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#1 12-04-2019 18:28:01

Shadows Asgard
Invité

Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Bonjour, j'ai une question concernant cet exercice. J'ai écrit ma question en vert tout à droite dans le lien ci-dessous.

lien énoncé : https://goopics.net/i/ogJmY

Merci d'avance pour votre réponse

#2 12-04-2019 19:44:10

Zebulor
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Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Bonsoir,
J'ai du mal à lire ce qui est en vert. Pourquoi ne pas réécrire ici ce que tu as écrit en vert ailleurs ?

Tu peux déjà te pencher sur ce lien très bien fait :

http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … ction.html

et par exemple tester les égalités que tu as entourées en vert sur des exemples d'applications bien spécifiques qui y figurent.

Dernière modification par Zebulor (12-04-2019 19:53:21)

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#3 13-04-2019 15:05:21

Shadows Asgard
Invité

Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Bonjour, ma question que j'&ai écrit en vert sur l'énoncé est : Les 2 questions que j'ai entourées, la 5)a) et la 5)b) sont bizarres, car le fait que f^(-1)(f(A))=A et que f(f^(-1) (B))=B c'est tout le temps vrai, peu importe que f soit injective ou surjective ou ni l'un ni l'autre, car à partir du moment où on compose une fonction de quelque chose par l'inverse de cette fonction, il ne reste plus que le quelque chose en question tout seul?

#4 13-04-2019 17:23:35

Zebulor
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Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Bonsoir,

Shadows Asgard a écrit :

f^(-1)(f(A))=A et que f(f^(-1) (B))=B c'est tout le temps vrai, peu importe que f soit injective ou surjective ou ni l'un ni l'autre, car à partir du moment où on compose une fonction de quelque chose par l'inverse de cette fonction, il ne reste plus que le quelque chose en question tout seul?

"c'est tout le temps vrai"? Pas tout à fait… :

1) [tex]f[/tex] est une application dans l'intitulé de ton exercice,
2) [tex]f(A)[/tex] désigne l'ensemble contenant les éléments [tex]f(x)[/tex] tels que [tex]x[/tex] appartient à [tex]A[/tex], où [tex]A[/tex] est un sous ensemble de l'ensemble de départ.
3)[tex]{f}^{-1} (B)[/tex] désigne l'ensemble des éléments [tex]x[/tex] dont l'image [tex]f(x)[/tex] appartient à [tex]B[/tex], où B est un sous ensemble de l 'ensemble d'arrivée.

Ces notations sont des abus de notations parce qu'elles désignent des images ou images réciproques de sous ensembles…

Donc il faut bien voir [tex]{f}^{-1}[/tex] n'est pas l'application réciproque de [tex]f[/tex] dans ce que tu as écrit.., que tu nommes "inverse d'une fonction"

Il se trouve que pour une application bijective et seulement bijective, pour tout élément [tex]x[/tex] de l'ensemble de départ, [tex]{f}^{-1}(f(x))=x[/tex].

[tex]{f}^{-1}[/tex] n'existe que dans ce cas et désigne l'application réciproque de [tex]f[/tex]...De même pour tout élément [tex]y[/tex] de l'ensemble d'arrivée [tex]f({f}^{-1}(y))=y[/tex]

Je te renvoie au lien du post #2, dans lequel tu as " La fonction qui à une personne associe sa date de naissance ". C'est même plus qu'une fonction, c'est une application car toute personne a une date de naissance !
A toi de voir si : pour tout [tex]A[/tex] appartenant à l'ensemble des parties de E (ensemble de départ), [tex]{f}^{-1}(f(A))=A[/tex] reste encore vraie. En y regardant de près pour cette application de 3 éléments vers un ensemble de 3 éléments.. c'est faux!

Dernière modification par Zebulor (15-04-2019 07:59:33)

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#5 14-04-2019 08:55:33

Shadows Asgard
Invité

Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Merci :-)

#6 14-04-2019 08:57:29

Zebulor
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Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

:-)

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#7 14-04-2019 09:21:16

Shadows Asgard
Invité

Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Et j'ai une autre question concernant cet exercice, concernant la question 3)b). J'ai écrit ma question en vert et en rouge tout en bas dans le lien ci-dessous. Car en effet, je voudrais savoir, lorsqu'il est dit "si Card(F)<=Card(E)", mais en quoi cette information influe sur le fait qu'il puisse exister une surjection de E dans F.
N'aurait-on pas pu dire tout ça sans que "Card(F)<=Card(E)" ?

lien corrigé : https://goopics.net/i/a2N3g

Merci d'avance pour votre réponse

#8 14-04-2019 10:16:53

Zebulor
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Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

re,

Shadows Asgard a écrit :

N'aurait-on pas pu dire tout ça sans que "Card(F)<=Card(E)" ?

