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#1 19-04-2019 15:08:02

oussama96
Invité

espace euclidien

bonsoir :)

SVP j'ai besoin de l'aide sur cet exercice , voilà ;

soit E un espace euclidien de dimension finie et f un endomorpisme auto adjoint de E
pour tout x ∈ E , on pose h(x)= ||f(x)||²- ( f(x) |x) ²
le symbole |  signifie produit scalaire

1/ h est-elle minoré ?

2/ à qu'elle condition h est-elle majoré ?

3/si h majoré calculer sup h(x) , x∈E 

merci

#2 20-04-2019 07:38:13

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 223

Re : espace euclidien

Bonjour

  Voici un petit peu d'aide pour démarrer : que se passe t il si x est un vecteur propre de f. Ensuite tu devras utiliser une propriété bien connue des endomorphismes auto adjoints....

F.

Hors ligne

#3 20-04-2019 10:29:34

oussama96
Invité

Re : espace euclidien

merci pour la réponse ,

pour x vecteur propre je trouve h(x)=0

j'ai essayé d'introduire une base de vecteur propre orthonormé mais je trouve pas un résultat

quelle propriété je dois utiliser pour f autoadjoint ?

#4 20-04-2019 11:57:55

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 223

Re : espace euclidien

Il faut effectivement introduire une base orthonormale de becteurs propres. A vue de nez tu risques de devoir comparer une somme de carrés et le carré d'une somme...

Hors ligne

#5 20-04-2019 14:25:30

oussama96
Invité

Re : espace euclidien

je pose x= Σ ai ei      avec (e1,e2 ,,,,,) base de vecteurs propres orthonormée

on a donc :

h(x)=  Σ ai²  -  (  Σ ai²  ( f(ei) |ei) ²

je sais pas que faire ensuite

#6 20-04-2019 21:13:28

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 223

Re : espace euclidien

Je ne suis pas d'accord avec ta première ssomme. Il faut aussi que tu introduises les valeurs propres associées.

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