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#1 28-06-2019 09:40:47

Axel G.
Invité

Trace et série

Bonjour !

Je viens de complètement rater mon épreuve de maths de mines Pont et je n'ai pas réussi à trouver de corrigés, je ne vois pas comment faire et j'aimerai bien un corrigé de mon exercice ! Merci d'avance :)

Exercice
Soit $ A $ une matrice de $M(\C)$.
Quelle est le rayon de convergence et la somme de :
$ \sum_{n=0}^{\infty} tr(A^n)*z^n $
J'ai réussi si on suppose A diagonalisable et pour A uniquement trigonalisable...
Je ne vois pas !
Merci beaucoup :)
Bonne journée,
Axel G.

#2 28-06-2019 16:21:39

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Trace et série

Bonjour,

  Quelle est la différence de raisonnement si tu supposes uniquement $A$ trigonalisable? Tu peux exprimer $tr(A^n)$ en fonction des valeurs propres de $A$ exactement de la même façon, non? Le seul point qui change, c'est qu'il faut tenir compte de l'ordre de multiplicité des valeurs propres de $A$ comme racine du polynôme caractéristique.

F.

Hors ligne

#3 04-07-2019 20:07:54

Axel G.
Invité

Re : Trace et série

Rebonsoir,
Pardon du décalage temporel, les oraux sont prenants même si pas forcément agréable !
Ah ! Effectivement ! C'est bien ce qui me semblait ! Je pensais que le résultat était à peu près le même et mon examinateur ne semblait pas dire de même mais ce que vous proposez me parait etre la bonne solution !
Si je comprends bien, pour le rayon de convergence on n'aura non pas : $R = \frac{1}{max(\lambda i)}$ avec $\lambda i$ les valeurs propres mais $R = \frac{1}{max((\lambda i)^{\alpha i}) }$ avec $\alpha i$ l'ordre de multiplicité de la valeur propre associée.
C'est bien cela ? Merci beaucoup,
Bonne soirée!
Axel G.

#4 04-07-2019 20:09:53

Axel G.
Invité

Re : Trace et série

Pardon du double post,
Le rayon de convergence correspond au maximum des valeurs absolues, on ne définit pas un rayon de convergence complexe.
Merci !

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