Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 24-04-2019 17:23:27

nora7
Membre
Inscription : 23-04-2019
Messages : 6

fonction dérivée 1ère

Bonjour tout le monde, j'aurais vraiment besoin de votre aide sur le dernier exercice de mon dm, car il est en partie fait mais les réponses ne coïncident pas, elles m'ont l'air fausses et je ne trouve rien d'autre... je n'arrive pas à répondre à la dernière question aussi, et un coup de main pour cet exo ça serait juste génial :")

donc voilà l'énoncé avec mes réponses :

On considère la fonction f définie sur [−4 ;−2[∪]−2; 4 ]  par f (x)= x^2 +3x+3+2.
1. Donner l'ensemble de dérivabilité de f et calculer f '(x).

f est une fonction rationnelle, donc dérivable sur son ensemble de définition.
u(x) = x^2 + 3x + 3
v(x) = x+2
u et v sont dérivables sur (ensemble de définition de l'énoncé), donc u/v est dérivable sur (ce même ensemble de définition).

        x+2 ≠ 0                             et                u'(x)= 2x+3                       donc          (u/v)' = u'v - uv'/ v^2
<=>    x ≠ -2                                                v'(x)= 1                                              = (j'ai appliqué la formule et ça m'a donné ce résultat)
                                                                                                                              = x^2+4x+3 ( résultat de f'(x) )

2. Étudier le signe de f '(x) et en déduire les variations de f .

(x+2)^2 > 0 pour tout x ∈ I et f'(x) est du signe de x^2+4x+3, donc positif.
Pour déterminer le signe d'un trinôme du second degré, on calcule delta :
on a  Δ= b^2 - 4ac
          = 4^2 - 4*1*3
          = 16-12
          = 4  > 0, donc 2 racines; X1= -3  et  X2= -1
f'(x)  > 0 pour tout x appartient [ -4; -3] ou [1; 4] don f est strictement croissante sur ce même intervalle.
f'(x)  < 0 pour tout x appartient [ -3; -2] ou [-2; -1] don f est strictement décroissante sur ce même intervalle.

3. Dresser le tableau de variation de f . (je l'ai fait et je le trouve assez bizarre car ça ne correspond pas vraiment à la fonction tapée dans la calculatrice, et je ne sais pas faire un tableau sur ordinateur)

et enfin, la question à laquelle je n'arrive pas du tout...
4. On considère le point A de la courbe de f d'abscisse a et le point B de la courbe de f d'abscisse b.
    A quelle(s) condition(s), les tangentes à la courbe de f en A et B sont-elles parallèles ?

merci d'avance à  mon/ma  sauveur/se !

Hors ligne

#2 24-04-2019 18:11:52

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 429

Re : fonction dérivée 1ère

Re,

f (x)= x^2 +3x+3+2.

Qu'est-ce que c'est ce +2 parasite ?
Hmmm ?
Ça n'a pas de sens si on regarde le domaine de définition : pourquoi éliminer -2 ?
Ça m'a l'air d'être plutôt :
[tex]f(x)=x^2 +3x+3+\dfrac{2}{x+2}[/tex]
La dérivée [tex]f'(x)[/tex] c'est  [tex]f'(x)=(x^2 +3x+3)'+\left(\dfrac{2}{x+2}\right)'[/tex]
Soit [tex]f'(x)=2x+3+\left(\dfrac{2}{x+2}\right)'[/tex]

Et rien que pour te contrarier ^_^, je ne vais pas utiliser (U'V-V'U)/V²...
Je vais ruser (j'adore ça) :
[tex]\left(\dfrac{2}{x+2}\right)'=2\left(\dfrac{1}{x+2}\right)'[/tex]
En entre parenthèses c'est 1/U  et [tex]\left(\dfrac 1 U\right)'=-\dfrac{U'}{U^2}[/tex]
Avec U(x)=x+2  on a a U'(x)=1
Donc :
[tex]\left(\dfrac{1}{x+2}\right)'=-\dfrac{1}{(x+2)^2}[/tex]
Enfin :
[tex]f'(x)=2x+3-\dfrac{2}{(x+2)^2}[/tex]

x+2 ≠ 0                             et                u'(x)= 2x+3                       donc          (u/v)' = u'v - uv'/ v^2
<=>    x ≠ -2                                                v'(x)= 1                                              = (j'ai appliqué la formule et ça m'a donné ce résultat)
                                                                                                                              = x^2+4x+3 ( résultat de f'(x) )

4x+3

Commence donc par donner un énoncé correct parce que avec ma supposition, la suite est tellement pas drôle que ça m'étonne...

