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#1 29-05-2019 17:38:31

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 86

Matrice fondamentale

Bonjour
j'ai le problème suivant: on considère le système
$$
\begin{cases}
y_1' = 3y_1 - y_2\\
y_2' = 4 y_1 -y_2\\
y_1(0)=1, y_2(0)=0
\end{cases}
$$
on peut l'écrire sus la forme du système $Y'=AY$ où
$
A=
\begin{pmatrix}
3 &-1\\
4 &-1
\end{pmatrix}
$
et je souhaite à résoudre ce problème. On commence par calculer les valeurs propres de la matrice $A$ est on trouve une seule d'ordre $2$: $\lambda =1$. Le vecteur associé est
$
v_1=
\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}
$.
Pour trouver une matrice fondamentale, il faut chercher un vecteur propre linéairement indépendant de $v_1$. Est-ce que ce qui suit est correct?
Chercher un vecteur $v_2$ indépendant de $v_1$ veut dire qu'il satisfait l'équation $(A-I)v_2=v_1$ ce qui implique que
$
v_2=
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}
$
Donc une matrice fondamentale est
$$
\Phi(x)
=[e^{\lambda x} v_1, e^{\lambda x} (xv_1-v_2)]
$$
Est-ce que cette méthode est correcte?

Bien cordialement

Hors ligne

#2 02-06-2019 08:33:31

D_john
Invité

Re : Matrice fondamentale

Bonjour,

... la méthode, je ne sais pas, mais la solution (sauf erreur) ça doit être (par Laplace) :

[tex] s.Y(s) - \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right] = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}Y(s) [/tex]

[tex] \begin{bmatrix} s-3 & 1 \\ -4 & s+1 \end{bmatrix}Y(s)
= \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right] [/tex]

[tex] Y(s) = \frac{1}{\left( s-1 \right)^{2}} . \begin{bmatrix} s+1 & -1 \\ 4 & s-3 \end{bmatrix}
\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right] [/tex]

[tex] Y(s) = \frac{1}{\left( s-1 \right)^{2}} . \left[\begin{array}{c} s+1 \\ 4 \end{array} \right] [/tex]

[tex] \left[ \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} (1+2x)e^{x} \\ 4xe^{x} \end{array} \right] [/tex]
A toi de voir si tu retrouves ta matrice fondamentale dans ce résultat.

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