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#1 21-04-2019 18:29:03

topdoc
Membre
Inscription : 17-08-2018
Messages : 14

Adhérence et boule fermé

Bonjour,

est ce que cette preuve est juste je veux montrer que dans un espace métrique  $\overline{B(x,r)}\subset B'(x,r)$

Soit $y\in \overline{B(x,r)} \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0, B(y,\varepsilon)\cap B(x,r)\neq \emptyset$

i.e., il existe $z\in B(y,\varepsilon)\cap B(x,r)$ donc $d(z,y)<\varepsilon$ et $d(z,x)<r$

Donc: $d(y,x)\leq d(y,z)+d(z,x)<\varepsilon+r, \, \forall \varepsilon>0$

par passage a la limite $\varepsilon\to 0$  on obtient $d(y,x)\leq r$

C'est quoi le contre exemple pour montrer que $B'(x,r)\not\subset \overline{B(x,r)}$ ?

Merci

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#2 21-04-2019 22:57:28

Deugard
Membre
Inscription : 28-12-2018
Messages : 36

Re : Adhérence et boule fermé

Bonsoir,
la preuve de l'inclusion semble juste, mais il y a plus direct :
$B(x,r) \subset B'(x,r)$ , car si  d(x,y)<r  alors  d(x,y)$\leqslant$r , donc:
$\overline{B(x,r)}\subset \overline{B'(x,r)}=B'(x,r)$ qui est un fermé ;
la propriété :  $X\subset Y \Rightarrow \overline{X} \subset \overline{Y}$, qui est en principe du cours,
se démontre ainsi:  si $x\in \overline{X}$, alors,  $\forall \epsilon >0,\, B(x,\epsilon) \cap X \neq \emptyset$ ,
donc $B(x,\epsilon) \cap Y \neq \emptyset$ , puisque $X \subset Y$ , d'où $x \in \overline{Y}$ .
Pour l'inclusion réciproque, voici un contre-exemple (tiré d'un vieux cours) :
dans $\mathbb{N}$, muni de la distance induite  d(x,y):=|x-y|, on a:  $B(1,1)=\{1\}$,
d'où $\overline{B(1,1)}=\{1\}$, car un singleton est fermé, mais $B'(1,1)=\{0,1,2\}$ .
On trouve un autre contre-exemple à l'exercice 4 de:
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00037.pdf
L'exercice 5 qui suit montre qu'il y a l'égalité $\overline{B(x,r)}=B'(x,r)$ dans
un espace vectoriel normé .

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