfixe latin qui veut dire 'ensemble".. être ensemble, donc à côté..à proximité..Un moyen mnémotechnique comme un autre de s'en souvenir.

Yoshi a dessiné le cercle de rayon unité, ça veut dire que la longueur de l'hypoténuse est toujours 1. Et dans ce cas seulement : [tex]OH=cos(\alpha)/1=cos(\alpha) [/tex] et [tex]HM=sin(\alpha)/1=sin(\alpha)[/tex]. Sur le dessin de Yoshi : [OH] mesure 5 carreaux, [OI] en fait 10..
le cosinus de l'angle correspondant [tex]\pi/3[/tex] est donc : [tex]\frac {5}{10}=\frac {1}{2}[/tex]

Sinon pour Python, nombres premiers ou pas peu importe pour moi!

Dernière modification par Zebulor (18-08-2019 16:12:25)

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#59 18-08-2019 16:08:08

yannD
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Co. ( en latin ) = ensemble
donc cosinus, je lis CO donc c'est le coté le plus proche

Dernière modification par yannD (18-08-2019 16:15:46)

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#60 18-08-2019 16:14:09

Zebulor
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Oui, sachant que ce côté le plus proche ne peut pas être l'hypoténuse, car l'hypoténuse figure toujours au dénominateur dans la définition de sinus et cosinus....côté adjacent = côté le plus proche et dont la longueur est la plus courte..

Dernière modification par Zebulor (18-08-2019 16:54:01)

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#61 18-08-2019 16:15:54

yannD
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

j'ai vu aussi ton  post d'hier, le # 48 qui est pas mal, pas mal… (  j e  d i r a i s.  )
surtout  pour le a)
en fait , tu te dis que le dénominateur ne doit jamais être nul,, d'accord parce que c'est une fraction donc je peux pas diviser par 0
et après tu écris √x = 0
donc c'est une équation que tu cherches à résoudre ?
c'est ça ?
(j'aime bien ta façon de raisonner )

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#62 18-08-2019 16:37:23

Zebulor
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

yannD a écrit :

et après tu écris √x = 0
donc c'est une équation que tu cherches à résoudre ?
c'est ça ?
(j'aime bien ta façon de raisonner )

C'est çà : le dénominateur ne doit pas être nul : en l'occurrence [tex]\sqrt {x}[/tex], ce qui revient à écrire que l'ensemble de définition de [tex]f[/tex] ne doit pas contenir la valeur de [tex]x[/tex] pour laquelle [tex]\sqrt {x}[/tex] vaut [tex]0[/tex]..
Je cherche donc à connaître cette valeur de [tex]x[/tex] qui annule le dénominateur, et c'est en effet une équation que je résous, dont la solution (ici il n'y en a qu'une c'est [tex]x=0[/tex]) est exclue de Df

De plus il faut aussi exclure de Df la ou les valeurs de [tex]x[/tex] pour lesquelles [tex]\sqrt {x}[/tex] n'existe pas... soit tous les nombres strictement négatifs.

Dans l'ensemble Df que te reste t il ? tous les nombres réels sauf [tex]0[/tex] et les nombres strictement négatifs = tous les nombres strictement positifs

Dernière modification par Zebulor (18-08-2019 17:17:39)

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#63 18-08-2019 16:50:23

Zebulor
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

@YannD : résoudre une équation (ou inéquation) ce n'est rien d'autre que rechercher la ou les valeurs de [tex]x[/tex] dans R, si elle(s) existe(nt), qui satisfont cette équation (ou inéquation)..

"si elles existent" parce que ce n 'est pas toujours le cas : exemple : [tex]\sqrt {x^2+4}=0[/tex] n'a pas de solution dans R

Dernière modification par Zebulor (18-08-2019 17:16:47)

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#64 18-08-2019 18:39:22

yoshi
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Re,

@YannD
Je ne t'ai pas oublié...
J'ai fouillé mes archives, j'ai sélectionné divers trucs et je t'ai fait un package trigo.
Tu peux le récupérer ici : https://www.cjoint.com/c/IHsst3CuoQm...
Je vais voir demain si je peux faire une autre sélection avec une recherche un peu intelligente que ce que j'ai fait depuis 3 h.
Les documents mis à ta disposition sont des vrais documents :
interros, DM et corrigés, fiches d'aides, tout a été distribué année après année...

