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steph.ronar

Invité

continuité d'une fonction

Salut, j'avais une question, si quelqu'un peut m'aider svp

Soit $\alpha \in \mathbb{R}.$ Soit $f :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dérivable en $\alpha.$

Soit  $\phi (x,y)=\left\lbrace\begin{matrix}\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \ \ si \ \ x \neq y \\ f'(\alpha) \ \ si \ \ x=y \end{matrix}\right.$

$\phi$ est-elle continue en $(\alpha,\alpha)$? Pourquoi?

Merci d'avance

Zebulor

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Re : continuité d'une fonction

Bonsoir,
ça me fait penser au théorème dit de "la limite de la dérivée"...mais j'hésite. Cette histoire de continuité de [tex]\phi[/tex] en [tex](\alpha,\alpha)[/tex] me gêne..

En tout cas, à titre purement informatif, le voici :
Soit f : [a,b[ --->R une fonction. On suppose que [tex]f[/tex] est dérivable sur ]a,b[ et CONTINUE en a et que lim [tex]f'(x)[/tex] existe quand x tend vers a+.
La limite : [tex]\frac {f(x)-f(a)}{x-a}[/tex] quand x tend vers a existe alors aussi et vaut : lim [tex]f'(x)[/tex] quand x tend vers a+

Ce théorème est énoncé à droite de [tex]a[/tex] mais on peut aussi l'énoncer à gauche de [tex]a[/tex]

Dernière modification par Zebulor (07-04-2019 22:59:10)

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Fred

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Re : continuité d'une fonction

Hello,

  Tu peux prouver la continuité en $\alpha$ par exemple en utilisant le théorème des accroissements finis.

F.

steph.ronar

Invité

Re : continuité d'une fonction

Bonsoir, pour appliquer le th des accroissements finis il faut supposer f derivable sur Un intervalle... Mais là f est derivable en $\alpha$

Zebulor

Membre expert

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Re : continuité d'une fonction

Simple remarque : il se trouve que la démonstration du théorème que j'ai cité fait appel au th des accroissements finis...

Dernière modification par Zebulor (08-04-2019 14:10:47)

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Fred

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Re : continuité d'une fonction

Re,

  Sans hypothèses supplémentaires sur $f$, je pense alors que $f$ n'est pas forcément continue.
Considère $f(x)=x^a \cos(1/x^b)$, avec $a,b$ à déterminer. Pour $a>1$, la fonction est dérivable en $0$.

Considère ensuite $x_n=1/(2n\pi)^{1/b}$ et $y_n=1/(2n\pi+\pi)^{1/b}$ (je les ai choisi ainsi de sorte que $f(x_n)-f(y_n)=x_n^a+y_n^a$. Trouve un équivalent (en $n^c$) du numérateur et du dénominateur. On doit pouvoir choisir à la fin $a$ et $b$ de sorte que $(f(x_n)-f(y_n))/(x_n-y_n)$ tend vers $+\infty$.

(si je ne me trompe pas, un rapide calcul fait sur le coin d'une feuille me donne comme condition $\frac ab<\frac 1b+1$).

F.

steph.ronar

Invité

Re : continuité d'une fonction

Bonjour Fred, merci pour votre contre-exemple. j'avais une question si $\alpha \in \mathbb{R}$ et $f$ et $h$ sont deux fonnctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R},$ et si $\phi$, dans ce cas est definie par : $\phi(x,y)=\left\lbrace\begin{matrix}\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \ \ si \ \ x\neq y \\ h(x) \ \ si \ \ x=y \end{matrix}\right.$
Quelles sont les conditions sur $\alpha,f \ et \ h$ pour que $\phi$ soit continue en $(\alpha,\alpha)?$

Fred

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Re : continuité d'une fonction

Une condition nécessaire, c'est que $f$ soit dérivable en $\alpha$ et que $f'(\alpha)=h(\alpha)$.
Si on ajoute de plus que $f$ est $C^1$ au voisinage de $\alpha$, alors cette condition devient suffisante.

Je ne suis pas sûr qu'il y ait une condition nécessaire et suffisante simple à écrire.

F.

D_john

Invité

Re : continuité d'une fonction

Salut à tous,

Salut, j'avais une question, si quelqu'un peut m'aider svp

Soit $\alpha \in \mathbb{R}.$ Soit $f :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dérivable en $\alpha.$

Soit  $\phi (x,y)=\left\lbrace\begin{matrix}\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \ \ si \ \ x \neq y \\ f'(\alpha) \ \ si \ \ x=y \end{matrix}\right.$

$\phi$ est-elle continue en $(\alpha,\alpha)$? Pourquoi?

Merci d'avance

En réponse, une proposition sans certitude... Est-elle valable ?

En considérant les restrictions g et h de [tex] \phi(x, y) [/tex] selon 2 directions perpendiculaires en [tex] \left( \alpha, \alpha\right) [/tex] :
    [tex] g(x) = \phi(x, y)~si~y=x [/tex]        et    [tex] h(x) = \phi(x, y)~si~y=2\alpha-x [/tex]
on a :
    [tex] g(\alpha) = f'(\alpha) [/tex]
et
    [tex] h(\alpha) = \left[\frac{f(x) - f(2\alpha-x)}{2(x-\alpha)} \right]_{x=\alpha} = \frac{1}{2}.f'(\alpha) [/tex]

[tex] \phi [/tex] n’est donc pas continue en [tex] \left( \alpha, \alpha\right) [/tex].

Merci de confirmer (ou non !).

D_john

Invité

Re : continuité d'une fonction

Heu... désolé, une nouvelle blague à mon actif ! Je confirme que c'est faux.

steph.ronar

Invité

Re : continuité d'une fonction

Pensez-vous si l'on suppose que $f$ est derivable en $\alpha$ et que si $\lim_{(x,y)\rightarrow (\alpha,\alpha)} \frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f'(\alpha)=h(\alpha)$ alors $\phi$ sera continue en $(\alpha,\alpha)$?

D_john

Invité

Re : continuité d'une fonction

Oui, c'est ce que je pense (en tout cas pour l'instant !) car la restriction h(x) de [tex] \phi(x, y) [/tex] à toute droite du plan (x,y) de pente p passant par [tex] \left( \alpha, \alpha\right) [/tex]
[tex] h(x) = \phi(x, y)~si~y=px + (1-p)\alpha [/tex]
donnera toujours le même résultat
[tex] h(\alpha) = f'(\alpha) [/tex]