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#1 31-05-2019 14:51:50

Ken
Invité

Equatiuon différentielle

Bonjour, je bloque sur la résolution de l'équation différentielle suivante: $yy''-(y')^2=-\alpha^2y^2$ où $\alpha>0$.

S'il vous plait, pouvez-vous me guider ou me donner une piste pour la résoudre?

Merci.

#2 31-05-2019 19:08:49

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 279

Re : Equatiuon différentielle

Bonsoir,
...Apparente complexité mais il se pourrait bien qu il y ait une différentielle bien dissimulée d'allure bien sympatique dans cette histoire...
Cette équation invite à diviser chaque membre de ton égalité par [tex]y^2[/tex] ...

Dernière modification par Zebulor (01-06-2019 05:04:39)

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#3 01-06-2019 05:25:16

JJ
Membre
Inscription : 04-06-2007
Messages : 96

Re : Equatiuon différentielle

Change de fonction : y(x)=exp(f(x)) et tout devient simple.

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#4 01-06-2019 09:41:51

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 279

Re : Equatiuon différentielle

Re,
Je précise et remplace le "il se pourrait bien qu il y ait.." par "il y a" !! :-)

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#5 05-06-2019 16:26:08

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 100

Re : Equatiuon différentielle

Bonjour,

Avec les précautions d'usage :

y.y'' - (y')^2 = -a^2.y^2

Solution triviale : y = fonction nulle.
---
Si y est différent de 0 : y''/y - (y'/y)^2 = -a^2  (1)

Poser y'/y = u

on dérive par rapport à x -->  (y''.y  - y'²)/y² = u'

y''/y - (y'/y)^2 = u'  (2)

(1) et (2) -->  u' = -a²

on intègre et on trouve u = ...

et avec u = y'/y, on a donc y'/y = ...

On intègre, et sauf erreur, on arrive à :  : ln|K.y| = -a².x^2/2 + C1*x

--> y = C2 * e^(-a².x^2/2 + C1*x)

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#6 03-07-2019 11:40:58

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 279

Re : Equatiuon différentielle

Ken a écrit :

Bonjour, je bloque sur la résolution de l'équation différentielle E suivante: $yy''-(y')^2=-\alpha^2y^2$ où $\alpha>0$.

Bonjour,
brièvement, au risque de reprendre ce qui a déjà été écrit, mais pour aller à l'essentiel :
E équivaut à : [tex]d\left( \frac{y'}{y} \right)=-\alpha^2[/tex], qu'on intègre..

Dernière modification par Zebulor (03-07-2019 11:47:55)

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