Devoir maison

yannD · 06-04-2019 20:21:07

Bonsoir, j'ai un DM à rendre dans une 1 semaine, j'ai commencé à travailler tout seul cet après midi, et je bloque surtout pour la deuxième partie de celui-ci.
Voici l'énoncé :
Dans un repère (o,i, j) on place les points A(-2;1) B(2;3) et C(3;-1)
1. Déterminer les coordonnées des points suivants
a) C' est le symétrique de C par rapport à B
b) D image de C par la translation de vecteur AB
c) E définie par AE = 3 fois vecteur AB
d) J milieu de [DC']
2. Montrer que J est le milieu de [AE] Quelle est la nature de ADEC' ?
3. a)déterminer m pour que M(m;5) soit aligné avec les points A et B
b) Soit P(p+5;p) déterminer p pour que vecteur CP et vecteur AB soient colinéaires
c) Déterminer la nature qu quadrilatère MPCB

Où j'en suis :
J'ai trouvé les coordonnées du point C' et aussi celles du point D et du point E par contre je n'arrive pas à placer le point J et pour la 2) je ne comprends pas pourquoi on me demande de montrer J milieu de [aE] si je n'ai pas montré au préalable que ADEC' est un parallélogramme. Pouvez-vous m'aidez s'il vous plait ?

Dernière modification par yannD (06-04-2019 20:29:26)

Zebulor · 06-04-2019 21:33:39

Bonsoir Yann,
J'ai l'impolitesse de chasser sur le terrain de Yoshi, provisoirement… mais je peux au moins t 'aider pour le tout début...quitte à ce qu'il me replace par la suite.
J milieu de [DC'] : si tu as bien trouvé les coordonnées de D et C', tu dois pouvoir trouver celles de J : [tex]x_J=(x_d+x_c')/2[/tex] et [tex]y_J=(y_d+y_c')/2[/tex]. Tu devrais trouver J(4;4)

Et je crois comprendre que la question 2) ne correspond pas à ton schéma mental...alors tu préfères prendre la question à l'envers.. tu peux en effet commencer par démontrer que ADEC' est un parallélogramme.. mais il se pourrait que ce soit plus long.. Alors pourquoi ne pas suivre le schéma qui t'est proposé..

Dernière modification par Zebulor (06-04-2019 21:58:18)

yannD · 06-04-2019 21:49:55

Bonsoir Zebulor, mais il n'ya aucune impolitesse, si ce n'est moi qui pose un sujet un peu tard, et je suis bien content que tu m'aides…

yoshi · 06-04-2019 21:52:36

Re,

Rapidement,
D(7;1)
E(10;7)
C'(1;7)
[tex]x_J=\dfrac{x_D+x_{C'}}{2}[/tex]

[tex]y_J=\dfrac{y_D+y_{C'}}{2}[/tex]
Tu devrais pourtant savoir ça....
Puis tu cherches les coordonnées du milieu de [AE] :
[tex]x=\dfrac{x_A+x_E}{2}[/tex]

[tex]y=\dfrac{y_A+y_E}{2}[/tex]
Tu constates que ce sont les même donc J milieu de [C'D] est aussi le milieu de [AE].
Donc le quadrilatère ADEC' a des diagonales qui ont le même milieu Et donc le quadrilatère ADEC' est un ....
Pigé ?

Q3 a) je chercherais l'équation de la droite (AB), puis je chercherais quelle est l'abscisse du point M de la droit qui a pour ordonnée 5.
Ou encore je calcue les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ puis celles du vecteur $\overrightarrow{AM}$ (en utilisant m) et j'écris que ces deux vecteurs sont colinéaires (méthode dans ton cours).
Tu obtiens une équation avec m pour inconnue que tu résous pour trouver m = 6

B) Idem pour P en gardant p : tu appliques la condition de colinéarité pour $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CP}$, tu trouves une équation d'inconnue p que tu résous pour trouver p (=0)

@+

yoshi · 07-04-2019 08:16:35

RE,

Et je crois comprendre que la question 2) ne correspond pas à ton schéma mental...alors tu préfères prendre la question à l'envers.. tu peux en effet commencer par démontrer que ADEC' est un parallélogramme.. mais il se pourrait que ce soit plus long

Pas vu le post de Zebulor, hier soir.
On peut... Oui.
Doit-on ? Sûrement pas !
Cette démo lui coûterait du temps et serait refusée : la nature du quadrilatère est demandée après... Donc, elle doit être déduite de la question sur J milieu des diagonales. Point...

