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#1 27-05-2019 07:38:57

JLF
Membre
Inscription : 27-05-2019
Messages : 4

Intégrale curviligne

Bonjour,
Merci de votre aide pour calculer l'intégrale curviligne de ln(x) entre [3;8]
je suis parti de
∱f(x)dl = ∫f(x) (1+f '(x))½ dx = ∫ lnx . (1+1/x)½ dx
1) est ce la bonne voix ?
2° si oui comment solutionne t-on l'intégrale ?
Cdt
JL

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#2 27-05-2019 16:57:16

gielev
Membre
Inscription : 08-03-2007
Messages : 335

Re : Intégrale curviligne

ça me parait un peu compliqué.
Tu peux faire plus simple avec un intégration par partie en considérant que ton intégrale de ln(x) est le produit de la fonction ln(x) et de la dérivée valant 1 d'une autre fonction.
Je te laisse faire les développements.
La réponse que tu dois trouver est x ln(x) - x.

gielev (aka ike :))))))

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#3 27-05-2019 19:11:44

JLF
Membre
Inscription : 27-05-2019
Messages : 4

Re : Intégrale curviligne

Bonjour,
je suis en phase pour le calcul de l'intégrale "classique" qui représente l'aire sous le courbe.
∫ ln(x) dx = xlnx -x

Je cherche la solution de l'intégrale curviligne qui représente la longueur de l'arc de la courbe entre a et b pour la fonction Ln:
∱(curviligne) ln(x) dl   avec dl l'élément différentiel qui en fonction de dx  est égal = (dy² +dx² )½ = (1/x² + 1)½
d'ou pour revenir à une intégration classique
∱(curviligne) ln(x) dl   = ∫ ln(x) (1/x² + 1)½ dx
je ne sais pas si cette méthode est juste pour calculer l'intégrale curviligne.

Si oui, pour l'intégrer,
    1) par partie: pas arrivé
    2) en faisant un changement de variable x=cosθ
         I= ∫ ln(cosθ) (1/cos²θ + 1)½ (-sinθ) dθ = -∫ ln(cosθ)tgθ sinθdθ
        on peut identifier tgθ comme dérivée de ln(cosθ) et on a une forme u'.u
        mais en intégrant par partie ou autre= pas arrivé (d'autre part pas vérifié qu'il peut y avoir un pb de valeur ou tgθ pas défini...)

merci de votre aide
Cdt
JL

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#4 27-05-2019 20:19:40

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 712

Re : Intégrale curviligne

Bonsoir,

Dans ta question, il manque une information : si tu parles d'intégrale curviligne, tu dois parler d'intégrer une fonction (disons $f$) le long d'une courbe (disons $\Gamma$). Ici, quelle est la fonction que tu veux intégrer, et sur quelle courbe ?

Par exemple, si ta courbe est paramètrée par une fonction $\varphi:[a,b]\to\mathbb R^2$, et que $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$ alors
$$\int_\Gamma f = \int_a^b f(\varphi(t)) \|\varphi'(t)\| dt.$$

Roro.

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#5 27-05-2019 21:36:54

JLF
Membre
Inscription : 27-05-2019
Messages : 4

Re : Intégrale curviligne

Bonjour
en fait, je cherche à calculer la longueur de l'arc de courbe d'équation y=ln(x) entre 2 valeurs (a,b).
je suis parti pour avoir cette longueur de l'arc avect
∱(curviligne) ln(x) dl 
ln(x) fonction log
dl élément différentiel le long de la courbe

Peut être pas le bon départ ?
Cdt
JLF

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#6 28-05-2019 05:53:21

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 712

Re : Intégrale curviligne

Bonjour,

Pour calculer cette longueur, il suffit de prendre $f=1$, et $\varphi:t\in [3,8] \mapsto (t,\ln t) \in \mathbb R^2$ dans la formule que j'ai indiquée :

$$L = \int_3^8 \sqrt{1+\frac{1}{t^2}}\; dt.$$

Ensuite, il faut calculer cette intégrale !

Roro.

Dernière modification par Roro (28-05-2019 05:53:59)

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#7 28-05-2019 08:00:09

JLF
Membre
Inscription : 27-05-2019
Messages : 4

Re : Intégrale curviligne

Bonjour
Ok merci !
JLF

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#8 29-05-2019 10:03:17

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 280

Re : Intégrale curviligne

Bonjour,
@JLF : on peut aussi le voir comme suit :
la distance infinitésimale [tex]dl[/tex] parcourue sur la courbe y=f(x) est [tex]dl=\sqrt {dx^2+dy^2}[/tex], telle que [tex]dy=dx/x[/tex] de façon à obtenir une expression [tex]dl[/tex] fonction de [tex]x[/tex] qu'on intégre pour [tex]x[/tex] variant de 3 à 8 : on retrouve l'intégrale de Roro dans son dernier post. La variable muette est alors [tex]x[/tex]

Dernière modification par Zebulor (29-05-2019 15:17:54)

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