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#1 19-04-2019 09:09:47

mati
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système fondamentale d'une edo

Bonjour
soit $\{\phi_1,\phi_2\}$ un système de solutions fondamentales sur un intervalle $I$ pour l'edo d'ordre 2 $y''+a(x)y=0$.
La question est de montrer qu'il existe un système de solutions fondamentales $\{y_1,y_2\}$ tel que le Wronksien $W(y_1,y_2)$ satisfasse: $W(y_1,y_2)=1$.
Je sais que $\{y_1,y_2\}$ un système fondamentale veut dire que toute solution de l'edo s'écrit sous la forme $y=c_1 y_1+c_2 y_2$ où $c_1$ et $c_2$ sont deux constantes réelles arbitraires, et on sait aussi que $W[y_1,y_2]= y_1 y_2'-y_1'y_2$. Mais je n'arrive pas à trouver une solution à la question et quel est le lien avec $\{\phi_1,\phi_2\}$?

Bien cordialement

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#2 19-04-2019 12:16:50

D_john
Invité

Re : système fondamentale d'une edo

Salut,
Il suffit simplement d’écrire :
[tex] \begin{bmatrix} y_{1} & y_{2} \\ y'_{1} & y'_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \phi_{1} & \phi_{2} \\ \phi'_{1} & \phi'_{2} \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} p & r \\ q & s \end{bmatrix} [/tex]
et de prendre le déterminant des 2 membres...

#3 19-04-2019 17:18:56

mati
Membre
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Re : système fondamentale d'une edo

Salut
qui sont $p,r,q,s$? Qu'est ce que vous utilisez comme méthode?

Bien cordialement

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#4 19-04-2019 18:57:51

D_john
Invité

Re : système fondamentale d'une edo

mati a écrit :

Je sais que $\{y_1,y_2\}$ un système fondamentale veut dire que toute solution de l'edo s'écrit sous la forme $y=c_1 y_1+c_2 y_2$ où $c_1$ et $c_2$ sont deux constantes réelles arbitraires,...

Heu... mouais ! tu sais... mais tu ne sais pas utiliser !

Supposons que y1 soit solution de l'ED. Tu peux donc écrire :
[tex] y_{1} = p. \phi_{1} + q. \phi_{2} [/tex]
où p et q sont des constantes (que tu peux appeler c1 et c2 si tu veux).
De même pour y2.

Tu dois savoir dériver ces 2 équations... ce qui te donne 4 équations.
Ces 4 équations, tu les compactes à l'aide du calcul matriciel sous la forme donnée en #2. Je t'invite à développer ce produit matriciel pour te convaincre que c'est bien équivalent aux 4 équations obtenues.

En calculant les déterminants des 2 membres, tu obtiens une relation entre les Wronksiens :
   
[tex] W\left(y_{1}, y_{2} \right) = (p.s-q.r).W\left(\phi_{1}, \phi_{2} \right) [/tex]

Tu peux donc choisir les constantes de telle sorte que :
   
[tex] W\left(y_{1}, y_{2} \right) = 1 [/tex]

OK ?

#5 19-04-2019 19:02:34

mati
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Re : système fondamentale d'une edo

Mais ça dépend aussi de $W(\phi_1,\phi_2)$ et on ne connaît pas sa valeur

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#6 19-04-2019 20:39:31

D_john
Invité

Re : système fondamentale d'une edo

mati a écrit :

La question est de montrer qu'il existe un système de solutions fondamentales $\{y_1,y_2\}$ tel que le Wronksien $W(y_1,y_2)$ satisfasse: $W(y_1,y_2)=1$.

Personne ne te demande de calculer y1 et y2...

[tex] \forall W\left(\phi_{1}, \phi_{2} \right) \ne 0, \exists (p, q, r, s) \quad \mid \quad (p.s-q.r) = \frac{1}{W\left(\phi_{1}, \phi_{2} \right)} \quad \Rightarrow \quad W\left(y_{1}, y_{2} \right) = 1 [/tex]

OK ?

#7 20-04-2019 09:06:31

mati
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Re : système fondamentale d'une edo

Bonjour
merci pour la réponse. Vous avez un cours qui donne tout ce qu'il faut sur le Wronksien?

Bien Cordialement

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#8 20-04-2019 10:43:21

D_john
Invité

Re : système fondamentale d'une edo

Bonjour,
Il suffit d'aller là :
http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … skien.html
Bonne lecture.
Cordialement

#9 20-04-2019 10:58:24

mati
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Re : système fondamentale d'une edo

Merci. Ce cours ne contient pas le résultat qu'on voit dans cet exercice. Quelle est l'idée à retenir? Ou bien peut on le formuler comme théorème?

Bien cordialement

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#10 20-04-2019 15:15:43

D_john
Invité

Re : système fondamentale d'une edo

Heu... curieux, ce résultat, je le vois dans ce résumé de cours !

Il y a un seul théorème suivi de quelques lignes qui étendent sa validité aux EDO du type de celle de ton exo et tu ne l'as pas vu ?
Essaie au moins de l'appliquer et repasse par ici si tu as besoin d'aide.
Le truc c'est de considérer Y(x) le vecteur de composantes y(x) y'(x) obtenues à partir de ton ED.
A+

#11 20-04-2019 18:00:40

mati
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Re : système fondamentale d'une edo

Oui mais ça ne donne pas l'idée du calcul. Quand je refais je bloque à ce niveau:
$y_1= \alpha_1 \phi_1 + \alpha_2 \phi_2$, $y_1'= \alpha_1 \phi_1' + \alpha_2 \phi_2'$ puis $y_2= \beta_1 \phi_1+ \beta_2 \phi_2$, $y_2'= \beta_2 \phi_1' + \beta_2 \phi_2'$.
On a par définition: $$W(y_1,y_2)= y_1 y_2' - y_2 y_1' = (\alpha_1 \phi_1 + \alpha_2 \phi_2)(\beta_1 \phi_1'+ \beta_2 \phi_2') -(\beta_1 \phi_1 + \beta_2 \phi_2)(\alpha_1 \phi_1' + \alpha_2 \phi_2')$$
et là en développant je me perd carrément dans les calculs, je ne retrouve pas $W(\phi_1,\phi_2)$.
Comment on voit que $W(\phi_1,\phi_2)$ apparaît?

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#12 20-04-2019 18:04:43

D_john
Invité

Re : système fondamentale d'une edo

Oups ! En essayant de répondre à la question proprement, je viens de m'apercevoir que tu as raison, ce théorème ne suffit pas...

#13 20-04-2019 18:11:27

mati
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Re : système fondamentale d'une edo

De quel autre théorème on a besoin?

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#14 20-04-2019 18:35:30

D_john
Invité

Re : système fondamentale d'une edo

Nos messages se croisent...

Pour se placer dans les conditions du théorème, il faut d’abord mettre ton EDO sous la forme :
   
[tex] \left[\begin{array}{c} y' \\ y'' \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\frac{a(x)}{2} & 0 \end{array}\right] .  \left[\begin{array}{c} y \\ y' \end{array} \right][/tex]  soit :
[tex] Y'(x) = A(x).Y(x) \qquad Y(x) \in \mathbb{R}^{2} [/tex] avec A matrice carrée de taille 2.

On sait que [tex] \left\{\Phi_{1}(x) , \Phi_{2}(x) \right\} [/tex] est un système de solutions fondamentales pour . x [tex] \in I [/tex]
C’est donc une base de l’EV de dimension 2 constitué par l’ensemble des solutions de cette EDO.

Toute famille [tex] \left\{Y_{1}(x) , Y_{2}(x) \right\} [/tex] de solutions fondamentales (wronskien non nul) peut s’écrire dans cette base sous la forme [tex] \left[ Y_{1}(x) , Y_{2}(x) \right] = B. \left[ \Phi_{1}(x) , \Phi_{2}(x) \right] [/tex] avec B matrice carrée de taille 2.

En prenant les dét des 2 membres...
[tex] W\left( Y_{1}(x) , Y_{2}(x) \right) = \det B. W\left( \Phi_{1}(x) , \Phi_{2}(x) \right) [/tex]

Or [tex] W\left( \Phi_{1}(x) , \Phi_{2}(x) \right) \ne 0 \qquad \forall x\in I [/tex]

A partir de là, j'ai d'énormes doutes sur mes conclusions...

A+

#15 20-04-2019 19:53:39

mati
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Re : système fondamentale d'une edo

Peut être que quelqu'un peut nous aider à y voir plus clair

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#16 20-04-2019 22:20:51

D_john
Invité

Re : système fondamentale d'une edo

Ce qui me dérangeait : la matice A n'est pas utilisée !
En fait si, elle sert à ramener ton EDO à la forme qui permet d'appliquer le théorème. Pour nous, ce théorème se résume à la possibilité de diviser par un wronskien qui ne s'annule pas sur I. On obtient bien alors un W = 1 au premier membre CQFD.

#17 20-04-2019 22:33:12

D_john
Invité

Re : système fondamentale d'une edo

... et en relisant le tout, je vois que la matrice B n'est pas du bon côté du produit où elle intervient.
Le tout, sauf d'autres erreurs !

#18 21-04-2019 12:26:06

mati
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Re : système fondamentale d'une edo

Bonjour,
j'ai du mal à comprendre. Qui est la matrice B?

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#19 01-05-2019 12:22:16

D_john
Invité

Re : système fondamentale d'une edo

Bonjour,

Désolé, je déterre après un voyage pascal... comme les cloches !
J’en ai profité pour revoir mon bouquin de cours et ce flou qui émergeait de ma mémoire s’est un peu clarifié. En fait, tout repose sur une formule dite de Liouville.
[tex] W_{\phi}(t) = W_{\phi}(s).\exp(\int_{s}^{t}Tr(A(u)).du) [/tex]

La trace de A étant nulle (2 valeurs propres imaginaires conjuguées) dans ton exo, le wronskien du système de solutions fondamentales est constant sur I. Disons [tex] W_{\phi}(x) = W_{\phi}^{0} [/tex].
Il en est de même pour toutes les paires de combinaisons linéaires de ces 2 solutions fondamentales, à condition qu’elles soient indépendantes évidemment (càd dét(B) non nul).
La matrice B est simplement le tableau des constantes intervenant dans les 2 combinaisons linéaires qui relient {[tex] \phi_{1}, \phi_{2} [/tex]} et {[tex] y_{1}, y_{2}[/tex]}.
[tex] \begin{bmatrix} y_{1} & y_{2} \\ y'_{1} & y'_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \phi_{1} & \phi_{2} \\ \phi'_{1} & \phi'_{2} \end{bmatrix} . B [/tex]
       
Il y a donc toute liberté (ou presque) pour choisir les coefficients de B.
Sans trop me casser la tête, je choisis par exemple
[tex] B = \frac{1}{W_{\phi}^{0}} . \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] [/tex].

#20 02-05-2019 22:54:34

D_john
Invité

Re : système fondamentale d'une edo

Oups ! Pour que dét B = 1/W, il faut évidemment prendre B = I2/W1/2

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