Juste une  remarque au préalable par rapport au début du 3)b)
[tex]\forall y \in A[/tex], [tex]y \in B[/tex] est équivalent à [tex]A \subset B[/tex] parce que :
1)si un élément appartient à A, alors il appartient à B. Tous les éléments de A sont éléments de B.
2)Réciproquement si [tex]A \subset B[/tex], alors chaque élément de A est un élément de B et [tex]\forall y \in A[/tex], [tex]y \in B[/tex]

Et autre chose (en rouge sur fond jaune), sachant que [tex]f[/tex] est une application de E dans F.
Tu écris : "[tex]F[/tex] est une application surjective de [tex]E[/tex] dans [tex]F[/tex] si et seulement si [tex]F \subset f(E)[/tex]"

Sans être faux, ce n'est pas "mathématiquement" exact.. Car tous les éléments de [tex]f(E)[/tex] sont aussi dans [tex]F[/tex] étant donné que [tex]f[/tex] est une application de E dans F, ce qui se traduit par : [tex]f(E) \subset F[/tex], inclusion toujours vraie quelle que soit la nature de l'application!

Par ailleurs tu peux très bien avoir à alors fois : [tex]F \subset f(E)[/tex] ET f injective de E dans F. Exemple : l'identité à la fois injective et surjective..  Compliqué n'est ce pas?

La proposition rigoureuse est donc :  "[tex]F[/tex] est une application surjective de [tex]E[/tex] sur [tex]F[/tex] si et seulement si [tex]F = f(E)[/tex]". Ce qui revient à "[tex]F[/tex] est une application surjective de [tex]E[/tex] sur [tex]F[/tex] si et seulement si [tex]F \subset f(E)[/tex] ET  [tex]f(E)\subset F [/tex]"

Shadows Asgard a écrit :

N'aurait-on pas pu dire tout ça sans que "Card(F)<=Card(E)" ?

Il me semble que non et la démonstration que tu postes en lien est spécifique au cas de la surjection..

Sa première partie de la démonstration consiste à démontrer que si f est surjective alors card(F)<=card(E).

Sa deuxième partie cherche à démontrer la réciproque. L'hypothèse de la suite de la démonstration a changé : on part de :

Hypothèse 1 : f application de E dans F donc a priori quelconque
Hypothèse 2 : introduit une condition supplémentaire : card(F)<=card(E)

L'idée, c'est que l'ensemble de départ contient au moins autant d'éléments que l'ensemble image : [tex]n \ge p[/tex].. Nécessairement, ces 2 hypothèses impliquent que f une surjection et c'est ce qu'on veut démontrer :

C'est du comptage avec  les variables indicées [tex]x_k[/tex] et [tex]y_k[/tex] :

Dans le détail compte tenu des hypothèses précédentes : E contient n éléments et F en contient p avec [tex]p \le n[/tex].
ce qui veut dire, puisque chaque élément de E n'a qu'une seule image, qu'il existe une bijection de p éléments de E vers p éléments de F, et que les (n-p) éléments restants de E sont associés à un seul élément [tex]y_p[/tex] de F par une surjection. C'est arbitraire car on peut avoir d'autres surjections pour cette dernière application. Voilà ce que je comprends de ton exercice..
Au bilan on construit bien une surjection de n éléments de E sur p éléments de F. Si [tex]p=n[/tex], c'est une bijection donc aussi une surjection. Si [tex]n \gt p[/tex] c'est une surjection "pure" (terme non mathématique !) au sens où chaque élément de F a au moins un antécédent et où il existe au moins un élément de F possédant au moins 2 antécédents…

Dernière modification par Zebulor (20-04-2019 17:06:31)

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#9 15-04-2019 00:56:33

Shadows Asgard
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Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

D'accord merci, mais dans le dernier paragraphe, quand vous dites "puisque chaque élément de E n'a qu'une seule image", mais pourquoi ?

