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Babacar diop

Invité

Morphisme de groupe

Bonjour
Comment déterminer l' ensemble des morphismes de( Z,+) dans lui même et de Z/nZ dans Z/mZ
Merci

Fred

Administrateur

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Re : Morphisme de groupe

Bonjour,

  A chaque fois, les deux groupes de départ sont des groupes monogènes. Il suffit de connaitre l'image d'un générateur (ici, $1$ pour $\mathbb Z$ et $\bar 1$ pour $\mathbb Z/n\mathbb Z$) pour connaitre totalement le morphisme. Note donc $a$ l'image de ce générateur. Tu as ensuite nécessairement $\phi(k)=k\phi(1)=ka$ ou $\phi(\bar k)=k\phi(\bar 1)=k a$. Il reste à vérifier que $\phi$ définisse un morphisme de groupe, ou à trouver une condition sur $a$ pour que $\phi$ définisse un morphisme de groupe.

F.

Babacar diop

Invité

Re : Morphisme de groupe

Merci M.
L'ordre d'un élément quelconque divise l'ordre du groupe?
Et si par exple 3x=o donc l'ordre de x divise x?

Fred

Administrateur

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Re : Morphisme de groupe

Merci M.
L'ordre d'un élément quelconque divise l'ordre du groupe?

Oui.

Et si par exple 3x=o donc l'ordre de x divise x?

???