Sinon, ça devient :
Je montre que ADEC' est un parallélogramme
J'en déduis que les diagonales ont le même milieu J
Puisque les diagonales ont le même milieu J j'en déduis que ADEC' est un parallélogramme ?????

Où cela serait-il accepté ?
En 4e on n'a de cesse de de se battre avec ce procédé...

La solution est dans l'énoncé :
1.d) J est le milieu de [DC'] -------------------> On calcule ses coordonnées
2. Montrer que J est le milieu de [AE]. -------------> On calcule les coordonnées du milieu de [AE] sans dire que c'est J
(on ne le sait pas)
On fait constater mêmes coordonnées
Mêmes coord. => Même point => J milieu de [AE] et [DC']
[AE] et [DC'] sont les diagonales du quadrilatère ADEC'
Donc les diagonales du quadrilatère ADEC' ont même milieu J
Quelle est la nature de ADEC' ? ------------------> Les diagonales quadrilatère ADEC' ont le même milieu J c'est
donc un parallélogramme

@+

yannD · 07-04-2019 13:58:02

Bonjour à Yoshi et à Zebulor, je vous remercie pour vos conseils, j'ai rédigé de cette façon pour les 5 premières questions :

a) déterminer les coordonnées de C' symétrique de C par rapport à B
A(-2;1)
B(2;3)
C(3;1)
C' est le symétrique de C par rapport à B donc B est le milieu de [CC']

(xC + xC')/2 = xB <=> (3 + xC')/2 = 2 <=> 3/2 + xC' /2 = 2 <=>xC'/2 = 2 - 3/2 <=> xC'/2 = 1/2 <=> xC' = 1/2 * 2/1 = 1

(y C+ yC')/2 = yB <=> (-1 + yC') /2 = 3 <=> -1/2 + yC' /2 = 3 <=> yC'/2 = 3 + 1/2 <=> yC'/2 = 7/2 <=> yC' = 7/2 * 2/1 = 7

C' (1 ; 7)

b) D image de C par translation de vecteur AB donc, ces vecteurs sont égaux
Donc je peux écrire l'égalité suivante :
vecteur AB = vecteur CD

vecteur AB c'est (xB - xA ; yB - yA) = (2 -(-2) ; 3 - 1) = (4 ; 2)
et vecteur CD c'est (xD - xC ; yD - yC) = (xD - 3; yD +1 )

comme vecteur AB = vecteur CD, je peux écrire les 2 équations :

xD - 3 = 4 <=> xD = 7
et yD + 1 = 2 <=> yD = 1

Donc : D(7 ; 1)

c) E définie par AE = 3 AB
le vecteur AE c'est (xE - xA ; yE - yA) = (xE +2; yE -1)
comme AE = 3 AB , je peux écrire les 2 équations suivantes :

XE + 2 = 12 <=> xE = 12 - 2 = 10
et yE - 1 = 6 <=> yE = 6 + 1 = 5

d) J milieu de [DC']
j'utilise la formule qui donne les coordonnées du milieu pour avoir xJ = (xD + xC') /2 = (7+1)/2 = 4

et yJ = (yD + yC')/2 = 4

2. Montrer J milieu de [AE]

J'ai trouvé les coordonnées de E , c'est (10;7) donc xJ = (xA + xE)/2 = (-2 + 10)/2 = 4
et yJ = (xA + xE)/2 = (1 + 7)/2 = 4
alors :
je constate que les coordonnées du point J milieu de [DC'] sont les mêmes que celles du milieu de [AE]
Or, on me demande de prouver que le quadrilatère ADEC' est un parallélogramme, donc de prouver que ses diagonales ont le même milieu.
Le quadrilatère ADEC' a pour diagonales [AE] et [DC'], puisque J est milieu des deux diagonales de ADEC', c'est un parallélogramme.

