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#1 31-05-2019 18:18:32
- Vanille
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Paradoxe de Saint-Pétersbourg
Bonjour,
Le paradoxe de Saint-Petersbourg consiste à déterminer quelle somme d'argent un homme est prêt à dépenser pour un jeu d'argent.
Dans un premier temps, les théoriciens ont pensé que la solution était de calculer l'espérance du gain, mais ça ne collait pas.
Bernouilli montra qu'il ne fallait pas calculer l'espérance du gain, mais l'espérance de l'utilité de gain, l'utilité marginale du gain étant décroissante.
Ce que je n'ai pas compris c'est la fin de la résolution de ce paradoxe.
En effet une fois qu'on a trouvé E[U(G)], espérance de l'utilité du gain pour le jeu considéré, il semble qu'il faut déterminer G pour répondre à la question "quelle somme d'argent un homme est prêt à dépenser pour un jeu d'argent".
Cette réponse est contre intuitive pour moi, car j'aurais pensé qu'il serait prêt à payer E[U(G)] pour ce jeu et non G ..
Pourriez-vous m'expliquer pourquoi c'est G ?
Merci pour votre attention.
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#2 31-05-2019 18:24:24
- Vanille
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#3 01-06-2019 08:57:06
- freddy
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Re : Paradoxe de Saint-Pétersbourg
Salut,
ben, c'est la valeur du jeu qui procure l'utilité espérée maximale. Et donc c'est la "valeur" de ce jeu pour un individu rationnel qui est, comme on dit, adverse au risque, c'est à dire qu'il a peur de miser de plus en plus car il a de plus en plus peur de tout perdre. Ça semble humain et ça résout ce fameux paradoxe qui continue à donner matière à réflexion et qui est à la racine de bien des théories économiques.
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#4 01-06-2019 12:56:08
- Vanille
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Re : Paradoxe de Saint-Pétersbourg
Bonjour.
Oui ça j'ai dit que je l'avais compris, mais je comprends pas pourquoi la somme que le joueur est prêt à mettre est G et non E[U(G)], (fin du document) ce qui m'aurait paru plus logique. En effet il peut pas payer G pour le jeu puisque G c'est le gain et qu'il ne le connaît pas en avance d'une part et d'autre part, ça ne lui servirait à rien de jouer si il devait payer ce qu'il allait gagner.
Dernière modification par Vanille (01-06-2019 13:58:12)
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#5 01-06-2019 20:55:13
- freddy
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Re : Paradoxe de Saint-Pétersbourg
Re,
non, G n'est pas le gain mais la mise initiale dont la "valeur" est équivalente à celle du jeu.
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#6 01-06-2019 21:50:06
- Vanille
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Re : Paradoxe de Saint-Pétersbourg
Non G c'est bien le gain, et la valeur du jeu c'est ce qu'on recherche justement, c'est la problématique, et je ne comprends pas pourquoi à la fin il dit que justement la valeur du jeu devrait être à la valeur du gain, alors que ça devrait être égal à la valeur de l'espérance de l'utilité du gain..
Dernière modification par Vanille (02-06-2019 05:40:55)
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#7 02-06-2019 08:53:55
- freddy
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Re : Paradoxe de Saint-Pétersbourg
Salut,
non, on cherche un équivalent certain au jeu, cet équivalent est la mise initiale et unique $G$ que le joueur est prêt à jouer pour avoir le droit de gagner 2, ou 4, ou, 8, ou ... $2^k$, ou ... selon le schéma aléatoire décrit.
On cherche donc G tel que U$(G)=Log(G)=\sum_k Prob(2^k)Log(2^k)$. Cette utilité est mesurée tant pour les gains que pour la mise initiale, c'est la base de la théorie de la décision.
C'est ce qu'on appelle la valeur subjective du "jeu". Au cas d'espèce, elle n'est pas très élevée, mais ça dépend de la fonction d'utilité U. Prends autre chose que le $Log$, en respectant la concavité, et tu auras un autre résultat, sans changer pour autant la conclusion. A l'origine, il fallait résoudre une contradiction : un gain espéré infini (en théorie !) et pourtant, on n'était pas prêt à miser un gros montant ! Cela étant, si tu joues quelques fois de manière consécutive à ce jeu, observe le résultat, c'est rapidement décevant :-)
Je reconnais qu'il y a une petite confusion dans le texte, et je reconnais que ton interrogation est légitime.
Dernière modification par freddy (02-06-2019 11:05:07)
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#8 06-06-2019 11:56:55
- Vanille
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Re : Paradoxe de Saint-Pétersbourg
D'accord, merci beaucoup :)
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