Aussi merci d'avoir corrigé ma propriété surligné en jaune qui était érronée.
Et justement j'ai un doute par rapport à une autre propriété que j'ai écrite dans le lien suivant en rouge surligné en jaune: https://goopics.net/i/VxVmA
En effet, est-ce vrai que " si f est une appication injective de E dans F, alors Card(f(E))= Card(E)" ?

#10 15-04-2019 04:10:40

Zebulor
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Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Bonjour,

Shadows Asgard a écrit :

puisque chaque élément de E n'a qu'une seule image", mais pourquoi ?

Parce que c'est la définition d'une application : tout élément de l'ensemble de départ a une image et une seule dans l'ensemble image.
Il ne peut pas en avoir deux ou plus, auquel cas ce n'est plus une application.
Exemple : la courbe paramétrée de type M(x=cos(t),y=sin(t)) n'est pas le graphe d'une application.
Et dans une application, il n'y a pas d'élément de l'ensemble E qui n'a pas d'image ..

Shadows Asgard a écrit :

est-ce vrai que " si f est une appication injective de E dans F, alors Card(f(E))= Card(E)" ?

Oui : quels que soient 2 éléments distincts de l'ensemble de départ E, leurs images respectives sont différentes, ce qui se traduit par : [tex]\forall (x,y) \in E^2 [/tex], [tex] (x \ne y \implies f(x) \ne f(y))[/tex].
Donc les [tex]n[/tex] éléments distincts de E (à supposer que card(E)=n) ont chacun une image (parce que c'est une application), qui leur est propre (parce que c'est une injection): il y en a donc autant d'images que d'éléments de E, soit [tex]n[/tex]. Si on prend la contraposée : si deux images sont égales, alors elles proviennent du même antécédent...

On peut s'aider de schémas pour y voir plus clair dans tout çà...

Dernière modification par Zebulor (22-04-2019 12:32:49)

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#11 16-04-2019 02:06:52

Shadows Asgard
Invité

Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Bonjour, d'accord merci, et j'ai une autre question concernant la question 3)c). J'ai écrit ma question en vert tout en haut dans le lien ci-dessous.
En effet, je voudrais savoir, quand il est dit "On peut alors écrire qu'il existe une bijection f de E vers [|1; n|] et une bijection g de F vers [|1;n|]", mais pourquoi dit-on ça ? Quel est le lien avec "Card(E)=Card(F)" ?

lien corrigé : https://goopics.net/i/ZO9Qv

Merci d'avance pour votre réponse

#12 16-04-2019 17:18:34

Zebulor
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Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Bonsoir,
ton lien corrigé commence par "la réciproque peut se démontrer de deux façons différentes".
De quelle réciproque s'agit il ? Il me manque le début pour y voir plus clair..

Je crois comprendre, et tu me diras si je me trompe, que dans le paragraphe précédent, on suppose qu'il existe une bijection de E vers F, et on veut démontrer que card(E)=card(F)...

Réciproquement, si j'ai bien compris,  l'hypothèse est : f est une application de E vers F a priori quelconque telle que card(E)=card(F)=n.
E=F=[tex][\![1;n]\!][/tex]. En termes clairs : E et F contiennent les [tex]n[/tex] premiers entiers.

On peut alors construire des applications de natures différentes de E vers F, et - c'est ton sujet - notamment bijectives de E vers F. Même raisonnement pour les applications de F vers E, ces 2 ensembles jouant un rôle symétrique parce qu'ils sont identiques!

Construire une bijection de E vers F c'est associer à chaque entier de E compris entre 1 et n un unique entier de F compris entre 1 et n : dans cette bijection 2 entiers quelconques de E ne peuvent pas avoir la même image dans F.

Exemple : n=3 . 1 a pour image 1 ,2 a pour image 2 , 3 a pour image 3 : c 'est une bijection de [tex][\![1;3]\!][/tex] vers [tex][\![1;3]\!][/tex]
Ou bien : 1 a pour image 2 , 2 a pour image 1, 3 a pour image 3. c 'est autre une bijection de [tex][\![1;3]\!][/tex] vers [tex][\![1;3]\!][/tex].
Tu peux dénombrer le nombres de bijections de [tex][\![1;n]\!][/tex] vers [tex][\![1;n]\!][/tex] pour [tex]n[/tex] quelconque… ou dénombrer le nombre d'applications à la fois non injectives et non surjectives de E vers F...

