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#1 17-05-2019 14:45:19

yannD
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Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Bonjour Yoshi,

Pour ne pas mélanger deux sujets en même temps et aussi pour pouvoir bien suivre la discussion Géométrie seconde Translations et Vecteurs, j'ai ouvert ce nouveau sujet avec les questions de l'exercice que tu m'as proposé :

On considère un triangle ABC quelconque et ∆1 et ∆2 les médiatrices respectives des côtés [AB] et [AC].
Elles se coupent en O.
Montre-moi que la médiatrice ∆ de [BC] passe aussi par le point O.

mini_19051508135594787.png

à partir de la figure, je propose de construire un parallélogramme pour montrer que O est sur la médiatrice

Donc je vais le construire avec la méthode de construction via les diagonales

1. je place le point N tel que O soit le milieu de [MN]
mini_190517042406859342.png
2. Puis je vais appeler P le milieu de [BC]
mini_190517042530422625.png
3. et je vais placer le point R tel que O soit le milieu de la diagonale [PR]
mini_190517043112838004.png
Après avoir tracer les segments [MP], [PN], [RN] et [MN ]
J'obtiens un parallélogramme de diagonales [MN] et [PR]
puisque, O est le milieu de la diagonale [MN] et de la diagonale [PR],
et le point O est bien sur la médiatrice

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#2 17-05-2019 17:43:45

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Re,


J'obtiens un parallélogramme de diagonales [MN] et [PR]
puisque, O est le milieu de la diagonale [MN] et de la diagonale [PR],
et le point O est bien sur la médiatrice

Désolé, ça ne vaut pas un pet de lapin...
Tu n'as rien prouvé du tout  tu fais une fixation sur les parallélogrammes ou quoi ?
La médiatrice de [BC] passe par le milieu du segment [BC] donc ici, P.... ok !
Où as-tu prouvé que $(PR) \perp (BC)$ ? Nulle part !

Je t'ai demandé de montrer que O est sur la médiatrice $(\Delta)$ de [BC]. Rien d'autre...
Il faut utiliser la propriété de tout point d'une médiatrice, puis sa réciproque
$(\Delta_1)$ est la médiatrice de [AB]. O est sur $(\Delta_1)$. Que peux-tu dire des longueurs OA et OB (et justifie)
$(\Delta_)$ est la médiatrice de [AB]. O est sur $(\Delta_2)$. Que peux-tu dire des longueurs OA et OC (et justifie)
Que peux-tu en déduire alors pour OB et OC ?
En déduire que O est aussi sur sur $(\Delta)$...

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#3 19-05-2019 14:24:10

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Salut Yoshi,

• Les hypothèses nous apprennent que ∆ est la médiatrice de [AB]
et que ∆2 est la médiatrice de [AC]
• Les hypothèses nous apprennent aussi qu'elles se coupent en  O
  Donc OA = OB et OA = OC
Considérons le triangle ABC, les distances OA OB et OC sont égales
et en particulier les distances OB =  OC
Puisque le point O est équidistant des extrémités du segment [BC] alors le point O est sur la médiatrice de ce segment.

Dernière modification par yannD (19-05-2019 14:24:41)

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#4 19-05-2019 14:47:02

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Re,

Tu vois, c'était simple et court...

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#5 19-05-2019 14:49:26

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Oui

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#6 19-05-2019 14:56:50

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

j'avais plus court encore

O est le milieu des médiatrices de AB et de AC
puisque O est le milieu des médiatrices de AB et de AC alors OA = OB = OC
comme OB = OC alors le point O est bien sur la médiatrice du segment [BC]

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#7 20-05-2019 13:25:27

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Bonjour Yoshi,
Pour la construction de la parallèle (D) à (BC),
1. J'ai prolongé la médiatrice de [BC] que j'ai tracé pour la 1ère partie de l'exercice.
2. J'ai placé l'équerre contre la médiatrice et face au point A
Comme ceci :
190520032632402280.png

Dernière modification par yannD (20-05-2019 13:26:45)

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#8 20-05-2019 15:00:33

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

RE,

j'avais plus court encore

Non.

O est le milieu des médiatrices de AB et de AC

   
Une médiatrice est une droite, une droite est par défiintion infinie.  Elle ne peut donc pas avoir de milieu

puisque O est le milieu des médiatrices de AB et de AC alors OA = OB = OC

Aucune règle concernant les médiatrices, ne te donne d'égalité  de 3 longueurs.
Le théorème dit :
Tout point appartenant à la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
Tu ne peux pas tout mettre dans un petit sac, secouer et jeter à ça à la figure du correcteur en disant en gros : << Tiens, c'est toi qui corrige, dm...de-toi avec ça. >>
Ce que tu fais revient pourtant à ça.
On fait une chose à la fois...