Dernière modification par yannD (07-04-2019 14:05:49)

yoshi · 07-04-2019 14:59:26

Re,

je constate que les coordonnées du point J milieu de [DC'] sont les mêmes que celles du milieu de [AE]
Or, on me demande de prouver que le quadrilatère ADEC' est un parallélogramme, donc de prouver que ses diagonales ont le même milieu.
Le quadrilatère ADEC' a pour diagonales [AE] et [DC'], puisque J est milieu des deux diagonales de ADEC', c'est un parallélogramme.

Je constate que les coordonnées du point J milieu de [DC'] sont les mêmes que celles du milieu de [AE] : les diagonales [AE] et [CD'] du quadrilatères ADEC' ont donc le même milieu J.
Puisque les diagonale du quadrilatère ADEC' ont le même milieu alors, ADEC' est un parallélogramme.
Comme ça, c'est propre !!!
Jusque là, c'était bien.

@+

yannD · 07-04-2019 15:57:54

oui, mais la question : Quelle est la nature de ADEC' sous-entend qu'il faut montrer que c'est un parallélogramme et la seule façon d'y arriver est la règle : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors les diagonales ont même milieu. ET c'est pourquoi j'avais ajouté cette ligne (que j'ai enlevé maintenant )…

Dernière modification par yannD (07-04-2019 15:58:27)

yoshi · 07-04-2019 17:02:41

Bonjour

oui, mais la question (...)

Pourquoi "mais" ?
C'est ce que j"ai détaillé dans le post #5 : simplement, je l'ai repris ici, en supprimant la "littérature"...
Tu n'as jamais besoin de répéter la question...

@+

yannD · 07-04-2019 17:46:57

. Bonsoir Yoshi, maintenant que la Q2 est faite, je rédige la question suivante et pour cela, j'utilise la 1ere méthode que tu m'as proposé c'est à dire en trouvant une équation de la droite (AB).

Je suis parti de la forme générale d'une équation de droite :
$y = mx +p $
Cette droite passe par le point A et par le point B donc ces 2 points vérifient cette équation
Donc les coordonnées du point A et celles du point B vérifient l'équation de la droite,
Je choisi le point A pour trouver l'équation et je remplace x et y par les coordonnées du point A(-2;1)
$1 = (-2) . m + p$
$p = 2 m + 1$
Je reprends la forme générale et je remplace $p$ par la valeur trouvée.
soit : $y = mx + 2m + 1 $
Donc arrivé là, si j'ai bien compris j'ai une équation de droite qui passe par un seul point, donc j'ai une équation qui va vérifier beaucoup de droites

Dernière modification par yannD (07-04-2019 18:01:53)

yoshi · 07-04-2019 20:24:21

Re,

Tout faux !!! ?
[tex]m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/tex] tu dois trouver 1/2

Quant à p, ton équation s'écrivant maintenant $y=\frac 1 2 x+p$, tu écris que les coordonnés de A (ou B comme tu veux) vérifient l'équation de la droite avec x l'abscisse de A (ou de B) et y l'ordonnée de A (ou de B)... Quand même pas compliqué de trouver p...
Ensuite l'équation connue à la place de x tu mets m et à la place de y, tu mets 5, tu résous et tu trouves l'abscisse x cherchée

@+

[EDIT]
Ah, jebvois ...
Tu as confondu le m de M(m;5) avec le m de y=mx+p... Rien à voir ! Moi, j'utilise bien y =mx+p mais le plus souvent on utilise y =ax+b...
Donc tu as :
[tex]a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/tex]
puis $y=\frac 1 2 x+b$ et tu cherches B comme je l'ai dit...
Pur la suite (question 3.b), réutilise y=ax+b parce que coordonnées de P : P(p+5;p) tu risques encore la confusion.