@+

[EDIT]
Je préférerais de beaucoup (pour toi) que ce soit [tex]f(x)=\dfrac{x^2+3x++3}{x+2}[/tex]...
(x^2+3x+3)'=2x+3
(x+2)'=1

Donc [tex]f'(x)=\dfrac{(2x+3)(x+2)-(x^2+3x+3)\times 1}{(x+2)^2}=\dfrac{2x^2+7x+6-x^2-3x-3}{(x+2)^2}=\dfrac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}[/tex]
Le signe de $f'(x)$ est celui de $x^2+4x+3$...
Et d'un naturel paresseux, je ne vais pas calculer le discriminant quand je vois une solution dite évidente : x=-1...
On apprend que avec $f(x)=ax^2+bx+c$ si a+b+c =0 alors x=-1 est solution et si a-b+c=0 la solution évidente est x=1... et aussi que $\dfrac c a$ est le produit des racines...
Ici, $\dfrac c a=3$
Comme l'une des racines  est -1 l'autre est -3 et le polynôme $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$
signe
- pour $x \in\;]-3\,;\,-2[\,\cup\;]-2\,;\,-1[$
+ pour $x \in\; ][\;\cup\;]-1\,;\,+\infty[$
La fonction croît pour $x\in ]-\infty\,;\,-3[$  et  $f(-3)=-3$ de $-\infty$ à -3 ( extremum) puis f décroît de -3 à \infty  asymptote verticale équation x =-2.
Puis f décroît de  $+\infty$ à f(-1) =1 extremum (tangente en ce point horizontale) puis f croît de 1 à $ +\infty$
Ça ressemble à 2 branches d'hyperbole coincées entre les asymptotes d'équations $x=-2$  et $y=x+1$...
C'est bien ça cette fois ?

[ -4; -3] ou [1; 4]

Ce 4 n'est pas logique...

Dernière modification par yoshi (24-04-2019 19:41:02)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#3 24-04-2019 20:42:35

nora7
Membre
Inscription : 23-04-2019
Messages : 6

Re : fonction dérivée 1ère

Ouaaww ! merci pour cette réponse aussi détaillée ^-^ et désolé pour l'erreur de frappe, f(x)= x^2 +3x+3/ x+2 vous avez bien deviné sur ce coup, mais pour ce 4 dans l'intervalle, il est déjà défini dans l'énoncé comme faisant partit de l'intervalle et ce [-4; 4] je le voyais du coup comme un cadre à ne pas dépasser, comme des limites données.
En tout cas merci infiniment d'avoir accordé du temps à mon problème, je perdais les pédales avec cet exercice !
Bonne fin de soirée, et vraiment, encore merci

Hors ligne

#4 27-04-2019 19:07:27

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 429

Re : fonction dérivée 1ère

Bonsoir,

Reste une question à résoudre : celle qui t'embête le plus !
Je veux bien le comprendre : je ne la trouve pas très claire...
Je me demande qui dans ta classe, aura eu le courage de se lancer dans les calculs bourrins suivants : quand j'étais étidiant on disait pour les qualifier : "bestialement calculatoires" (heureusement, j'ai une autre solution, moins douloureuse : mais qui l'aura trouvée ?)

