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#1 29-06-2019 01:57:49

samad
Membre
Inscription : 29-06-2019
Messages : 1

Produit infini

Salut et bonne journée à tous,

je cherche la solution de cette question:
Montrer que:


$$
\prod_{n=2}^{+\infty }e\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)^{n^2} = \dfrac{\pi}{e\sqrt{e}}
$$
 

Merci.

Hors ligne

#2 30-06-2019 22:02:28

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : Produit infini

Bonsoir samad,

La question en me semble pas facile. J'ai peut être loupé une astuce...

Une piste si personne n'a plus simple (je ne sais même pas si ça peut aboutir car je n'ai pas eu le courage de faire les calculs) :

1/ passer au logarithme pour transformer le produit en somme

2/ réussir à faire apparaitre une série télescopique (dont les termes successifs s'annulent deux à deux) - c'est là que je n'ai sans doute plus d'idées :

2a/ utiliser le développement
$$\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2} + \int_1^{1+x} \frac{(x+1-t)^2}{t^3} \, \mathrm dt$$

2b/ réécrire la somme avec ces intégrales

2c/ calculer ces intégrales (en espérant ne pas avoir tourné en rond...

Roro.

Dernière modification par Roro (30-06-2019 22:03:28)

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