Dernière modification par yoshi (07-04-2019 20:49:53)

yannD · 07-04-2019 20:48:52

bonsoir Yoshi,

donc $m = 1/2$
Équation réduite :
$y = mx+p <=> y = 1/2x + p$ d'où $p = y -1/2x$

Je remplace $x$ par $-2$ et $y$ par $1$
$p = 1 -1/2 . (-2) <=> p = 2$

L'équation de la droite (AB) s'écrit, désormais : $y = 1/2x + 2$

Maintenant je cherche l'abscisse (petit m) du point M qui passe par cette droite.
Comme les coordonnées de ce point vérifient l'équation de la droite, je remplace x par m et y par 5
$y = 1/2x + 2 $
$5 = 1/2 . m + 2 <=> 5 - 2 = 1/2 m <=> m = 3 * 2 = 6 $
résultat : $M(6;5)$

Je viens de voir ton EDIT, non, c'est pas ça,( je n'ai pas confondu le m de (m;5) ce que j'ai voulu faire c'est ça :
• à partir de la forme réduite d'une équation de droite $y = mx + p $
• j'ai cherché la valeur de p en remplaçant x et p par les coordonnées de A(-2;1)
• puis j'ai remplacé p dans $y = mx+p$ et j'ai trouvé une équation avec m donc une équation de droite passant par un point

Dernière modification par yannD (07-04-2019 20:57:31)

yoshi · 07-04-2019 21:01:50

C'est juste.
Relis mon post pour la suite... si tu calcules l'équation de la droite (AP) pour éviter une nouvelle confusion à cause de p.
Tu dois te souvenir dans ce cas que deux droites parallèles ont même coefficient directeur.
Puisque alors C n'est pas sur (AB) alors (AB) et (CP) sont deux droites parallèles et distinctes.

Avec $\overrightarrow{AB}(x_1\,;\,y_1)$ et $\overrightarrow{CP}(x_2\,;y_2)$ si (condition de colinéarité des vecteurs) $x_1y_2-x_2y_1=0$ alors $\overrightarrow{AB}(x_1\,;\,y_1)$ et $\overrightarrow{CP}(x_2\,;y_2)$ sont colinéaires.
Rappel : colinéaire est à prendre au sens large (et non étymologique) : c'est aussi bien deux vecteurs // que 2 vecteurs sur la même drote)

@+

yannD · 08-04-2019 15:54:41

Bonjour Yoshi, pourquoi faut-il calculer l'équation de la droite (AP)

yoshi · 08-04-2019 16:10:26

RE,

si tu calcules l'équation de la droite (AP) pour éviter une nouvelle confusion à cause de p.

Faute de frappe.
Lire : si tu calcules l'équation de la droite (CP) pour éviter une nouvelle confusion à cause de p

D'ailleurs une idée m'est venue d'une 3e méthode. On n'a même pas besoin de l'équation de (CP) !
Puisque tu connais l'équation de (AB) tu connais le coefficient directeur de (AB) donc celui de (CP)...
Il te suffit de reprendre C(3 ; -1) puis P(p+5,p) de calculer ce coefficient directeur en fonction de p cette fois puis d'écrire qu'il est égal à celui de (AB) et résoudre la petite équation d'inconnue p.

Comprends-tu ?

@+

yannD · 08-04-2019 16:32:23

Ouf ! Faute de frappe du clavier …
Avant de poursuivre avec la 3e méthode que tu me proposes, je préfères continuer la 1ère méthode
Pour la question a) les points A, B et M sont alignés donc il a été facile de trouver le petit "m" et cela en écrivant que les coordonnées de M vérifient l'équation de la droite (AB).
Mais pour la question b) c'est bien plus différent, les points ne sont pas sur la même droite

Dernière modification par yannD (08-04-2019 16:47:00)

yoshi · 08-04-2019 17:44:21

Rooohhh...

Qu'est-ce que je t'ai dit ?
$\overrightarrow{CP}$ et $\overrightarrow{AB}$ doivent être colinéaires...
--> Si $\overrightarrow{CP}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont sur la même droite alors il est évident (CP) et (AB) ont le même coefficient directeur, puisqu'il n'y a qu'une seule droite.

