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#1 31-07-2019 07:43:39

GuillaumeB
Invité

Calcul d'une limite

Bonjour

J'ai la limite suivante

[tex]\lim\limits_{r_{1}\rightarrow r_{2}} \sqrt{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}+\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}}atan\left ( \frac{r_{1}}{\sqrt{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}} \right )-\frac{\pi }{2}r_{1}[/tex]

Dont j'aimerai exprimer la solution en fonction de [tex]\delta =\lim\limits_{r_{1}\rightarrow r_{2}} r_{2}-r_{1}[/tex].

Je m'atens à ce que elle tende vers [tex]\sqrt{2\delta r_{2}}[/tex] puisque atan(0) tend vers pi/2.

Or wolphramAlpha me dit numeriquement que ce n'est pas juste..

Merci beaucoup!

#2 31-07-2019 08:36:46

GuillaumeB
Invité

Re : Calcul d'une limite

petite rectif : atan(infini) tends vers pi/2...

#3 01-08-2019 17:01:14

Maenwe
Invité

Re : Calcul d'une limite

Bonsoir,

Le terme sous la racine tend vers 0, celui devant l'arctan vers la valeur absolue de [tex]r_{2}[/tex], me terme dans l'arctan tend vers + ou - l'infini tout dépend du signe de [tex]r_{2}[/tex], s'il est positif ce sera + l'infini et vice-versa, donc l'arctan va tendre vers + ou - pi/2  donc pour le "produit entier" on va avoir [tex]\frac{r_{2} \pi}{2}[/tex] et pour le dernier terme cela tend vers [tex]\frac{-r_{2} \pi}{2}[/tex], donc la somme tend vers 0.
Par ailleurs le delta que tu défini, je n'en vois l'utilité, il vaut 0 ?

Cordialement

#4 02-08-2019 08:39:18

GuillaumeB
Invité

Re : Calcul d'une limite

Salut et merci

J'ai suivi le meme raisonnement que toi ce qui fait que la somme doit tendre vers [tex]\sqrt{r_{2}^{2}-r_{2}^{2}}\simeq \sqrt{2\delta r_{2}}[/tex] (qui tends évidemment vers 0).

Le pb c'est que numériquement ca ne tends pas vers cette valeur lorsque  [tex]\delta[/tex] tends vers 0. C'est moins évident que ce qu'on peut penser..
En fait j'ai l'impression que ca tend vers [tex]\delta\pi[/tex] mais je n'arrive pas à l'infirmer/confirmer

#5 03-08-2019 10:38:46

Maenwe
Invité

Re : Calcul d'une limite

Bonjour,

J'ai finalement compris d'où venait votre approximation, elle vient du terme avec la racine carré et le reste vous considérez comme nul car tend vers 0.
Si c'est bien votre raisonnemen,t il y a un problème, ce n'est pas très rigoureux :/

La cause du problème que vous rencontrer vient peut être de là, vous considérer que les termes à gauche sont négligeables devant le terme a gauche, ce qui n'est peut être pas le cas...
Il vous faut étudier plus profondément le comportement des 2 fonctions "racines carré" et son terme à droite, voir qui est négligeable devant qui (si c'est le cas, car elles sont peut être équivalentes), voir même trouver un équivalent à toutes la somme, c'est comme ça par exemple que l'on obtient des approximations de fonctions, comme le sinus. Donc les meilleurs pistes pour obtenir une bonne approximation est soit de chercher à jouer avec des inégalités soit de chercher un équivalent, soit d'étudier les negligeabilites.

Cordialement

#6 03-08-2019 10:43:53

Maenwe
Invité

Re : Calcul d'une limite

désolé j'ai fais pas mal de fautes dans ce que j'ai écris...
Corrections :

"La cause du problème que vous rencontrez vient peut être de là, vous considérez que les termes à droites sont négligeables devant le terme a gauche, ce qui n'est peut être pas le cas... "

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