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#1 04-04-2019 22:44:54

hicham alpha
Membre
Inscription : 19-03-2018
Messages : 86

integral

bonjour

merci de m'aider svp en ceci :

Soit f : [0, 1] → R continue. On suppose que pour tout n ∈ N :

$\int_{0}^{1}f(x)x^ndx = 0$. Que dire de f ?

je pense que f soit nulle. est-ce vrai ?
si oui, donner moi svp une démarche à suivre pour la prouver ( utiliser la limite, ..)

bonne journée


La vie est un art

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#2 05-04-2019 05:08:34

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 279

Re : integral

Bonjour,
est ce bien [tex]n \in N[/tex] ou [tex]n \in N^*[/tex]… ? les cas [tex]f[/tex] strictement positive ou [tex]f[/tex] strictement négative ne satisfont pas l'équation; [tex]f[/tex] s'annule donc au moins une fois sur [0;1]..

Peut être tenter un raisonnement par l'absurde ?

Dernière modification par Zebulor (05-04-2019 07:57:29)

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#3 05-04-2019 08:53:11

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 244

Re : integral

Bonjour,

  Oui, $f$ est nulle. L'idée est de démontrer que, sous les hypothèses de ton énoncé, $\int_0^1 f^2(t)dt=0$ ce qui entraîne, par les théorèmes classiques d'intégration, que $f=0$. Pour cela, tu peux remarquer que $\int_0^1 f(t)P(t)dt=0$ pour ton polynôme $P$, puis utiliser le théorème de Weierstrass qui te dit qu'il existe une suite de polynômes $(P_n)$ qui converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$...

F.

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#4 24-04-2019 22:09:23

hicham alpha
Membre
Inscription : 19-03-2018
Messages : 86

Re : integral

merci bcps pour vos réponses


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#5 24-04-2019 22:30:40

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 279

Re : integral

@hicham alpha : euh ok. c'est surtout Fred qui a contribué! mais merci.

Dernière modification par Zebulor (24-04-2019 22:31:28)

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