--> Si $\overrightarrow{CP}$ et $\overrightarrow{AB}$ ne sont pas sur la même droite alors puisqu'ils sont colinéaires ils sont portés par deux droites différentes qui sont parallèles.
Or, deux droites parallèles ont même coefficient directeur$
Donc, dans les 2 cas, coefficient directeur de (CP)=coefficient directeur de (AB) =1/2

Donc, pour l'instant, l'équation de (CP) s'écrit [tex]y=\frac 1 2x +b[/tex]
Il te reste à écrire que C(3;-1) est sur cette droite pour trouver b (ordonnée à l'origine).
Et quand tu as l'équation complète, tu écris que P(p+5 ; p= est sur cette droite. Petite équation à résoudre et tu trouves p... et donc tu peux placer le point P.

@+

yannD · 08-04-2019 17:53:35

(AB) // (CP)
donc (AB) et (CP) : même coefficient directeur ( c'est le même a )

Et pour (AB), j'ai trouvé 1/2

Donc : l'équation s'écrit $ y = 1/2x + p$ et j'écris que les coordonnées de C(3;-1) vérifient l'équation puisque C est un point de la droite
$-1 = 3 (1/2) + p => p = -1 - 3/2 = > p = -2/2 - 3/2 = -5/2$

Equation de (CP) :$ y =0.5x - 2.5$

Maintenant, c'est P(p+5;p) qui vérifie l'équation, et à la place de $x$ c'est $p+5$
$p = 0.5 . (p+5) - 2,5 => p = 0.5p => p - 0.5p = 0 $

Dernière modification par yannD (08-04-2019 17:58:59)

yannD · 09-04-2019 15:25:23

Salut Yoshi, merci pour l'aide

yoshi · 09-04-2019 16:29:46

Re,

Coefficient directeur m de (CP) coefficient directeur de (AB)= $\frac 1 2$
C( 3; -1) P(p+5 ; p)
$m=\dfrac{p+1}{p+5-3}=\dfrac{p+1}{p+2}$

O a donc :
$\dfrac{p+1}{p+2}=\dfrac 1 2$
$\Leftrightarrow$
$2(p+1)=p+2$
$\Leftrightarrow$
$2p+2=p+2$
$\Leftrightarrow$
$2p-p =0$
D'où p=0

Avec les vecteurs : $\overrightarrow{AB}(4\,;\,2)\quad \overrightarrow{CP}(p+2\,;\,p+1)$
Pour que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CP}$ soient colinéaires, il faut et il suffit que :
[tex]4(p+1)-2(p+2)=0[/tex]
$\Leftrightarrow$
$4p+4-2p-4=0$
$\Leftrightarrow$
$2p=0$
Et p=0

Vois-tu que tu n'as pas besoin de l'équation de (CP) ?

@+

yannD · 11-04-2019 16:52:52

Bonsoir Yoshi, je suis en train de recopier mon DM mais j'ai encore besoin d'aide pour la dernière question,

a) déterminer m pour que M(m;5) soit aligné avec les points A et B
Pour que les points A, B et M soient alignés, il faut que le vecteur AB et le vecteur AM soient colinéaires , donc :
vecteur AB = (4;2) et vecteur AM (xM - (-2);yM - 1) soit vecteur AM (m + 2; 4)
Ces deux vecteurs doivent être colinéaires donc j'applique la condition de colinéarité de 2 vecteurs : xy' - x'y = 0
soit : $4(4) - 2(m+2) = 0$
$16 - 2m - 4 = 0$
$12 - 2m = 0$
$12 = 2m$
d'où $m = 6$
Les coordonnées du point M sont (6;5).

b) soit P(p+5 ; p) déterminer p pour que les vecteurs AB et CP soient colinéaires.
C(3;-1)
vecteur AB (4;2) et vecteur CP (xP - 3 ; yP -(-1))
vecteur CP (p+5 - 3; p +1)
vecteur CP (p+2; p+1)
Les vecteurs AB et CP sont colinéaires si : $xy' - x'y = 0$
si : $4(p+1) - 2(p+2) = 0$
$4p + 4 - 2p - 4 = 0$
$2p = 0 $
d'où $p = 0$
Avec p = 0, les coordonnées du point P sont p+ 5 = 5 et p = 0 donc P (5;0)

c) Déterminer la nature du quadrilatère MPCB
https://www.cjoint.com/c/IDloVyduHmt
J'ai mis : les vecteurs AB et CP sont colinéaires donc les droites (AB) et (CP) sont parallèles mais la longueur AB n'est pas égale à la longueur CP, donc MPCB n'est pas un parallélogramme.

Dernière modification par yannD (11-04-2019 16:55:00)

yoshi · 11-04-2019 17:27:02

Salut,

mais la longueur AB n'est pas égale à la longueur CP,

Ça se voit, mais où l'as tu prouvé ?
A faire.

Une réponse type "ce n'est pas un parallélogramme", moi, ne me satisfait pas...
Ce n'est pas un parallélogramme d'accord.
La réponse n'est pas non plus : c'est un quadrilatère quelconque, sinon on ne t'aurait pas posé la question...
Alors qu'est-ce que c'est ?

On peut lui accoler deux qualificatifs : isocèle ou rectangle.
Dans le 1er cas, tu peux en obtenir un, si tu coupes un triangle isocèle parallèlement à la base et que tu jettes la pointe (le petit triangle isocèle obtenu).
Dans le 2e cas, tu peux en obtenir un, si tu coupes un triangle rectangle parallèlement à un des côtés de l'angle droit et que tu jettes la pointe (le petit triangle rectangle obtenu).
C'est un .... quelconque (ni isocèle ni rectangle)
Alors quel nom vas-tu mettre à la place des .... ?

@+

yannD · 11-04-2019 18:01:10

Bonsoir Yoshi, pour le 1 er cas, si je coupe un triangle isocèle parallèlement à la base, c'est comme si je déplace une droite parallèle à la base donc je vais avoir une droite qui va couper les 2 autres cotés en leur milieu mais après je ne comprends pas comment je jette la pointe

Dernière modification par yannD (11-04-2019 18:38:53)

yoshi · 11-04-2019 19:37:08

Je parle de découper avec une paire de ciseaux. Tu dessines un triangle soit isocèle, soit rectangle, sur une feuille et tu découpes ce triangle.
Puis tu re-découpes ce triangle comme indiqué...
Il te reste deux morceaux en main : un triangle et un quadrilatère. Ce quadrilatère a un nom, lequel ?

Dans la famille des quadrilatères
il y a d'un côté, parallélogramme, rectangle, losange, carré (famille des parallélo), et à côté de la famille une branche, une famille "oubliée" des quadrilatères (il es très rare de trouver des exos de Géométrie autres que demandant des calculs d'aire. Au passage, l'aire de ce type de quadrilatère n'est pas particulièrement simple : $\frac{(B+b)\times h}{2}$, B=Grande Base, b = petite base, h = hauteur).

yannD · 11-04-2019 19:45:28

Bonsoir Yoshi, je trace un triangle isocèle sur une feuille blanche, pas la peine de lui donner un nom.
Je trace une parallèle à la base que je déplace vers le sommet
et je découpe mon triangle par la droite qui coupe les milieux des 2 autres cotés (en fait) …
et bien j'obtiens un Trapèze + 1 triangle isocèle

Dernière modification par yannD (11-04-2019 19:55:43)

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#1 06-04-2019 20:21:07

Devoir maison

#2 06-04-2019 21:33:39

Re : Devoir maison

#3 06-04-2019 21:49:55

Re : Devoir maison

#4 06-04-2019 21:52:36

Re : Devoir maison

#5 07-04-2019 08:16:35

Re : Devoir maison

#6 07-04-2019 13:58:02

Re : Devoir maison

#7 07-04-2019 14:59:26

Re : Devoir maison

#8 07-04-2019 15:57:54

Re : Devoir maison

#9 07-04-2019 17:02:41

Re : Devoir maison

#10 07-04-2019 17:46:57

Re : Devoir maison

#11 07-04-2019 20:24:21

Re : Devoir maison

#12 07-04-2019 20:48:52

Re : Devoir maison

#13 07-04-2019 21:01:50

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#14 08-04-2019 15:54:41

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#15 08-04-2019 16:10:26

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#16 08-04-2019 16:32:23

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#17 08-04-2019 17:44:21

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#20 09-04-2019 16:29:46

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#22 11-04-2019 17:27:02

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#24 11-04-2019 19:37:08

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#25 11-04-2019 19:45:28

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