Pour élargir le sujet, toute application injective de [tex][\![1;n]\!][/tex] vers [tex][\![1;n]\!][/tex] est bijective, de même pour toute application surjective de [tex][\![1;n]\!][/tex] sur [tex][\![1;n]\!][/tex]. D'après les posts précédents cess résultats se démontrent facilement...

Dernière modification par Zebulor (17-04-2019 07:04:42)

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#13 18-04-2019 02:58:07

Shadows Asgard
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Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Bonjour, ah oui pardon, voilà le début manquant du corrigé de la question:

https://goopics.net/i/3JjXq

#14 18-04-2019 07:50:31

Zebulor
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Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Bonjour,
Ok j'ai lu merci. Bon courage car j'ai l'impression que tu es sur tous les fronts ..

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#15 19-04-2019 05:56:09

Shadows Asgard
Invité

Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Merci :-)

#16 19-04-2019 06:43:14

Shadows Asgard
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Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Bonjour, d'accord merci, et j'ai une autre question concernant la question 3)c). J'ai écrit ma question en vert tout dans le lien ci-dessous.
En effet, je voudrais savoir, pourquoi on dit " pour tout j de [|1;p|], il existe un unique i de [|1;p|], yj = f(xi) " ?

lien corrigé : https://goopics.net/i/a2xJZ

Merci d'avance pour votre réponse

#17 19-04-2019 08:12:51

Zebulor
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Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Bonjour,
au début du ii) on définit une application de [tex][\![1;n]\!][/tex] vers [tex][\![1;n]\!][/tex], et on construit une application de E dans F telle que :
[tex]\forall k \in [\![1;n]\!], f(x_k)=y_k [/tex].
Si on reprend le fil dès le départ : les [tex]y_k[/tex] pour [tex]k \in [\![1;n]\!][/tex]sont distincts deux à deux ( (au début du 3) me semble t il sous réserve d'avoir bien suivi le fil de ton sujet), de même que les [tex]x_k[/tex]. ( cf la fin de : https://goopics.net/i/VxVmA )

d'après ces hypothèses :  [tex]\forall k \in [\![1;n]\!], f(x_k)=y_k [/tex] traduit le fait que f est injective ! définition de l'injectivité : pour tout [tex]x_i[/tex] différent de [tex]x_j[/tex], [tex]f(x_i)[/tex] différent de [tex]f(x_j)[/tex]  pour tous (i,j) dans [tex][\![1;n]\!][/tex] ...

Shadows Asgard a écrit :

pourquoi on dit " pour tout j de [|1;p|], il existe un unique i de [|1;p|], yj = f(xi) " ?

Chaque élément [tex]x_k[/tex] (il y en a [tex]n[/tex]) possède donc une unique image [tex]y_k[/tex] (unique aussi au sens chaque [tex]y_k[/tex] est différent des autres [tex]y_j[/tex] (il y en a [tex]n[/tex] aussi) , ce qui revient à écrire que chaque [tex]y_k[/tex] a un unique antécédent dans l'ensemble de départ..

Une application surjective est telle que chaque [tex]y_k[/tex] a au moins un antécédent : en l'occurence un seul ici !

f est donc surjective : et c'est ce que traduit la phrase mathématique que tu as entourée avec le "pourquoi", précisant que chaque [tex]y_k[/tex] n'a qu'un seul antécédent (signe : point d'exclamation).

Conclusion : f est injective et surjective donc bijective.

Dernière modification par Zebulor (19-04-2019 11:28:38)

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#18 20-04-2019 04:07:19

Shadows Asgard
Invité

Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Bonjour, d'accord merci, et j'ai une autre question concernant la question 6)a). J'ai écrit ma question en vert tout dans le lien ci-dessous.
En effet, je voudrais savoir, pourquoi là où j'ai entouré en vert le premier truc on a une équivalence, alors que plus bas le deuxième truc que j'ai entouré en vert on a juste une simple implication ?

lien corrigé : https://goopics.net/i/JoQbr

Merci d'avance pour votre réponse

#19 20-04-2019 09:41:39

Zebulor
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Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

re,
le "premier truc" résulte de la définition...il y a équivalence. Juste une chose : [tex]\forall i \in [\![1;n]\!],  x \in A_i[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]x \in \bigcup _{j=0}^n A_j[/tex]
Le deuxième truc est en effet assez subtil : l'intersection des images n'est pas nécessairement incluse dans l'image des intersections.
Je te propose un raisonnement par l'absurde, il se peut bien que d'autres soient mieux inspirés que moi...
Exemple : Soit [tex]y[/tex] appartenant à l'intersection des images des [tex]A_i[/tex], tels que chaque [tex]A_i[/tex] contienne un seul élément [tex]x_i[/tex]. Alors [tex]y=f(x_1)=f(x_2)=...[/tex] et  [tex]f(A_i)[/tex] n'est jamais vide, puisque y existe..cest l ensemble qui contient [tex]y[/tex]