Les tangentes en A et B sont parallèles si et seulement leurs coefficients directeurs sont égaux.
Tangente en A. coefficient directeur : $f'(a)=\dfrac{a^2+4a+3}{(a+2)^2}$

Tangente en B. coefficient directeur : $f'(b)=\dfrac{b^2+4b+3}{(b+2)^2}$

On doit donc avoir : $\dfrac{a^2+4a+3}{(a+2)^2}=\dfrac{b^2+4b+3}{(b+2)^2}$
Ou encore :
$(b+2)^2(a^+4a+3)=(a+2)^2(b^2+4b+3)$
Et enfin :
$(b+2)^2(a^+4a+3)-(a+2)^2(b^2+4b+3)=0$
Et maintenant on développe, on réduit et on factorise.
D'abord les carrés :
$(b^2+4b+4)(a^2+4a+3)-(a^2+4a+4)(b^2+4b+3)=0$
Et maintenant, on développe de part et d'autre du - : il y aura 18 produits à effectuer.
$a^2b^2+4ab^2+3b^2+4a^2b+16ab+12b+4a^2+16a+12 -(a^2b^2+4a^2b+3a^2+4ab^2+16ab+12a+4b^2+16b+12)=0$
Je supprime la parenthèse et change les signes :
$a^2b^2+4ab^2+3b^2+4a^2b+16ab+12b+4a^2+16a+12 -a^2b^2-4a^2b-3a^2-4ab^2-16ab-12a-4b^2-16b-12=0$
Je fais réduire 10 min à feu doux ^_^ et j'obtiens :
$4a^2-4b^2+4a-4b=0$
Que je factorise en deux fois :
$4(a-b)(a+b)-4(a-b)=0$
C'est à dire :
$4(a-b)(a+b+4)=0$
Deux solutions :
1. $a = b$ : les points A et B sont confondus
2. $a+b+4=0$ qui s'écrit aussi : $a+b=-4$...
On pourrait s'arrêter là, mais j'ai vu plus loin : $\dfrac{a+b}{2}=-2$ qui est l'abscisse de n'importe quel point de l'asymptote verticale.
Si je considère le point M(-2 ; -1) intersection de l'asymptote verticale et de l'asymptote oblique d'équation y=x+1, je constate que les points A et B sont symétriques par rapport à M... Autrement dit  M est le milieu de [AB].
Pour le montrer, il faut encore arriver à $\dfrac{f(a)+f(b)}{2}=-1$
$\dfrac{f(a)+f(b)}{2}=\dfrac{\dfrac{a^2+3a+3}{a+2}+\dfrac{b^2+3b+3}{b+2}}{2}$
Et on sait que $a+b=-4$ donc que $b=(-a-4)$ et je remplace b :

$\dfrac{f(a)+f(b)}{2}=\dfrac{\dfrac{a^2+3a+3}{a+2}+\dfrac{(-a-4)^2+3(-a-4)+3}{-a-4+2}}{2}=\dfrac{\dfrac{a^2+3a+3}{a+2}+\dfrac{a^2+8a+16-3a-12+3}{-a-2}}{2}$


$\dfrac{f(a)+f(b)}{2}=\dfrac{\dfrac{a^2+3a+3}{a+2}+\dfrac{(-a-4)^2+3(-a-4)+3}{-a-4+2}}{2}=\dfrac{\dfrac{a^2+3a+3}{a+2}-\dfrac{a^2+8a+16-3a-12+3}{a+2}}{2}=\cdots$

La suite demain !

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#5 27-04-2019 20:01:55

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 310

Re : fonction dérivée 1ère

Bonsoir,

Souvent les problèmes sont conçus de sorte qu'il y a moyen d'éviter les calculs "bourrins"...

@Yoshi : alors je me permets juste de proposer ceci en te lisant, pour intervenir sur l'aspect uniquement calculatoire car je ne connais pas le contenu du reste.

yoshi a écrit :

$\dfrac{a^2+4a+3}{(a+2)^2}=\dfrac{b^2+4b+3}{(b+2)^2}$

<=> $\dfrac{(a+2)^2-1}{(a+2)^2}=\dfrac{(b+2)^2-1}{(b+2)^2}$
<=> $1-\dfrac{1}{(a+2)^2}=1-\dfrac{1}{(b+2)^2}$ , ou encore pour y aller très progressivement pour nos petits.. Les habitués iront plus vite…

<=> $\dfrac{1}{(a+2)^2}=\dfrac{1}{(b+2)^2}$
<=>[tex](a+2)^2=(b+2)^2[/tex]
<=>[tex](a+2)^2-(b+2)^2=0[/tex]
<=>[tex](a+2+b+2)(a+2-b-2)=0)[/tex]
<=>[tex](a+b+4)(a-b)=0[/tex]
<=>[tex]a+b+4=0[/tex] ou [tex]a=b[/tex].

