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#1 22-04-2019 11:15:32

yannD
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Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Bonjour, j'ai un Dm à rendre mais je suis bloqué sur certaines questions :

Soit f la fonction donnée par f(x) = 1/x et $H$ sa courbe représentative dans un repère.
Soit A le point de coordonnées (1;1).
Il s'agit d'étudier le nombres de points d'intersection de $H$ avec une droite quelconque passant par A

1a) Représenter A, H ainsi que quelques droites passant par A.

  b) A l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel de tracé de courbes. Conjecturer le nombre de point d'intersection cherché.

2.a) Soit a un nombre réel quelconque.
Déterminer la fonction affine dont la représentation graphique passe par A et a pour coefficient directeur a.
b)Montrer que, pour tout nombre réel x différent de 0, l'équation 1/x = ax  - a+1 se ramène à l'équation (x-1) (ax+1) = 0

c) Montrer que si a est strictement positif, il existe un point d'intersection situé sur chacune des deux branches de l'hyperbole H.

d) Montrer que si a est strictement négatif, il existe, sauf cas particulier, deux points d'intersection situés sur une
des deux branches de l'hyperbole


J'ai quelques problèmes de connexion avec la wi-fi et l'ordinateur se bloque souvent, (nous avons dû prendre un virus…
je vais écrire là où j'en suis

Dernière modification par yannD (22-04-2019 11:41:39)

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#2 22-04-2019 11:51:59

yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

2.a)

A(1;1) == > x = 1 et y = 1

y = ax + b

1= 1.a+ b <=> b = (1 - a)

y = mx+p
1 = 1.x+p <=> p = (1 - x)


Puisque le point A appartient à la droite, je peux écrire l'équation y = mx + (1 - x)

Dernière modification par yannD (22-04-2019 11:53:35)

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#3 22-04-2019 12:06:03

yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Pour la question 1, j'ai conjecturé 2 points d'intersection avec la fonction H
je suis bloqué pour la question 2, pouvez vous m'aidez s'il vous plait ?

Dernière modification par yannD (22-04-2019 12:07:19)

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#4 22-04-2019 12:50:47

Zebulor
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Bonjour Yann,
Je prends momentanément la place de Yoshi..
Avant de regarder la question 2) je crois comprendre que 1=1.a+b <=> b = (1 - a) traduit le fait que A(1;1) appartient à la droite passant par A de coefficient directeur a.

Je ne comprends pas la suite, et pourquoi tu changes de coefficient directeur : le Coeff a devient m ?
A partir du moment où tu as l'ordonnée à l'origine b=(1-a), tu peux directement écrire l'équation de la droite cherchée dont tu connais le coefficient directeur a : soit y=a*x+(1-a)

Tu peux aussi retrouver l'équation de cette droite en exprimant ce qu'est ce coefficient directeur par une égalité.. la pente de la droite c'est le quotient : différence des ordonnées par différence des abscisses. Ici tu as 2 points A(1;1) et M(x;y)

1)b)…  2 points d'intersection? à y regarder d'un peu plus près...

Dernière modification par Zebulor (22-04-2019 13:27:57)

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#5 22-04-2019 13:04:16

yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Bonjour zebulor, (comment vas-tu ? ) Joyeuses Pâques également !
je ne savais pas trop qu'elle écriture prendre :
          •   y = ax. b
          •    y =mx.P
en fait j'ai fait deux fois la même  chose …

Dernière modification par yannD (22-04-2019 13:06:46)

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#6 22-04-2019 13:08:22

yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Oui, je l'ai fait une 1ere fois avec la forme : y =ax+b et une 2e fois avec l'écriture : y = mx+p
j'ai encore beaucoup d'hésitations en mathématique, c'est pour cela

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#7 22-04-2019 13:10:06

Zebulor
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Bien YannD! Joyeuses Pâques de même!

Un petit conseil : tu peux déjà lire toutes les questions de cet exercice, puisque tu en as le temps, et ça te donnera des indications pour certaines réponses..

Une fonction affine est de type : y=a*x+b ou y=m*x+p… peu importe les lettres. Ce qui compte c'est de savoir à quoi elles correspondent : a (ou m) est le coefficient directeur de la droite (ou sa pente) et b est l'ordonnée à l'origine : la droite passe par le point (0;b).

Une fonction linéaire est un cas particulier d'une fonction affine : b=0, ce qui signifie que sa représentation graphique passe par l'origine des axes. Son équation est y=a*x (ou y=m*x)

Dernière modification par Zebulor (22-04-2019 13:14:08)

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#8 22-04-2019 13:14:58

yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

mais je ne vois pas pourquoi une fonction linéaire, passe par l'origine des axes
en effet, si je prends x = 2 j'ai bien une équation linéaire, celle-ci ne passe pas par l'origine des axes…

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#9 22-04-2019 13:19:57

Zebulor
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Quelle équation trouves tu avec x=2 ?

