Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#1 29-06-2019 01:57:49
- samad
- Membre
- Inscription : 29-06-2019
- Messages : 1
Produit infini
Salut et bonne journée à tous,
je cherche la solution de cette question:
Montrer que:
$$
\prod_{n=2}^{+\infty }e\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)^{n^2} = \dfrac{\pi}{e\sqrt{e}}
$$
Merci.
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#2 30-06-2019 22:02:28
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 552
Re : Produit infini
Bonsoir samad,
La question en me semble pas facile. J'ai peut être loupé une astuce...
Une piste si personne n'a plus simple (je ne sais même pas si ça peut aboutir car je n'ai pas eu le courage de faire les calculs) :
1/ passer au logarithme pour transformer le produit en somme
2/ réussir à faire apparaitre une série télescopique (dont les termes successifs s'annulent deux à deux) - c'est là que je n'ai sans doute plus d'idées :
2a/ utiliser le développement
$$\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2} + \int_1^{1+x} \frac{(x+1-t)^2}{t^3} \, \mathrm dt$$
2b/ réécrire la somme avec ces intégrales
2c/ calculer ces intégrales (en espérant ne pas avoir tourné en rond...
Roro.
Dernière modification par Roro (30-06-2019 22:03:28)
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