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#1 31-07-2019 21:24:41

Katrem
Invité

Arithmétique : CNS de divisibilité

Bonjour,

Je cherche les valeurs de n (entier) telles que n divise [tex] N = \sum_{k=0}^{E(n/3)}{\binom{n}{3k}}[/tex]

On montre que [tex] \sum_{k=0}^{E(n/3)}{\binom{n}{3k}} = \frac{2^{n}+2cos(n.pi/3)}{3}}[/tex] en passant par les complexes.

Ensuite en distinguant les cas modulo 6 pour éliminer le cos, on arrive à

[tex] N = \frac{2^{n}-2}{3}}[/tex] pour n =  0 mod 6

[tex] N = \frac{2^{n}+2}{3}}[/tex]  pour n = 3 mod 6

[tex] N = \frac{2^{n}-1}{3}}[/tex]  pour n = 2 ou n = 4 mod 6

[tex] N = \frac{2^{n}+1}{3}}[/tex]  pour n = 1 ou n = 5 mod 6

Seul ce dernier cas me pose problème. Pour les premiers, j'ai réussi à montrer que c'était impossible en montrant que n était multiple de 2 ou 3 alors que N ne l'était pas en regardant les valeurs de 2^n modulo 6 ou 9 (par exemple, le 1er : comme n=0[6]  on montre que 2^n = 1[9] puis N = 1[3], or n multiple de 3)

Mais dans le dernier cas on voit bien que c'est impossible de raisonner de la sorte puisqu'on ne peut pas trouver de diviseur pour n. Je ne sais pas si on peut conclure avec une méthode similaire ou s'il faut une toute approche.

Après avoir testé il semble qu'il n'y a aucune autre solution que n = 1 (on a alors N = 1)

Merci d'avance

#2 31-07-2019 22:27:52

Katrem
Invité

Re : Arithmétique : CNS de divisibilité

[Repost avec le bon code LaTeX]

Bonjour,

Je cherche les valeurs de n tel que n divise [tex]\sum\limits_{k=0}^{E(n/3)}{\binom{n}{3k}}[/tex]. Je ne sais pas si ma méthode permet de conclure :

On montre que [tex]\sum\limits_{k=0}^{E(n/3)}{\binom{n}{3k}} = \dfrac{2^{n}+2cos(n\pi/3)}{3}[/tex] en passant par les complexes.

Ensuite en distinguant les cas modulo 6 pour éliminer le cos, on arrive à

[tex]N = \dfrac{2^{n}-2}{3}[/tex] pour n =  0 mod 6

[tex]N = \dfrac{2^{n}+2}{3}[/tex] pour n = 3 mod 6

[tex]N = \dfrac{2^{n}-1}{3}[/tex]  pour n = 2 ou n = 4 mod 6

[tex]N = \dfrac{2^{n}+1}{3}[/tex]  pour n = 1 ou n = 5 mod 6

Seul ce dernier cas me pose problème. Pour les premiers, je montre que n ne divise pas N car n est multiple de 2 ou 3 alors que N ne l'est pas, en regardant les valeurs de 2^n modulo 6 ou 9 (par exemple, le 1er : comme n=0[6]  on montre que 2^n = 1[9] puis N = 1[3], or n multiple de 3)

Mais dans le dernier cas on voit bien que c'est impossible de raisonner de la sorte puisqu'on ne peut pas trouver de diviseur pour n.

Après avoir testé il semble qu'il n'y a aucune autre solution que n = 1 (on a alors N = 1).

Merci d'avance.

Dernière modification par yoshi (01-08-2019 05:57:33)

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