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#1 03-08-2019 19:36:48
- hicham alpha
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- Messages : 111
pgcd polynome
Bonjour
Je bloque sur cet exercice :
Montrer que pour tout (P,Q) ∈ K[X]2, P ≠ 0 et Q ≠ 0 :
pgcd(P2 + Q2 , PQ) = (pgcd(P , Q))2
Merci d'avance
Bonne journée
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#2 04-08-2019 03:15:45
- Deugard
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- Messages : 36
Re : pgcd polynome
bonsoir,
soit D:=pgcd(P,Q) ; il existe alors R , S de K[X] tels que :
P=DR et Q=DS , avec R et S premiers entre eux .
Alors : pgcd(P²+Q²,PQ) = pgcd(D²(R²+S²),D²RS) = D²pgcd(R²+S²,RS) ;
Pour conclure, il ne reste plus qu'à prouver que R²+S² et RS sont premiers
entre eux. Or si un polynôme A divise RS, alors il divise soit R ou soit S,
mais non les deux puisque R et S sont premiers entre eux. Posons que A
divise R (et est premier avec S) : alors A divise aussi R² ; si on suppose que
A divise R²+S², alors A divise aussi R²+S² - R² = S², ce qui est contradictoire
puisque A et S sont premiers entre eux .
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#3 04-08-2019 11:13:03
- hicham alpha
- Membre
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- Messages : 111
Re : pgcd polynome
C'est une jolie preuve.
Merci beaucoups
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