Et j'ajoute (clin d'oeil à Zebulor) que l'ensemble des solutions dans $\mathbb R$ de l'inéquation [tex]\sqrt{x^2+4}>0[/tex] est $\mathbb R$ tout entier : tout nombre réel $x$ est solution de l'inéquation, c'est à dire convient...
Si j'avais choisi [tex]\sqrt{x^2+4}<0[/tex] il n'y avait, par contre, pas de solution.

Python en 1ere...
Sauf si tu tombes sur qq qui programme, ne te promets pas des merveilles en Python cette année : tu risquerais d'être déçu !
Beaucoup de profs, en Python, sans les solutions qui leur sont fournies avec les exos, seraient tout aussi largués que leurs élèves...
Il y a eu qq exemples sur BibMath cette année...

@+


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#65 19-08-2019 14:50:05

yannD
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonjour Yoshi, merci pour tout, bonne après-midi également, je suis en train de lire le # 51 , alors il y a des choses que je sais déjà mais le point faible c'est toujours ce qui remonte à la classe de 4e,

- > le cosinus d'un angle aigu dans 1 triangle rectangle

-> l'angle aigu, c'est - de 90°  ou entre 90° et 180° ??

Tu vois, j'ai beaucoup d'hésitations, aurais - tu un exo sur ce thème ?
Avant d'aborder vraiment la trigo, il faudrait revoir des problèmes simples.
D'avance merci.

Dernière modification par yannD (19-08-2019 14:51:27)

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#66 19-08-2019 15:05:19

yannD
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

B                 l'angle B fait moins de 90°
  |\                       
  | \           
  |  \
  |   \         
A|    \C             l'angle C aussi :

                 Donc 2 angles aigus dans le triangle rectangle

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#67 19-08-2019 15:05:38

Zebulor
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonsoir YannD,
j'intercepte encore une fois car je suis là...
l'angle aigu correspond à [tex]\alpha[/tex] compris entre 0 et 90 degrés, et en radians c est entre 0 et [tex]\frac \pi {2}[/tex]
Géométriquement l'angle alpha est aigu quand le point [tex]M[/tex] décrit l'arc IJ sur le post #51 de Yoshi...

yannD a écrit :

B                 l'angle B fait moins de 90°
  |\                       
  | \           
  |  \
  |   \         
A|    \C             l'angle C aussi :

                 Donc 2 angles aigus dans le triangle rectangle

C'est tout à fait exact ! parce que la somme des angles d'un triangle égale 180 degrés d'où : La somme des angles B et C fait 90 degrés... d'où l'appellation d'angles complémentaires pour ces deux angles....

Dernière modification par Zebulor (19-08-2019 15:11:19)

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#68 19-08-2019 15:12:28

yannD
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Salut
donc angle aigu : < 90°
                       
    $\pi$ = 360° donc $\pi/2 = 180°$
donc l'angle aigu est entre 0 et 180°
c'est ça?

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#69 19-08-2019 15:15:51

Zebulor
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

... pas tout à fait : [tex]\pi[/tex] radians = 180 degrés, puisque [tex]\pi/2[/tex] radians = 90 degrés .. relis bien le post #51

Pour retenir ça : pense au périmètre d'un cerle de rayon R : c est [tex]2*\pi[/tex] R ce qui correspond à 360 degrés... en avion quand on "fait un 360" ça veut dire qu'on vire à gauche ou a droite pour faire un tour complet...

Dernière modification par Zebulor (19-08-2019 15:19:34)

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#70 19-08-2019 15:23:34

Zebulor
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Post #51 /

yoshi a écrit :

si M est sur I l'angle vaut 0 et que cos 0 =1
si M est sur J l'angle vaut $\dfrac{\pi}{2}\;(90°)$ et que $\cos \dfrac{\pi}{2} = 0$...