Temps de mijotage certes plus court, mais davantage certain de pas faire exploser la cuisine

Pour la suite : je propose le dessert  :

yoshi a écrit :

Pour le montrer, il faut encore arriver à $\dfrac{f(a)+f(b)}{2}=-1$
$\dfrac{f(a)+f(b)}{2}=\dfrac{\dfrac{a^2+3a+3}{a+2}+\dfrac{b^2+3b+3}{b+2}}{2}$
Et on sait que $a+b=-4$ donc que $b=(-a-4)$

Qu'à cela ne tienne : même méthode on ne change pas une équipe qui gagne !
$\dfrac{a^2+3a+3}{a+2}=\dfrac{(a+2)^2-(a+1)}{a+2}=a+2- \dfrac{a+1}{a+2}=a+2- \dfrac{(a+2)-1}{a+2}=a+1+\dfrac{1}{a+2}$

Idem par symétrie pour : $\dfrac{b^2+3b+3}{b+2}$ !! ..

Surtout ne pas développer mais factoriser , factoriser jusqu'au bout de ce qui est factorisable… Déjà on sent que la mousse au chocolat sera bonne. On a plus aucun exposant dans les parages.

C"est la technique de décomposition en éléments simples, qu'on utilise aussi pour intégrer certaines fonctions...

Donc le plus dur est fait, maintenant on joue au Légo …

… parce qu'en rassemblant les briques : $\dfrac{f(a)+f(b)}{2}=\dfrac{a+1+\dfrac{1}{a+2}+b+1+\dfrac{1}{b+2}}{2}$,

Comme $a+b=-4$: en simplifiant et en regroupant le numérateur : [tex]a+1+b+1=a+b+2=-2[/tex]

De même rassemblement des troupes : $\dfrac{1}{a+2}$+$\dfrac{1}{b+2}$=$\dfrac{a+b+4}{(a+2)(b+2)}=0$ ...

Après simplification : $\dfrac{f(a)+f(b)}{2}=\dfrac {-2+0}{2}=-1$,


Bonne journée!

@Yoshi : ah mais je viens de voir… que tu voulais juste illustrer une technique compliquée.. mes excuses..

@+

Dernière modification par Zebulor (28-04-2019 01:01:51)

Hors ligne

#6 28-04-2019 06:32:25

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 429

Re : fonction dérivée 1ère

Re,

Bah... Tout le monde peut démarrer trop vite !

Je reprends où je m'en étais arrêté.
Après simplifications :
$\dfrac{f(a)+f(b)}{2}=\cdots=\dfrac{\dfrac{-2a+4}{a+2}}{2}=\dfrac{\dfrac{-2(a+2)}{a+2}}{2}=\dfrac{-2}{2}-1$

Le point M--2 ; 1) est bien le milieu de [AB]

J'en viens à ce qui est plus acceptable comme calculs, montrer que M(-2 ; 1) est un centre de symétrie...
Puis en déduire que
- si A et B sont sur la même branche, alors A et B sont confondus d'où a =b 
- sinon A et B sont symétriques par rapport à M et a+b=-4

Je vais déjeuner et je fais les calculs.

Une variante hors programme plus simple ; changement de repère en prenant M comme origine...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#7 28-04-2019 07:51:55

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 429

Re : fonction dérivée 1ère

Bon...