On prend un cas particulier en supposant arbitrairement que les [tex]x_k[/tex] sont deux à deux distincts. Alors l'intersection des [tex]A_i[/tex] est l'ensemble vide, et l'image de cette intersection (vide) est donc aussi un ensemble vide, par construction de f.
Conclusion : si on avait l'équivalence dans le "deuxième truc", alors l'intersection des images des Ai (qui est non vide : c'est {y} )serait incluse dans l'image de l'intersection qui se trouve être l'ensemble vide : on aboutit à un résultat absurde. L'équivalence dans le deuxième truc n'est donc vraie que dans un certain cas… sur lequel je te le laisse méditer.

Un exemple, pour fixer les idées : f(1)=5 et f(2)=5 avec [tex]A_1[/tex]={1} et [tex]A_2[/tex]={2}. Autre exemple : idem avec f(2)=10. Mais tu peux aussi explorer les exercices et cours de ce site...je viens de m'apercevoir qu'il y a plus de choses que je ne le pensais…
En espérant que tu vas retrouver tes petits dans le supermarché .

Dernière modification par Zebulor (21-04-2019 14:43:43)

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#20 21-04-2019 17:05:55

Shadows Asgard
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Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

D'accord merci. Et j'ai une question concernant la question 7)a), c'est ce que j'ai indiqué en vert dans le lien ci-dessous.
En effet, je voudrais savoir comment on passe d'un truc à l'autre entre les deux trucs que j'ai souligné en vert ?
Est-ce que c'est parce que E barre = ensemble vide ?
Si oui, pourquoi ?

lien corrigé 7)a) : https://goopics.net/i/xEgvR

#21 21-04-2019 20:21:55

Zebulor
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Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

re,
[tex]f[/tex] fait correspondre à tout élément de E un élément de F.
[tex]f(\overline E)[/tex] est l'image des éléments qui ne sont pas dans E ou encore l'image de la partie vide de E (cette partie vide est notée [tex]\emptyset[/tex]). Car si ces éléments ne sont pas dans E, alors ils ne sont nulle part...
Partie vide de E = ensemble vide = ensemble ne contenant aucun élément de E

Et pour répondre au "premier truc" de ton post #18 en essayant d'être concis :
[tex]f(\cup A_i)[/tex]={[tex]f(x)[/tex]; [tex]x \in \bigcup A_i[/tex]}=[tex]\bigcup[/tex]{[tex]f(x)[/tex], [tex]x \in A_i[/tex]}=[tex]\bigcup f(A_i)[/tex].

Question de travail sur la définition ...Pour l'intersection, tu as vu que c'est plus compliqué...tu t'en sors ?

Dernière modification par Zebulor (24-04-2019 15:40:37)

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#22 22-04-2019 06:15:18

Shadows Asgard
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Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

D'accord merci. Et j'ai une question concernant la question 7)a), c'est ce que j'ai indiqué en rouge dans le lien ci-dessous.
En effet, je voudrais savoir comment on passe d'un truc à l'autre entre les deux trucs que j'ai souligné en rouge ?
Est-ce que c'est parce que c'est une vérité générale le fait que: "f(E) C ensemble vide si et seulement si f(E)=0 " et " ensemble vide C f(E) si et seulement si f(E) = 0 " ?

lien corrigé 7)a) : https://goopics.net/i/pXV3q

#23 22-04-2019 08:25:10

Zebulor
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Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Tu dis "d'accord" : j'en déduis que tu t'en sors.
Si [tex]\overline {f(E)}[/tex] est inclus dans l'ensemble vide, alors tous ses éléments sont dans l'ensemble vide… ce dernier ne contenant aucun élément par définition. [tex]\overline {f(E)}[/tex] ne peut alors qu'être vide : [tex]\overline {f(E)} \subset \emptyset \Rightarrow \overline {f(E)}=\emptyset[/tex].
Et cette implication dans ce sens est suffisante. Même si sa réciproque : [tex]\overline {f(E)}=\emptyset \Rightarrow \overline {f(E)} \subset \emptyset [/tex] est aussi vraie, elle n'est pas nécessaire pour cette partie de la démonstration : que l'ensemble vide soit inclus dans lui même n'apporte rien...par ailleurs où on utilise ici le fait que [tex]E \in \mathscr{P}(E)[/tex]