Et la réponse à ta question est encore dans ce post :

yoshi a écrit :

Tant qu'on reste à l'intérieur du quadrant délimité par I, O et J, on n'est pas trop dépaysé parce que $\alpha$ reste un angle aigu...
@+

Regarde bien où sont ces points I, O et J..

Dernière modification par Zebulor (19-08-2019 15:31:15)

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#71 19-08-2019 15:37:02

yoshi
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Salut,

Dans un triangle il y a 3 angles, j'espère que je ne t'apprends rien
Dans un triangle rectangle, j'espère que je ne t'apprends rien non plus, il y a un angle droit...
Les deux autre sont aigus.

La somme des angles d'un triangle vaut 180°.
Démonstration.
Tracer une droite (DC)
Ajouter un point B entre C et D.
Placer un point A en dehors de la droite et tracer le triangle ABC.
Du même côté que A par rapport à (CD), tracer la demi-droite d'origine B parallèle à (AC).
Sur cette demi-droite placer un point E.
Le but du jeu est de montrer que $\widehat{CBA}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180°$
1. Comparer $\widehat{BAC}$ et $\widehat{ABE}$
2. Comparer $\widehat{ACB}$ et $\widehat{EBD}$
3. Dans la somme $S=\widehat{CBA}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}$ remplacer alors $\widehat{BAC}$ et $\widehat{ACB}$
4. Conclure...

Classification des angles
$\underbrace{0°<\text{angle aigu}<90°<\text{angle obtus}<180°}_{\text{angles saillants}}$ ; $180°<\text{angle rentrant}< 360°$
0° c'est l'angle nul,
90° c'est l'angle droit,
180° c'est l'angle plat.

Je reviens au triangle rectangle.
Soit ABC un triangle rectangle en A. On a donc $\widehat A = \text{angle droit}=90°$
On sait aussi que $\widehat A+\widehat B+\widehat C = 180°$
On en déduit donc que $\widehat B+\widehat C=90°$.
Or, chacun de ces deux angles mesurant plus de 0°, chacun d'entre eux  mesure moins de 90°.
Selon la classification donnée  : ils sont aigus...

@+

[EDIT] Salut à Zebulor...
YannD, post #49 j'avais pourtant écrit :

$\pi\;\text{rad}=180°$, donc $\pi/2 \;\text{rad} =90° $...

Dernière modification par yoshi (19-08-2019 15:52:21)


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#72 19-08-2019 16:26:45

yoshi
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Re,

Je simplifie la suggestion sur Python.
Créer une fonction EstPremierouPAs qui prendra en paramètre un nombre que vous choisirez entre 100 et 10000.
Cette fonction utilisera  la liste P100 des nombres premiers inférieurs à 100 suivante :
P100=[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]
pour déterminer si le nombre choisi est premier ou pas.
Elle devra retourner la réponse sous la forme d'une phrase affirmative ou négative...

Prérequis
* savoir ce qu'est une boucle for
* savoir lire un élément précis d'une liste
* savoir parcourir un par un tous les éléments d'une liste avec une boucle for
* savoir que le reste d'une division s'obtient avec % : reste = Dividende % diviseur
* savoir que le test d'égalité traduisant  (par exemple) si reste = 0, s'écrit avec un double signe = --> if reste==0:

Je n'attendrais que quelque chose de basique, pas du tout optimisé (ce qui serait l'objet du 2e effet kissCool...)

@+


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#73 23-08-2019 15:02:15

yannD
Membre
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Salut Yoshi, en fait j'ai bien aimé le travail que tu m'as donné à faire sur les domaines de définition…
Es-tu d'accord pour me proposer d'autres domaines de définition à résoudre ? (s'il te plaît )

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#74 23-08-2019 16:27:02

yoshi
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Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Re,

En vl'a 4 :
$f(x)=\sqrt{|x^2-4]}$
$g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{|x^2-4|}}$
$h(x)=(x-2)\sqrt{|x+2|}$
$k(x)=\dfrac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{|x^2-4|}}$

@+


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#75 23-08-2019 16:44:37

yannD
Membre
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Messages : 622

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

c'est avec les valeurs absolues, ça c'est plus dur…

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