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#1 10-07-2019 12:53:45
- rudel
- Invité
Methode de calcul
Bonjour , je cherche une méthode scientifique qui permet de déduire le resultat de 2^2020 , combien de chiffres ce nombre peut posseder.
#2 10-07-2019 16:54:02
- Black Jack
- Membre
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- Messages : 470
Re : Methode de calcul
Bonjour,
x = 2^2020
log(x) = 2020 * log(2) = 608,08... (le log est ici décimal (base 10))
x = 10^(608,08...)
x = 10^0,08... * 10^608
x = 1,2... * 10^608
Et donc ...
Hors ligne
#3 12-07-2019 19:21:44
- Maenwe
- Invité
Re : Methode de calcul
Bonsoir,
Black Jack en dehors du nombre de décimal, qui s'obtient par exemple en utilisant le début de ta méthode ci-dessous, ça ne me semble pas très viable.
on cherche (le plus grand) entier naturel k tel que [tex]10^{k} \le 2^{2020} < 10^{k+1}[/tex] (ie. on cherche le nombre k de décimal de [tex]2^{2020}[/tex]).
On a donc en utilisant la stricte croissance du log et les inégalités précédentes : [tex]k \le 2020.log_{10}(2) < k+1[/tex] puis on remarque que k est la partie entière de [tex]2020.log_{10}(2)[/tex], donc [tex]k = \lfloor 2020.log_{10}(2) \rfloor[/tex], donc k = 608.
Pour revenir la méthode qu'utilise Black Jack, il ne me semble pas que log(2) soit un décimal... Donc il y a une approximation dans le résultat et de même pour "10^0,08...", à moins que je ne vois pas un truc, si on veut obtenir la vrai valeur de 2^2020 il faut déterminer de combien on approxime ce nombre (j'ai fait quelques calculs et si on on approxime [tex]2020.log_{10}(2)[/tex] à la k-ième décimale tel que la k+1-ième décimale de [tex]2020.log_{10}(2)[/tex] soit non nulle, on obtient un nouveau nombre y, et on a 2 inégalités : [tex]|2020.log_{10}(2)-y| \le y.|1 - 10^{10^{-(k+1)}}|[/tex] et [tex]2020.log_{10}(2) \le y[/tex]) pour passer le résultat final à la partie entière (après avoir obtenue une inégalité pour savoir si l'approximation est supérieur ou inférieur à [tex]2020.log_{10}(2)[/tex]) et obtenir le résultat voulue.
Cordialement
#4 12-07-2019 20:00:24
- Maenwe
- Invité
Re : Methode de calcul
J'ai fait une erreur en passant du papier à l'ordinateur, je rectifie :
[tex]|2^{2020}-y| \le y.|1-10^{10^{-(k+1)}}|[/tex] et [tex]2^{2020} \ge y[/tex]
Désolé ^^
#5 13-07-2019 08:44:59
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 470
Re : Methode de calcul
Bonjour,
Je confirme la validité de la méthode que j'ai présentée en réponse à la question " combien de chiffres ce nombre possède-t-il ?"
Le reste est sans intérêt, si on voulait donner la valeur exacte de 2^2020 en décimal ... on devrait écrire les 609 chiffres qui le composent.
Un microseconde de réflexion montre que 2^2020 est un nombre entier et par là l'approximation x = 1,2... * 10^608 est alors suffisante pour dire que le nombre 2^2020 écrit en décimal comporte exactement 609 chiffres.
Hors ligne
#6 13-07-2019 10:30:07
- Maenwe
- Invité
Re : Methode de calcul
Bonjour,
Autant pour moi, j'avais mal compris à quoi répondait votre message, je pensais qu'il répondait aux deux question posés initialement ^^
Cordialement
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