Allons-y.
Tout repose sur le fait que si 2 droites sont parallèle alors il existe un point au moins un point M tel que ces deux droites soient symétriques.
Ici, pour avoir deux parallèles distinctes  l'une passant par A, l'autre passant par B, A et B, A et B doivent appartenir chacun à une branche différente.
Le but du jeu est de prouver que la courbe admet un centre de symétrie qui est l'intersection des asymptotes...
M(-2 ; -1), centre de symétrie si
quels que soient $C(x_1\,;\,y_1)$ et $D(x_2\,;\,y_2)$, sur 2 branches différentes de la courbes, M est le milieu de [CD]...
Je veux éviter cette fois au maximum les calculs en "levant le nez du guidon".
Pour bien faire; il faudrait prouver que $y=x+1$ est asymptote oblique.
Connaissant le résultat, c'est assez simple dans ce sens, mais je doute un peu sinon que nora7 ait vu la méthode générale ou la méthode que j'aime bien appeler "méthode Dédé la bricole" consistant à faire apparaitre (x+2) au numérateur...

$f(x)=x+1+\dfrac{1}{x+2}$

$\begin{cases}\dfrac{x_1+x_2}{2}&=-2\\ \dfrac{y_1+y_2}{2}&=-1\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad\begin{cases}x_1+x_2&=-4\\ y_1+y_2&=-2\end{cases}$

Somme $y_1+y_2$ :
$y_1+y_2=x_1+1+\dfrac{1}{x_1+2}+x_2+1+\dfrac{1}{x_2+2}=x_1+x_2+2+\dfrac{1}{x_1+2}+\dfrac{1}{x_2+2}$
Je remplace $x2$ dans cette  somme  par son expression en fonction de $x_1$ :
$y_1+y_2=x_1-x_1-4+2+\dfrac{1}{x_1+2}+\dfrac{1}{-x_1-4+2}$
$\Leftrightarrow$
$y_1+y_2=-2+\dfrac{1}{x_1+2}+\dfrac{1}{-x_1-2}=-2+\dfrac{1}{x_1+2}-\dfrac{1}{x_1+2}=-2$

Calculs beaucoup plus "supportables"...

La méthode du changement de repère aboutit à montrer que la fonction f(X) dans ce nouveau repère est telle que f(-X)=-f(X), donc que f est alors impaire...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#8 28-04-2019 09:20:29

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 429

Re : fonction dérivée 1ère

Re,

Changement de repère... Je me place dans le repère orthonormé de centre M(-2 ; -1)
Les cordonnées d'un point C(x ; y) du repère donné sont dans ce nouveau repère C(X=x+2 ; Y =y+1)
D'où $x = X-2$ et $y =Y-1$ que vais remplacer dans  l'expression de $y=\dfrac{x^2+3x+3}{x+2}$:

$Y-1=\dfrac{(X-2)^2+3(X-2)+3}{X-2+2}$
$\Leftrightarrow$
$Y-1=\dfrac{X^2-4X+4+3X-6+3}{X}$
$\Leftrightarrow$
$Y-1=\dfrac{X^2-X+1}{X}$
$\Leftrightarrow$
$Y=\dfrac{X^2-X+1}{X}+1$
$\Leftrightarrow$
$Y=\dfrac{X^2-X+1+X}{X}$
$\Leftrightarrow$
$Y=\dfrac{X^2+1}{X}$
Equation de la courbe Cf dans le nouveau repère et la fonction correspondantes est telle que $f(X)=\dfrac{X^2+1}{X}$
$f(-X)=\dfrac{(-X)^2+1}{-X}=\dfrac{X^2+1}{-X}=-\dfrac{X^2+1}{X}=-f(X)$
Dans ce nouveau repère d'origine $M(-2\,;\,-1)$, la fonction f est impaire : la courbe Cf admet donc M comme centre de symétrie.
Il en résulte alors
* que si A et B sont sur la même branche, alors A = B et a=b,
* que si A et B sont sur deux branches distinctes,  alors B est le symétrique de A par rapport à M et les tangentes en A et B sont parallèles quel que soit le repère orthonormé obtenu par translation.

En revenant dans le repère de départ M milieu de [AB] se traduit par [tex]\dfrac{a+b}{2}=-2[/tex] soit $a+b=-4$.