Il y a une règle que tu appliques à deux segments différents l'un après l'autre...
Tu devais dire :
Par hypothèse, $(\Delta_1)$ est la médiatrice du côté $[AB]$ et O est un point de cette médiatrice, donc OA = OB
On montrerait de même, en utilisant le fait que O est un point de la médiatrice $(\Delta_2)$ de [AC] que OA = Oc
Puisque OA = OB et OA = OC alors OA = OB = OC (la propriété utilisée n'est plus liée auxs médiatrices).
Et en particulier OB = OC (cette propriété non plus)
Puisque O est équidistant des extrémités B et C du segment [BC], alors O est un point  de la médiatrice $(\Delta)$ de [BC].
Les 3  médiatrices des côté d'un triangle se coupent donc en un même point.


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#9 20-05-2019 15:21:59

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Salut Yoshi,
Je crois qu'hier je n'ai pas bien relu ce que j'avais en tête, je mettre "est placé" à la place de et le milieu
O est le milieu des médiatrices de AB et de AC
puisque O est le milieu des médiatrices de AB et de AC alors OA = OB = OC
comme OB = OC alors le point O est bien sur la médiatrice du segment [BC]

O est placé sur les médiatrices des segments [AB] et [AC]
puisque O est placé sur ces médiatrices alors OA = OB = OC
Et comme OB = OC alors le point O est aussi sur la médiatrice du segment [BC]

Dernière modification par yannD (20-05-2019 15:23:52)

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#10 20-05-2019 17:24:55

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Re,


O est placé sur les médiatrices des segments [AB] et [AC]
puisque O est placé sur ces médiatrices alors OA = OB = OC
Et comme OB = OC alors le point O est aussi sur la médiatrice du segment [BC]

Non.
Mes remarques restent valides.

puisque O est le milieu des médiatrices de AB et de AC alors OA = OB = OC

Aucune règle concernant les médiatrices, ne te donne d'égalité  de 3 longueurs.
Le théorème dit :
Tout point appartenant à la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
Tu ne peux pas tout mettre dans un petit sac, secouer et jeter à ça à la figure du correcteur en disant en gros : << Tiens, c'est toi qui corrige, dm...de-toi avec ça. >>
Ce que tu fais revient pourtant à ça.
On fait une chose à la fois...

Il y a une règle que tu appliques à deux segments différents l'un après l'autre...
Tu devais dire :
Par hypothèse, $(\Delta_1)$ est la médiatrice du côté $[AB]$ et O est un point de cette médiatrice, donc OA = OB
On montrerait de même, en utilisant le fait que O est un point de la médiatrice $(\Delta_2)$ de [AC] que OA = Oc
Puisque OA = OB et OA = OC alors OA = OB = OC (la propriété utilisée n'est plus liée auxs médiatrices).
Et en particulier OB = OC (cette propriété non plus)
Puisque O est équidistant des extrémités B et C du segment [BC], alors O est un point  de la médiatrice $(\Delta)$ de [BC].
Les 3  médiatrices des côté d'un triangle se coupent donc en un même point.




Ta construction.
Sauf demande expresse figurant dans l'énoncé, tu n'explique jamais comment tu construis quelque chose : tu le fais, point barre...
Si tu commences comme ça où vas-tu t'arrêter ?
Tu vas expliquer pourquoi cette construction permet de tracer la parallèle à une droite passant par un point pris hors de cette droite ?
Tu vas expliquer comment tu traces un triangle isocèle ou équilatéral ? un losange ? Le centre du cercle inscrit dans un triangle.
Mais si tu aimes ça, alors quand on en aura fin, alors je te donnerai un exo (ça vient de me revenir) d'un de mes DM où,il fallait justifier la construction d'un triangle rectangle précis en n'utilisant que les seuls éléments chiffrés de l'énoncé (aucun calcul accepté).

Techniquement,
1. Ton équerre aurait dû être placée de l'autre côté de la règle : là où elle est placée elle est gêne le passage du ceayon
2. Inutile d'utiliser la médiatrice. Equerre et règles transparentes requises.
    a) On place le grand côté de l'angle droit de l''équerre le long de la droite (BC), de l'autre côté de [BC] par rapport à A.
    b) Tu la maintiens fermement et tu plaques la règle le long de de l'autre côté de l'ange droit de l'équerre.
    c)  Tu maintiens alors ferment la règle et tu fais coulisser l'équerre le long de la règle jusqu'à ce que le point A soit sur le grand côté de  l'angle droit de l'équerre : tu prends crayon et stylo et tu traces...
N-B : Cette méthode garantit le parallélisme, même si l'angle droit de l'équerre n'est pas vraiment droit.

Voir https://mathsenligne.net/telechargement … g1_fc1.pdf
Attention ! Le point 2. (tracer une perpendiculaire) est une horreur : 98 fois sur 100 une équerre est fausse. Une équerre juste, ça se trouve (se trouvait), mais pas dans un grand magasin et ça vaut pas (valait pas ?) trois fois rien : c'est (c'était ?) cher...
La vraie méthode est de commencer comme le 1. ci-dessous, puis on repart de R et S et on trace un arc de cercle e centre R et de centre S, de l'autre côté de (RS) par rapport à A qui se coupent en T : ARTS est un losange, ses diagonales sont donc perpendiculaires : $(AT) \perp (RS)$. En fait, on a a pris AR=AS et construit T tel que TR=TS : (AT) est médiatrice de  [RS]


Plus rapide est de prendre son compas et prolonger (BC) de part et d'autre. donc $\perp (BC)$
1. De A on, prend une ouverture de compas quelconque (mais suffisamment grande) pour recouper la droite (D) en 1 point R et on trace un autre arc de cercle à l’œil en face de A, à peu près au même niveau.
2. Depuis le point R, on reporte sur (D) une longueur égale : RS=RA.
3  Depuis le point S on trace un arc de cercle de même rayon qui coupe l'arc de cercle de centre A pour que ARST ou ASRT soit un quadrilatère non croisé.
On a construit un losange, donc un parallélogramme, donc (AT)//(RS)
https://www.youtube.com/watch?v=eARw1o2Dx0A
Là, c'est bien, quoiqu'un peu différent :  l'auteur construit un parallélogramme, moi un losange... J'ai moins de manipulations d'ouverture de compas : je garde la même...
190520072102784442.png
Désolé, je ne suis pas chez moi, jusqu'à mercredi et je n'ai pas accès à un scanner, ni à mes archives...

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#11 22-05-2019 11:25:12

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Bonjour Yoshi, avant de poursuivre les questions de l'exo, il y a juste un truc que je ne comprends pas bien, dans
le lien  : https://mathsenligne.net/telechargement … g1_fc1.pdf que tu m'as donné ouvre sur une  fiche de cours et dans le 1. de celle-ci, il s'agit d'une droite (AB) donc le R et le S ce sont les points A et B ??

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#12 22-05-2019 12:37:30

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Salut,

Le point 1. ne t'intéresse pas, je pense : il explique juste comment tracer une droite (AB) avec une règle... ^_^

Le point 2 explique de façon incorrecte comment tracer une perpendiculaire à une droite (D) ou (BC) si tu as déjà deux points B et C : on ne trace pas de perpendiculaire avec une équerre : c'est un non sens.

La vraie méthode est de commencer comme le 1. ci-dessous

J'ai oublié de modifier cette ligne....
On choisit une ouverture de compas suffisante pour que depuis A en dehors de (D) on puisse recouper (D) en R et S (pn a AR = AS, puis on construit le point T de l'autre côté de la droite par rapport à A, en repartant des points R et S avec la même ouverture de compas (inutile d'en changer) et en traçant deux arcs de cercles qui se recoupent.
Au passage, tu remarqueras que l'ai construit (AT) médiatrice de [RS]...

Le point 3. du lien t'indique comment utiliser règle et équerre pour tracer une parallèle sans utiliser de perpendiculaire...

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#13 22-05-2019 13:38:51

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Ça va pas être facile de m'expliquer, je suis pas bien réveillé…

-> A en dehors de (D)
donc c'est ça :
190522033357654213.png

-> On choisit une ouverture de compas suffisante pour que depuis A en dehors de (D)
Moi, j'ai pris une ouverture de compas qui dépasse la longueur du point A de la droite
190522033625852579.png

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#14 22-05-2019 16:01:36

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

je comprends pas non plus comment on a AR = AS

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#15 22-05-2019 16:33:13

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

RE,

Voilà j'ai une droite (BC) ou (D) comme tu veux et un point A hors de la droite: je prends une ouverture de compas suffisante, c'est à dire supérieure à la distance de A à (BC).
Rappel : la distance de A à la droite (BC) est la longueur du segment de perpendiculaire abaissé de A sur la droite.

Cela fait, pointe du compas en A je trace deux arcs de cercles (en rouge continu ci dessous) sui recoupent la droite en R et S.
J'ai tracé le rayon [AR] et le rayon [AS] (en rouge discontinu) pour montrer que puisque AR = AS alors A est équidistant de R et S, il est donc sur la médiatrice de [RS].
Pointe du compas en R puis en S, je trace deux arcs de cercle (en bleu continu) qui se coupent en T. Comme je n'aime pas me fatiguer j'ai garder la même ouverture de compas, donc le même rayon. J'ai tracé (en bleu discontinu) ces rayons [RT] et [ST]  pour montrer que puisque RT = ST alors T est équidistant de R et S, il est donc sur la médiatrice de [RS].
La médiatrice de [RS] passant par A et T, c'est donc (AT).
La médiatrice de [RS] étant perpendiculaire au milieu de [RS], elle est bien perpendiculaire à (D).
190522060914932057.png
En 6e, on commence par apprendre à savoir tracer la médiatrice d'un segment sans hésitation.
Ce n'est qu'après qu'on trace une droite nue (sans mes points B et C) puis un point A en dehors de la droite et qu'on montre comment se servir du tracé précédent, pour tracer la perpendiculaire passant par A à la droite...

C'est clair ?

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#16 23-05-2019 11:45:43

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Bonjour Yoshi,
Avant de répondre aux questions de l'exercice…
On trace
la parallèle (D) à (BC) passant par A
la parallèle (D1) à (AB) passant par C
la parallèle (D2) à (AC) passant par B
Soient B' le point d'intersection des droites (D) et (D1), C' le point d'intersection des droites (D2) et (D)

-- > Je sais bien que la construction n'est pas demandée mais pour construire (D) parallèle à (BC), si j'utilise la méthode de construction avec le compas, je dois bien prolonger (BC)……??
190523014549559160.png

Dernière modification par yannD (23-05-2019 11:47:31)

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#17 23-05-2019 12:35:49

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Salut Yoshi, Mais pour tracer la droite (D) parallèle à (BC), j'ai quand même besoin de l'équerre  ???

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#18 23-05-2019 13:36:49

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Salut,

Je ne comprends pas ce que tu cherches à faire, ni d'ailleurs pourquoi ces arcs de cercle (je ne suis pas devin !)...
Prends donc ton équerre et ta règle et trace tes parallèles on ne te demande d'être l'égal de Léonard de Vinci mais de faire un dessin crédible...
T'as pas l'impression de te noyer dans un verre d'eau, là ? De perdre un temps fou ?

Pourquoi ai-je l'impression que tu n'as toujours pas compris le tracé avec règle + équerre.
Le revoilà :
190523032544685712.png
Je veux tracer la parallèle à (BC) passant par A à partir de ton dessin.
1. Je plaque le grand côté de l'angle "droit" de l'équerre le long de (BC),
2. Je plaque ma règle le long de l'autre côté,
3. Je maintiens la règle et je fais coulisser l'équerre sur la règle jusqu'à arriver au point A,
4. Je trace une partie de la droite le long du grand côté de l'angle "droit" de l'équerre.

Ici, tu as déjà un dessin bien chargé, n'essaie pas de tracer la parallèle au compas (si c'est bien ça que tu cherches à faire, je ne sais toujours pas), tu risques d'avoir trop de traits parasites, restes-en au tracé règle+équerre...

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#19 23-05-2019 14:21:45

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

J'ai parfaitement compris la méthode avec l'équerre…
Mais comme tu m'as proposé une autre méthode avec le compas, j'ai préféré cette méthode…
Voilà, à partir du point A, j'ai tracé 2 arcs de cercle qui recoupent la droite (BC) en R et en S
et pour cela j'ai dû prolongé (BC).…
puis j'ai tracé un autre point de l'autre coté de (BC) par rapport à A en faisant un arc de cercle de centre R et un autre arc de cercle de centre S
Ainsi j'ai une droite qui est perpendiculaire à (BC)
Et maintenant pour tracer la droite (D) parallèle à (BC) , et bien je voulais savoir si je devais faire le même procédé ou bien prendre une équerre
C'est tout…
Maintenant je passe aux questions de l'exercice…

1. Montrer que les quadrilatères AB'CB et ACA'B sont des parallélogrammes
Puisque (D)//(BC) et (D1)//(AB) alors le quadrilatère AB'CB qui a ses 4 côtés parallèles 2 à 2 est un parallélogramme

Puisque (D2)//(AB) alors ACA'B qui a ses 4 côtés parallèles 2 à 2 est un parallélogramme.

2. En déduire que C est le milieu de [A'B'].
AB'CB parallélogramme
J'en déduis :
(AB')//(CB) et AB' = CB
et aussi (AB)//(B'C) et AB = B'C
ACAB parallélogramme.
J'en déduis :
(AC)//(A'B)et AC = A'B
et aussi (AB)//(CA') et AB = CA'
Puisque AB = B'C et AB = CA' alors B'C = CA' et B' C et A sont alignés dans ce sens alors C est milieu de [B' A']

Pour la suite on admet que A et B sont les milieux des cotes [B'C'] et [A'C']
Soit (CM) la hauteur abaissée de C sur le coté [AB] du triangle ABC et (BN) la hauteur abaissée de B sur le coté [AB]
3. Montrer que la hauteur (BN) du triangle ABC est aussi la médiatrice du coté [A'C'] du triangle A'B'C'.
Par hypothèse, B est le milieu de [A'C']
Puisque (BN) est la hauteur issue de B alors N est un point de la médiatrice de [A'C]
Puisque B et N sont sur la médiatrice de [A'C'] alors (BN) est bien la médiatrice de [A'C'].

Ou encore
B et N sont sur la même  perpendiculaire à [A'C'] qui passe par le milieu de [A'C']
donc (BN) est le nom de la médiatrice de [A'C'].

Dernière modification par yannD (23-05-2019 17:15:27)

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#20 24-05-2019 09:02:04

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

RE,

Question 2.
C'est bien de faire du zèle, mais il est inutile de citer toutes les propriétés ! les 2 côtés de même longueur qui t'intéressait était suffidsan.
Ça, c'est un détail...

Question 3.

Puisque (BN) est la hauteur issue de B alors N est un point de la médiatrice de [A'C]
Puisque B et N sont sur la médiatrice de [A'C'] alors (BN) est bien la médiatrice de [A'C'].

Il te manques deux étapes (le "ou encore" est un peu mieux)  :
1. Exploiter la notion de hauteur --> perpendiculaire
2. Rappeler que tu viens de montrer que cette perpendiculaire  passe par le milieu B du côté du côté [A'C']
Alors seulement, tu peux conclure que (BN) est la médiatrice de [A'C']

(Pöurquoi ? Parce que la définition de la médiatrice d'un segment, contient les deux mots-clés que j'ai écrits en rouge : ainsi, tu montres que tu t'appuies sur ladite définition)

Tu as alors montré que (BN) est la médiatrice de [A'C'], et tu rappelles que (CM) est celle de [A'B'].
Et maintenant, tu as deux médiatrices qui se coupent en H...

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#21 24-05-2019 13:20:42

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Salut Yoshi
Par hypothèse :  (BN) est la hauteur issue de B sur le côté [AC] du triangle ABC.
  Donc :
          j'en déduis que (BN) est perpendiculaire à [AC]

Mais ça ne me dit pas que (BN) est perpendiculaire à [A'C']

Faut-il rappeler que (A'C')//(AC) ????

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#22 24-05-2019 14:13:31

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Re,

Oui, bien sûr ainsi tu fais clairement référence au théorème :
Si deux droites sont perpendiculaires, toute parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre.
(qu'on peut dire aussi comme ça : si deux droites sont  parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Tout dépend si tu commences par citer les parallèles ou les perpendiculaires).

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#23 24-05-2019 14:22:36

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Par hypothèse (D2)//(AC)
A' et C' sont deux points de la droite (D2)
donc on peut appeler (A'C')  la droite (D2)
 
Par hypothèse, (BN) est la hauteur sur le coté [AC]
donc (BN) est perpendiculaire à [AC]

Puisque (AC) //(A'C') alors (BN) est aussi perpendiculaire à [A'C']

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#24 25-05-2019 08:49:20

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Bonjour,

Puisque (AC) //(A'C') alors (BN) est aussi perpendiculaire à [A'C']

Oui, et comme par démonstration B est le milieu de [A'C'], alors...

@+


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#25 28-05-2019 12:09:25

yannD
Membre
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Messages : 692

Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Bonjour Yoshi,
Pour la 4) où il faut montrer que (AH) est la médiatrice du  côté [B'C'] j'ai besoin de montrer que H est un point de cette médiatrice.
donc de montrer que les longueurs B'H et C'H sont égales.
L'énoncé dit les hauteurs (CM)  et (BN) se coupent en H…
J'ai démontré que (CM) est la médiatrice de [A'C'] et j'aimerais savoir si je dois faire une phrase pour montrer que H est bien sur la médiatrice

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