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#10 22-04-2019 13:35:13

yoshi
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Bonjour à vous deux également,

Salut Yann, encore un problème de lecture d'énoncé ?
Il disait pourtant clairement :
Déterminer la fonction affine dont la représentation graphique passe par A et a pour coefficient directeur a.
Tu écris que l'équation de la droite est y=mx+p ?...
Päs de soucis...
Tu dois trouvrer le coefficient m et l'ordonnée à l'origine p.
* Pour le coefficient directeur m, l'énoncé te dit : coefficient directeur a.
  Donc ton équation provisoire est$ y =ax+p$
* Reste à trouver p. Pour cela, tu utilises le fait que A(1 ; 1) est sur la droite :
   $1 =a\times 1 +p$  D'où $p = 1-a$
Tu peux donc maintenant écrire l'équation complète : $y = ax+1-a$
Tu voudras aussi noter que ton écriture :
$y=mx+(1-x)$ est fausse. Tu aurais dû t'en apercevoir : où est donc le coefficient directeur a ?
Donc, tu n'avais aucune chance de pouvoir répondre à :

b) Montrer que, pour tout nombre réel x différent de 0, l'équation $\dfrac 1 x = ax  - a+1$ se ramène à l'équation $(x-1) (ax+1) = 0$

Concernant pente et coefficient directeur j'avais appris qu'on parlait de pente seulement lorsque le coefficient directeur étai positif : j'ignore par contre si ce distinguo est toujours valable...

@+

[EDIT] Apparemment, la question reste pendante : je n'ai rien trouvé de bien concluant à ce sujet...
C'est vrai que cela date pas d'aujourd'hui et que c'était peut-être une nuance due aux Sciences Physiques...

Dernière modification par yoshi (22-04-2019 13:38:02)


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#11 22-04-2019 13:53:58

yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Bonjour Yoshi,,
Exact, l'énoncé est bien :
2.a) Soit a un nombre réel quelconque
Déterminer la fonction affine dont la représentation graphique passe par A et a pour coefficient directeur a

et c'est pas écrit : a pour coefficient directeur m
donc je dois partir d'une forme générale : y = ax +b

Mais comme j'ai appris l'an passé avec: y =mx +p, j'hésite encore au moment de la rédaction

Dernière modification par yannD (22-04-2019 13:56:55)

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#12 22-04-2019 14:17:23

yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

# 9 : avec x = 2, j'obtiens y = 2.a + b

mais je voulais parler d'une équation x  = 2 comme l'axe de symétrie d'une parabole (par ex)

Dernière modification par yannD (22-04-2019 14:17:51)

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#13 22-04-2019 15:04:50

yoshi
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Re,

Et si tu utilisais $=px+q$ comme te l'a suggéré zebulor, ça changerait quoi ?
Regarde.
Dans $y=px+q$, p est le coefficient directeur, l'ordonnée à l'origine.
* Cherchons  le coefficient directeur p. Par hypoythèse p vaut a.
   L'équation provisoire est $y =ax+q$
* Cherchons  l'ordonnée à l'origine q.
   Pour cela, écrivons que A(1 ; 1) est sur la droite : $1=a\times 1 +q$ D'où $q = 1-a$

Tu disposes donc maintenant (écrite en fonction de a) de l'équation de droite cherchée : $y = ax+1-a$...

@+


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#14 22-04-2019 15:52:15

yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

donc je peux dire par hypothèse p vaut a, c'est comme pour les démonstrations en géométrie ?

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#15 22-04-2019 16:58:26

yoshi
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Bin, oui...
sinon, ça sert à quoi un énoncé ?

"Par hypothèse" c'est simplement une façon plus courte, de dire : "Dans l'énoncé, il est écrit que"

@+


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#16 22-04-2019 18:01:00

yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Bonsoir Yoshi, je vais pas mentir mais en DS, j'aurais pas su faire cette question
Comme l'an passé, j'ai vu les équations de droite avec dans mon cours : y = mx+p et bien j'aurais mis
y = mx+p
A(1;1 ) = = > x = 1 et y = 1
donc 1 = 1.m+p <=> p = -m +1
soit y = mx -m+1
et en DS, dans ce genre d'exos, je vais pas plus loin, je ne fais pas le rapprochement avec la question suivante où on me demande de montrer que 1/x = ax - a + 1 peut se mettre sous la forme (x-1) (ax +1)

Dernière modification par yannD (22-04-2019 18:04:03)

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#17 22-04-2019 18:39:20

yoshi
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Re,

Comme l'an passé, j'ai vu les équations de droite avec dans mon cours : y = mx+p et bien j'aurais mis y = mx+p

Et tu as bien vu que ce n'était pas faux
C'est bien ce que je dis : problème de lecture d'énoncé, qui te te disait bien pourtant :

2.a) Soit a un nombre réel quelconque.
Déterminer la fonction affine dont la représentation graphique passe par A et a pour coefficient directeur a

.
Alors, pourquoi ne pas en tenir compte ?
1. Tu sais où es placé le coefficient directeur : devant le $x$ et peu importe comment il s'appelle dans la formule que tu utilises...
   Je peux tout refaire en prenant comme forme générique d'équation  $y=\alpha x+\beta$  ou $y =hx+k$ et j'arriverai toujours à $y=ax+1-a$...

2. D'ailleurs tu as utilisé une condition de parallélisme (pour l'autre DM) $xy'-x'y=0$ et si l'équation de l'une des droites est $y=ax+b$ comment vas-tu écrire l'autre ? et quelle forme pour la condition ?
    Réponse, en général : $y=a'x+b'$ et les droites sont parallèles si $a=a'$, perpendiculaires si $aa'=-1$...
    Et ça changerait quoi  si j'utilisais $y=mx+p$ et $y'=m'x+p'$? Rien ! J'écrirais : les deux droites sont parallèles si $m=m'$, perpendiculaires si  $mm'=-1$...

$y = mx -m+1$, ça, c'était encore correct (pas le cas de $y = mx -x+1$, je te l'avais signalé)... Pour avoir la réponse attendue, il suffisait de dire : l'énoncé me dit que le coefficient directeur vaut $a$ , donc $m=a$ et en remplaçant m par a, l'équation devenait $y=ax-a+1$
Le a ici est un nombre dont on affecte la valeur (cachée, et supposée pouvoir changer) ...On donne ce paramètre comme coefficient directeur...
Et d'ailleurs, ton prof aurait pu te dire :

2.a) Soit m un nombre réel quelconque.
Déterminer la fonction affine dont la représentation graphique passe par A et a pour coefficient directeur m

.
Et là la réponse $y=mx-1+m$ était celle attendue...
La suivante devenait alors

2. b) Montrer que, pour tout nombre réel x différent de 0, l'équation 1/x = mx  - m+1 se ramène à l'équation (x-1) (mx+1) = 0

Et ça changeait quoi à l'exercice ???

Quant à tenir compte de la question suivante, c'est une habitude à prendre, ici comme en géométrie... Cela peut donner une indication et t'empêcher de t'acharner, pour répondre à la question en cours, à essayer de montrer une propriété qu'on te demande à la question suivante comme devant être déduite de la précédente...

@+


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#18 22-04-2019 18:59:28

yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Oui, mais même en arrivant à : $y = mx - m + 1$ ( c'est à dire sans me tromper au niveau de  $1= 1. x+p <=> p = -x + 1$ )
et bien en Ds, je vais pas plus loin, je vois que ce que l'on veut me faire trouver , c'est $y = ax - a + 1$
Après pour la b)
1/x = ax - a + 1 ça  ressemble à  des exos où l'on me demande de trouver des points d'intersection de la droite et de la courbe.
parce que 1/x c'est l'équation d'une courbe, et ax - a + 1 c'est l'équation de la droite qui passe par A(1;1)
donc je pense que c'est ça

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#19 22-04-2019 19:09:11

yoshi
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Re,

1/x = ax - a + 1 ça  ressemble à  des exos où l'on me demande de trouver des points d'intersection de la droite et de la courbe.

C'est bien le sujet de l'exercice.

@+


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#20 22-04-2019 19:17:48

Zebulor
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

re,
juste une petite incursion...
@YannD : Yoshi t'a bien expliqué la philosophie de cet exercice..
Pour l'anecdote des profs de maths et de mécanique à l'université nous conseillaient de prendre le temps de lire toutes les questions d'un problème du début à la fin pour essayer de s'en faire une idée générale, une représentation mentale, plutôt que de foncer tête baissée sur la 1ere question... par exemple les questions 2)c) et 2)d) aident à répondre à la question 1)b)..

Dernière modification par Zebulor (22-04-2019 19:34:31)

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#21 22-04-2019 19:41:57

yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Bonsoir, dans mon cours, il est dit : résoudre $x^2$ = k ,  c'est résoudre $x^2 - k = 0$ puis après factorisation, je trouve une équation produit
donc : $1/x = ax - a + 1 <=>  ax - a + 1 - 1/x = 0 <=> ax^2 - ax + x - 1/x = 0 <=> ax(x - 1) + x (1 - 1/x) = 0$

Dernière modification par yannD (22-04-2019 19:42:28)

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#22 22-04-2019 19:49:24

yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

je n'arrive pas à mettre en facteur 1/X

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#23 22-04-2019 19:50:57

Zebulor
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

re Yann,

yannD a écrit :

$1/x = ax - a + 1 <=>  ax - a + 1 - 1/x = 0 <=> ax^2 - ax + x - 1/x = 0 <=> ax(x - 1) + x (1 - 1/x) = 0$

En précisant que ces équivalences sont valables pour x différent de 0..

La première équivalence est bonne mais il y a une erreur dans la 3e égalité...

Dernière modification par Zebulor (22-04-2019 19:56:08)

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#24 22-04-2019 19:57:05

yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Pourquoi faut-il préciser x différent de 0 ?

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#25 22-04-2019 20:00:34

Zebulor
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

parce que [tex]\frac {1}{x}[/tex] n'existe que si x est différent de 0... si tu regardes l'énoncé c'est d'ailleurs précisé.. En d'autres termes la fonction x --> [tex]\frac {1}{x}[/tex] n'est pas définie en x=0 : 0 n' a pas d'inverse.

Mais ton idée de résolution du post #21 est bonne.

Dernière modification par Zebulor (23-04-2019 05:04:01)

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