@zebulor
Ma première méthode "bestialement calculatoire" est la méthode dans laquelle l'élève studieux et appliqué ayant une certaine maîtrise du calcul littéral, va s'engager. Il va penser :
  * droites // <==>  coeff. dir. égaux
  * tangentes en A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)) à la courbe ==> calculs de f'(a) et f'(b)
S'il a vu ce qu'est une asymptote e
  * qu'on peut parfois (souvent) trouver une asymptote oblique,
  * que l'équation s'en trouve simplifiée
  * qu'il connaît et maîtrise la méthode pour trouver qu'ici l'équation s'écrit $y =x+1+\dfrac{1}{x+1}$
même avec la méthode bourrin, les calculs restent envisageables...
Parce que se farcir les 18 produits et simplifier sans erreur, puis passer à la factorisation comprenant deux factorisations intermédaires, pas sûr que l'élève lambda
  * ose se lancer dedans
  * aie le courage d'aller au bout
  * arrive à $a=b$ et a+b=-4
  * pense à la symétrie de centre M(-2 ; -1) pour l'interprétation géométrique...
Ça fait beaucoup de suppositions... Ces questions, j'aurais aimé pouvoir poser à Nora si elle était repassée..

C'est pour toutes ces raisons que j'ai écrit que je trouvais la question pas claire, en fait je voulais dire que je ne voyais pas trop ce qu'il attendait de ses élèves...
Pour moi, soit ils rejouent la fable du Moine et des copistes (cherche pas, je l'ai inventée), soit ils baissent les bras à l'exception de 1 ou 2.
Il aurait fallu introduire des questions intermédiaires même si c'est un DM...
Je donnerai ça plutôt à des TS (mais pas au Bac, cela déclencherait des hurlements !).

@+

[EDIT] Après consultation des programmes officiels de 1S du BO : pas plus de notion d'asymptote en 1S...
Diable, Diable !

Dernière modification par yoshi (28-04-2019 10:04:01)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#9 28-04-2019 10:07:00

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 310

Re : fonction dérivée 1ère

Rebonjour Yoshi !

yoshi a écrit :

Je donnerai ça plutôt à des TS (mais pas au Bac, cela déclencherait des hurlements !).
@+

pire...çà serait l'émeute ! :-)

Ok pour ta première méthode. Il est toujours formateur de comparer les différentes approches du sujet..

Hors ligne

#10 28-04-2019 10:27:56

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 429

Re : fonction dérivée 1ère

Re,

Le programme de 1S de 2010 précise :

On évite tout excès de technicité dans les calculs de dérivation. Si nécessaire, dans le cadre de la résolution de problèmes, le calcul de la dérivée d’une fonction est facilité par l’utilisation d’un logiciel de calcul formel.

Autrement dit, initiez vos élèves au calcul formel via des calculatrices...
J'avais déjà entendu une variante de ce discours dans la bouche d'un Inspecteur de Mathématiques :
- on ne donnera pas d'exercice exigeant de la "virtuosité technique"
- on n'utilisera que des nombres "fréquentables"
- on n'a pas à enseigner à un niveau n+1 quand on est à un niveau n (ça au moins on peut -globalement - être d'accord)
(sic)
J'ai édité mon post précédent : plus de notion d'asymptote en 1S...
On peut contourner ce problème en ne parlant pas d'asymptote mais de simplifier l'écriture de la fonction... Cela dot sans voir ce qui va avec :
  * ça fait un peu "parachuté"...
  * dans celte question, comment un élève peut-il y penser s'il n'a pas vu avant qu'on peut le faire ?

Je maintiens qu'on n'était pas en train d'évoluer dans le bon sens et sur ce que j'ai entrevu des nouveaux programmes à venir, je crains que ça ne s'arrange pas... hélas !

Quand je pense qu'en Math Elem en 1966 j'avais 9 h de Maths par semaine... et que j'ai même survécu !!!

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#11 28-04-2019 11:20:33

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 310

Re : fonction dérivée 1ère

re,
et même une vingtaine d'années plus tard, j'avais aussi 9 h de maths par semaine..
j'ai emprunté un livre d'algèbre de 1ere année d'université de 1967... Le programme était quand même bien dense...

Dernière modification par Zebulor (28-04-2019 11:20:53)

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
cinquante cinq moins quarantetrois
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums