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#1 26-05-2019 09:21:15
- yannick4H
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- Messages : 2
Proba Somme de variables aléatoires indicée par une variable aléatoire
Bonjour,
Je bute sur l'exercice suivant :
On considère une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes [tex]N,X_{1},\,…,\,X_{n},\,…[/tex] définies sur le même espace probabilisé [tex](\varOmega,\mathcal{A},P)[/tex].
Soit [tex]X[/tex] une variable aléatoire réelle à valeurs dans [tex]\mathbb{N}[/tex] possédant un moment d'ordre 2.
On suppose que [tex]N[/tex] est une variable aléatoire réelle à valeurs dans [tex]\mathbb{N}^{*}[/tex] possédant un moment d'ordre 2 et que les variables aléatoires [tex]X_{i}[/tex], pour [tex]i\in\mathbb{N}^{*}[/tex], suivent la même loi que [tex]X[/tex].
On note [tex]Y[/tex] la variable aléatoire définie par [tex]Y=\sum_{i=1}^{N}X_{i}[/tex], c'est-à-dire :
[tex]\forall\omega\in\varOmega,\,Y(\omega)=\sum_{i=1}^{N(\omega)}X_{i}(\omega)[/tex]
Déterminer [tex]E(Y)[/tex] en fonction de [tex]E(X)[/tex] et de [tex]E(N)[/tex].
Je pressens dans mes calculs qu'on devrait obtenir quelque chose de la forme [tex]E(Y) = E(N)E(X)[/tex] mais je me perds à chaque fois entre familles sommables et somme indicée par une variable aléatoire, si vous avez des conseils je suis preneur.
Merci beaucoup.
Dernière modification par yannick4H (26-05-2019 11:39:09)
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#2 26-05-2019 21:13:49
- Fred
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- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Proba Somme de variables aléatoires indicée par une variable aléatoire
Bonjour,
Tu as raison!
Voici comment je m'y prendrai : j'écrirai que $(N=k)_{k=1}^{+\infty}$ est une système complet d'événements, et donc que
$$P(Y=n)=\sum_{k=1}^{+\infty}P_{(N=k)}(Y=n)P(N=k)=\sum_{k=1}^{+\infty}P(X_1+\cdots+X_k=n)P(N=k).$$
En prenant l'espérance,
$$E(Y)=\sum_{n=0}^{+\infty} n \sum_{k=1}^{+\infty}P(X_1+\cdots+X_k=n)P(N=k).$$
Une permutation des deux sommes devrait te donner le résultat!
F.
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#3 27-05-2019 20:47:34
- yannick4H
- Membre
- Inscription : 26-05-2019
- Messages : 2
Re : Proba Somme de variables aléatoires indicée par une variable aléatoire
Une permutation des deux sommes devrait te donner le résultat!
F.
Bonjour,
Merci beaucoup effectivement cela a fonctionné comme sur des roulettes !
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