Dernière modification par Zebulor (22-04-2019 15:29:30)

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#24 24-04-2019 01:24:46

Shadows Asgard
Invité

Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Bonjour d'accord merci.
Oui pardon je m'en sors mais c'est vrai que cet exercice me donne pas mal de fil à retordre mais bon c'est normal il nous a bien été spécifié que c'était un exercice difficile car très technique.
Et j'ai une question concernant la question 7)a), c'est ce que j'ai indiqué en rouge tout en bas dans le lien ci-dessous.
En effet, je voudrais savoir comment passe-t-on de "f(E)=F " à "f est surjective" ?
Est-ce que c'est du cours et qu'on a la relation " f est surjective de E vers F <=> f(E)=F " ?

lien corrigé 7)a) : https://goopics.net/i/XOnrb

#25 24-04-2019 05:30:20

Zebulor
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Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Bonjour,
et content d'avoir des nouvelles. C'est technique et il ne faut pas hésiter à faire des schémas avec des patates, des flèches…Certains exercices me paraissent à ce sujet assez abstraits et difficiles..
Si c'est du cours ? En tout cas ma réponse à ton post #24 est en grande partie dans le post #6 : je le reprends.

2 ensembles A et B sont strictement identiques signifie que tous les éléments d'un ensemble sont aussi éléments de l'autre ensemble … montrer que A=B c'est montrer que [tex]A \subset B[/tex] ET  [tex]B \subset A[/tex].. : inclusion réciproque.

[tex]f(E)[/tex]={[tex]f(x), x \in E[/tex]}. Tous les éléments de [tex]f(E)[/tex] sont dans [tex]F[/tex] étant donné que [tex]f[/tex] est une application de E dans F, ce qui se traduit par : [tex]f(E) \subset F[/tex] (1), inclusion toujours vraie quelle que soit la nature de l'application… chaque élément de E a une seule image, et cette dernière est dans F. A ce stade là, Pour une application [tex]f[/tex] quelconque a priori: des éléments de F peuvent très bien ne pas avoir d'antécédent(s) dans E.

Par contre lorsque [tex]f[/tex] est surjective, tout élément de F a au moins un antécédent dans E (soit un ou plus ) : Par définition : [tex]\forall y \in F, \exists x \in E[/tex]  tq [tex] y=f(x)[/tex], d'où [tex]y[/tex] [tex]\in f(E)[/tex] car [tex]f(E)[/tex]={[tex]f(x), x \in E[/tex]}. C'est le point délicat à comprendre! Si tu l'as compris alors tu as tout compris.

Pour résumer le paragraphe précédent : si [tex]y \in F[/tex], alors [tex]y \in f(E)[/tex], soit : [tex]F \subset f(E)[/tex] (2)….

Conclusion : f surjective <=>(1) et (2)<=> [tex] f(E) \subset F[/tex] et [tex] F \subset f(E) [/tex] <=> [tex] f(E)=F [/tex] en espérant t'avoir donné satisfaction..

NB : De manière générale : [tex]f(E)=F/ [/tex][tex]\overline {f(E)}[/tex]: l'ensemble F privé d'éléments qui n'appartiennent pas à l'image de E. Une application surjective ne présente pas de tels éléments, ce qui s'écrit : [tex]\overline {f(E)}=\emptyset[/tex] ou bien [tex]\overline {\overline {f(E)}}=\overline \emptyset[/tex], ou bien encore [tex] f(E)=F [/tex] (f(E) barbare c'est lui même!!)
Parenthèse : Pour une application injective on peut avoir [tex]y[/tex] [tex]\in F[/tex] tel que [tex]y[/tex] [tex]\notin f(E)[/tex]. Dans ce cas  [tex]F \not\subset f(E)[/tex] : il suffit qu'un seul élément de F n'ait pas d'antécédent pour que f ne soit pas surjective.
J'arrête là.. je préfère être raisonnable.

Dernière modification par Zebulor (25-04-2019 07:18:01)

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