Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 03-08-2019 17:36:48

hicham alpha
Membre
Inscription : 19-03-2018
Messages : 103

pgcd polynome

Bonjour

Je bloque sur cet exercice :
Montrer que pour tout (P,Q) ∈ K[X]2, P ≠ 0 et Q ≠ 0 :
pgcd(P2 + Q2 , PQ) = (pgcd(P , Q))2

Merci d'avance
Bonne journée


La vie est un art

Hors ligne

#2 04-08-2019 01:15:45

Deugard
Membre
Inscription : 28-12-2018
Messages : 36

Re : pgcd polynome

bonsoir,
soit  D:=pgcd(P,Q) ; il existe alors R , S de K[X] tels que :
P=DR  et  Q=DS , avec R et S premiers entre eux .
Alors : pgcd(P²+Q²,PQ) = pgcd(D²(R²+S²),D²RS) = D²pgcd(R²+S²,RS) ;
Pour conclure, il ne reste plus qu'à prouver que  R²+S² et RS sont premiers
entre eux. Or si un polynôme A divise RS, alors il divise soit R ou soit S,
mais non les deux puisque R et S sont premiers entre eux. Posons que A
divise R (et est premier avec  S) : alors A divise aussi R² ; si on suppose que
A divise R²+S², alors A divise aussi  R²+S² - R² = S², ce qui est contradictoire
puisque A et S sont premiers entre eux .

Hors ligne

#3 04-08-2019 09:13:03

hicham alpha
Membre
Inscription : 19-03-2018
Messages : 103

Re : pgcd polynome

C'est une jolie preuve.
Merci beaucoups


La vie est un art

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quatre-vingt six plus soixante six
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums