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#1 17-04-2019 12:53:00
- ralphe97
- Invité
convergence en mesure et sous-suite
Bonjour, J'ai une question concernant la convergence en mesure, si on considère un espace mesuré $(F,\mathcal{A},\mu)$ ($\mu(F) \in [0;+\infty]$) et si $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de fonctions mesurables à valeurs réelles et qui converge en mesure vers une fonction mesurable $f$, alors on sait qu'il existe une sous-suite de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge $\mu-p.p$ vers $f$. La preuve se fait grace à $\lim_n\mu(\left\{|f_n-f|>\epsilon \right\})=0,$ c'est-à-dire
$$\forall \epsilon >0, \forall \eta >0, \exists n_0 \in \mathbb{N};\forall n \geq n_0, \mu(\left\{|f_n-f|>\epsilon \right\}) \leq \eta \ \ \ \ \ \ \ (P)$$
La question est : la dernière proposition $(P)$ est la définition de la limite d'une suite réelle convergeant vers 0, mais $\mu$ peut prendre la valeur $+\infty$, alors pourquoi on a le droit d'écrire la proposition $(P)$ (Il me semble qu'on a pris la valeur absolue $|.|$ comme distance sur $[0,+\infty]$)? Il n'y aura pas de problèmes, par exemple s'il existe $k \in \mathbb{N}$ telle que $\mu(\left\{|f_k-f|>\epsilon \right\})=+\infty$ (qui ne peut pas etre majoré par $\eta$) ?
Merci
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