Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 180

fonction test

Bonjour
1-si $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^*)$ est ce que il existe $a>0$ tel que $Supp(\varphi) \subset ]-a,a[$?

2- soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^*)$. On pose $<T,\varphi>= \sum_{n=0}^{+\infty} \varphi^{(n)} (\dfrac{1}{n^2+1})$. La question est de voire si $T$ est bien définie. Est-ce que la réponse suivante est correcte:
on remarque que $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^*)$ implique que $\varphi$ est nulle sur le voisinage $I=]-a,a[$. Si $\dfrac{1}{n^2+1} < a$ alors $\varphi^{(n)}(\dfrac{1}{n^2+1}$, et donc il existe $N_{\varphi}$ (qui depend de $a$ et $\varphi$) telle que si $n \geq N_{\varphi}$ alors $\varphi^{(n)}(\dfrac{1}{n^2+1})=0$. Ainsi $<T,\varphi>= \sum_{n=0}^{N_{\varphi}} \varphi^{(n)} (\dfrac{1}{n^2+1})$.

Bien cordialement

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 565

Re : fonction test

Bonsoir ccapucine,

$\bullet$ La réponse à la première question est oui, mais je ne pense pas que c'est ce que tu veux réellement quand on voit la suite. Tu voulais sans doute dire :
$$\varphi \in \mathcal D(\mathbb R^\star) \quad \Longrightarrow \quad \exists a>0 ~;~ \mathrm{Supp} (\varphi) \subset ]-\infty,-a]\cup[a,+\infty[.$$
Autrement dit, si $\varphi$ est à support compact dans $\mathbb R^\star$ alors $\varphi$ sera nulle sur un voisinage de $0$.

$\bullet$ Pour la seconde question, ton idée est la bonne : étant donnée une fonction $\varphi \in \mathcal D(\mathbb R^\star)$ la somme que tu veux étudier sera en fait une somme finie.

Roro.