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#1 23-04-2019 20:21:31

nora7
Membre
Inscription : 23-04-2019
Messages : 6

suites arithmétiques

Bonsoir, j'ai essayé de faire cet exercice sur les suites arithmétiques mais je ne sais pas si ce que j'ai fait est juste et je n'arrive plus aux deux dernières questions... merci de bien vouloir m'aider
donc voilà les questions et ce que j'ai répondu :

On considère la suite (Un) , définie sur ℕ par U0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1=3 Un−1/Un+5
1. Calculer u1, u2 et u3
u1= 3*1-1/ 1+5 = 1/3
u2= 3*2-1/ 2+5 = 5/7
u3= 3*3-1/ 3+5 = 1

2. a) On considère la suite (vn) définie sur ℕ par vn= 1/(un+1) si un≠−1 . Calculer v0, v1 et v2.
v0= 1/(u0+1) = 1/(1+1)= 1/2
v1= 1/(u1+1) = 1/ (1/3+1)= 3/4
v2= 1/(u2+1) = 1/( 5/7+1) = 7/12

et enfin, les questions où je bloque...
b) Prouver que (vn) est arithmétique.
c) Exprimer vn en fonction de n , en déduire l'expression de un en fonction de n.

merci d'avance !

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#2 24-04-2019 00:12:07

Deugard
Membre
Inscription : 28-12-2018
Messages : 30

Re : suites arithmétiques

Bonsoir,
a)1)  Les calculs de $\mathrm {U_1, U_2}$ et $\mathrm U_3$ sont faux, car la formule de récurrence est :    $\mathbf{\mathrm{U_{n+1}=\dfrac{3U_n-1}{U_n+5}}}$ ,
et non  $\mathrm{U_{n+1}=\frac{3n-1}{n+5}}$ ;

a)2)  Les calculs de $\mathrm{V_1}$ et$\mathrm V_2$ sont donc faux également .

b)  Si $\mathrm V_n$ est une suite arithmétique, alors la différence $\mathrm{V_{n+1}-V_n}$ doit être une valeur constante
(ne dépendant pas de n), qui est la raison de la suite ; partant alors de la formule  $\mathbf{\mathrm{V_n=\dfrac{1}{U_n+1}}}$ ,
on exprime cette différence, tout d'abord en fonction de $\mathrm U_{n+1}$ et $\mathrm U_n$ et enfin, grâce à la récurrence du a),
en fonction de $\mathrm U_n$ seulement ; on  obtient la valeur de 1/4 .

c)1)  L'expression de $\mathrm V_n$ en fonction de n est donnée par la propriété fondamentale d'une suite arithmétique :
        $\mathrm {V_n = V_0 + nr}$ , où r est la raison de la suite .

c)2) Partant de l'expression de $\mathrm V_n$ en fonction de $\mathrm U_n$ du b), on en déduit l'expression de $\mathrm U_n$ en fonction de $\mathrm V_n$,
ce qui permet d'obtenir l'expression de $\mathrm U_n$ en fonction de n,  en se servant de l'expression de $\mathrm V_n$ en fonction
de n du c1) ; on obtient finalement : $\mathrm U_n=\frac{2-n}{2+n}$ .

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#3 24-04-2019 17:38:49

nora7
Membre
Inscription : 23-04-2019
Messages : 6

Re : suites arithmétiques

merci bien d'avoir répondu :") mais que faut-il faire alors pour trouver U1, U2 et U3 ainsi que V0, V1 et V2 ? j'ai mal utilisé la formule de récurrence, mais je ne vois pas comment l'utiliser autrement

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#4 24-04-2019 18:06:37

nora7
Membre
Inscription : 23-04-2019
Messages : 6

Re : suites arithmétiques

j'ai trouvé autre chose, mais c'est pas génial comme réponse ;
U1 = 3*U0-1/U0+5 = 3*1-1/1+5 = 1/3
U2= 3*U1 - 1/ U1+5 = 0
U3= 3*U2- 1/ U2+5= -1/5

j'espère que c'est pas pire que les premiers résultats trouvés :")

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#5 24-04-2019 22:03:08

Deugard
Membre
Inscription : 28-12-2018
Messages : 30

Re : suites arithmétiques

bonsoir,
c'est O.K. , les premières valeurs de $\mathrm U_n$ sont bonnes .

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#6 25-04-2019 10:42:21

nora7
Membre
Inscription : 23-04-2019
Messages : 6

Re : suites arithmétiques

merci, du coup j'ai les valeur de Vn mais pour les questions suivantes j'ai à peu près compris mais ne sais toujours pas comment m'y prendre...
:/

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#7 25-04-2019 11:44:03

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 248

Re : suites arithmétiques

Bonjour,

Deugard t'a tout dit...
Lis mieux ses explications.
En attendant qu'il repasse, je te mets en route.
Tu sais que $V_{n+1}=\dfrac{1}{U_{n+1}+1}$  donc que $V_n=\dfrac{1}{U_n+1}$ d'où tu tires $U_n=\dfrac{1}{V_n}-1$

Ensuite tu sais que
$U_{n+1}=\dfrac{3U_n-1}{U_n+5}$
Et tu remplaces $U_{n+1}$ dans l'expression de $V_{n+1}$ :

$V_{n+1}=\dfrac{1}{U_{n+1}+1}=\dfrac{1}{\dfrac{3U_n-1}{U_n+5}+1}=\dfrac{1}{\dfrac{\cdots+\cdots}{U_n+5}}=\dfrac{1}{\dfrac{\cdots}{\cdots}}=\dfrac{\cdots}{\cdots}$
C'est dans la dernière expression que tu vas remplacer $U_n$ par son expression en fonction de $V_n$...

Après simplifie tout ça et relis le post de Deugard...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#8 25-04-2019 21:53:26

Deugard
Membre
Inscription : 28-12-2018
Messages : 30

Re : suites arithmétiques

bonsoir,
pour le b), on peut aussi, comme l'a fait remarquer yoshi, écrire  $V_{n+1}$ en fonction de  $U_{n+1}$ puis de  $U_n$ :
on doit ainsi faire apparaître la relation  $V_{n+1}=V_n+r$  où  $r \in \mathbb{N}$ , ce qui prouvera que $(V_n)$ est une
suite arithmétique (de raison r) .
À plus .

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