Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 02-05-2019 19:15:40

Intégraal
Invité

expressions de suites encadrant intégrale de a à b de f(x) dx

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre un passage de mon cours sur les intégrales donc je m'oriente ici en espérant avancé dans ma compréhension.
Pour formuler mon problème je vais m'inspirer de mon cours et tenter une rédaction, veuillez pardonner les approximations:

Soit un domaine [tex]E_{a,b}[/tex] limité par la représentation graphique de [tex]f[/tex], l'axe des abscisses et les droites d'équations [tex]x=a[/tex] et [tex]x=b[/tex]
On partage [tex][a;b][/tex] en [tex]n[/tex] intervalles de longueur [tex]\frac{b-a}{n}[/tex]
grap1
Dans mon cours sur les intégrales on dit pouvoir donner un encadrement de [tex]\int_a^{b}\,f(x)\,dx [/tex] avec deux suites  [tex] U_n[/tex] et  [tex]V_n[/tex] telles que:
[tex]u_n=\frac{a^3}{n^3}\sum\limits_{k=1}^{n-1}k^2[/tex]
et
[tex]v_n=\frac{a^3}{n^3}\sum\limits_{k=1}^{n}k^2[/tex]

[tex]u_n<\int_a^{b}\,f(x)\,dx<v_n[/tex]

ce que j'ai pu démontrer sans problème par le calcul. [tex] U_n[/tex] représentant la sommes des aires des rectangles sous la courbe de [tex]f[/tex] de [tex]a[/tex] à [tex]b[/tex] et [tex]V_n[/tex] celle des rectangles contenant [tex]E_{a,b}[/tex] en traduisant succinctement et salement.

Jusque là, tout va bien.

Plus tard je retrouve une nouvelle expression de [tex] U_n[/tex] et  [tex]V_n[/tex]
[tex]u_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1} (h\times\,f(a+kh))[/tex]
ce que je traduis en français par "le terme [tex] U_n[/tex] est égale à la somme des aires des [tex]n[/tex] rectangles sous la courbe de largeur [tex]\frac{b-a}{n}\,=\,h[/tex] et de longueur [tex]f(a+kh)[/tex] de [tex] k[/tex] égale 0 jusqu'à [tex]n-1[/tex] et

[tex]v_n=\sum\limits_{k=0}^{n} (h\times\,f(a+kh))[/tex]
qui suit la même logique de traduction.

graph

J'arrive à faire le lien sur ces différentes expressions cependant une troisième expressions pour [tex]U_n[/tex] et  [tex]V_n[/tex] m'est donné:

[tex]u_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1} (h\times\,f(a+kh))\,=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1} (f(a+k\frac{b-a}{n}))[/tex]

[tex]v_n=\sum\limits_{k=0}^{n} (h\times\,f(a+kh))\,=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n} (f(a+k\frac{b-a}{n}))[/tex]

Et alors là... c'est le blocage.

Si j'essaie de traduire les dernières expressions je ne vois pas comment la somme des aires des n rectangles sous la courbe peut être égale à la somme des n longueurs de rectangles le tout diviser par le nombre de rectangle ...

et j'ai beau tenter une approche par le calcul je ne vois pas comment passer d'une écriture à l'autre.

Désolé c'est un peu long.
Si quelqu'un peut m'éclairer, merci par avance.

#2 02-05-2019 20:26:34

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 072

Re : expressions de suites encadrant intégrale de a à b de f(x) dx

Bonsoir,

Intégraal a écrit :

Si j'essaie de traduire les dernières expressions je ne vois pas comment la somme des aires des n rectangles sous la courbe peut être égale à la somme des n longueurs de rectangles le tout diviser par le nombre de rectangle ...


Pour le cas général où a et b sont quelconques, moi non plus...

Intégraal a écrit :

[tex]u_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1} (h\times\,f(a+kh))\,=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1} (f(a+k\frac{b-a}{n}))[/tex]

[tex]v_n=\sum\limits_{k=0}^{n} (h\times\,f(a+kh))\,=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n} (f(a+k\frac{b-a}{n}))[/tex]

Et alors là... c'est le blocage.

[tex]v_n=\sum\limits_{k=0}^{n} h \,f(a+kh)=\sum\limits_{k=0}^{n} \frac {b-a}{n} \,f(a+kh)=\frac {b-a}{n}\sum\limits_{k=0}^{n} \,f(a+kh)=\frac {b-a}{n}\sum\limits_{k=0}^{n} \,f(a+k \frac {b-a}{n}) [/tex]…

[tex]h=\frac {b-a}{n}[/tex] isolée devant [tex]\,f(a+kh) [/tex] est un nombre fixe ne dépendant pas de [tex]k[/tex].. et peut donc sortir de la somme.

L'auteur aurait pensé au cas particulier [tex]b-a=1[/tex] ?… et seulement dans ce cas : [tex]v_n=\sum\limits_{k=0}^{n} h \,f(a+kh)=\frac {1}{n} \sum\limits_{k=0}^{n} \,f(a+\frac {k}{n}) [/tex]…

Dernière modification par Zebulor (03-05-2019 19:03:49)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

Pied de page des forums