Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

yoshi · 25-03-2019 21:24:37

Quant au deuxième point : x1<x2 implique x1-x2<x2-x2, et en simplifiant cette deuxième inégalité tu as l'implication =>

De toutes façons dès que tu dis, par écrit, "implique, le symbole mathématique pour l'écrire en Maths, c'est : $\Rightarrow$
Implique = Entraîne obligatoirement.
Donc
écrire x1<x2 implique x1-x2<x2-x2, c'est écrire en maths [tex]x_1<x_2 \Rightarrow x_1+(-x_2)<x_2+(-x_2)[/tex], ce qui est basé sur "L'addition conserve l'ordre".
Et puisque $x_2+(-x_2)=0$ alors [tex]x_1<x_2 \Rightarrow x_1+(-x_2)<0[/tex]...

@+

yannD · 25-03-2019 21:32:12

Pour le # 50 :
1ère explication, oK pour moi
Merci Yoshi

yoshi · 25-03-2019 22:22:02

Re,

Pourtant une définition c'est clair, c'est confortable...
On dit que [tex]x_2>x_1[/tex] si [tex]x_2 - x_1\in \mathbb{R}^{*+}[/tex]
$\mathbb{R}^{*+}$ c'est l'ensemble des nombres réels strictement positifs...
Et

On dit que [tex]x_2>x_1[/tex] si et seulement si [tex]x_2 - x_1\in \mathbb{R}^{*+}[/tex]

si je traduis ça en français alors j'écris :
On dit qu'un nombre $x_2$ est strictement supérieur à un nombre $x_1$ si et seulement si la différence $x_2 - x_1$ est strictement positive
Donc
écrire qu'on prend deux nombres $x_1$ et $x_2$ tels que $x_2 >x_1$ c'est la même chose qu'écrire qu'on prend deux nombres $x_1$ et $x_2$ tels que $x_2 - x_1>0$, ce sont deux formulations parfaitement équivalentes, l'une peut remplacer l'autre...

Bonne nuit

Zebulor · 25-03-2019 22:57:04

Bonsoir,

Et Yoshi a bien raison de préciser :

yoshi a écrit :

….le visuel ne constitue pas une preuve admise...

Je pense toutefois que pour assimiler une notion abstraite, il faut à un moment ou à un autre se la représenter… et sans exemple concret ça me parait difficile..

Bonne nuit

yannD · 26-03-2019 13:38:07

Bonjour yoshi et zebulor, je n'avais pas mon téléphone ce matin et hier soir j'ai dû aller dormir et c'est pour dire que j'aime beaucoup faire des maths avec vous.
Merci pour l'aide du forum et j'ai réussi à répondre et j'ai même aidé mes camarades
Je vous souhaite une excellente journée

Dernière modification par yannD (26-03-2019 13:42:24)

Zebulor · 26-03-2019 15:23:22

Bonjour YannD,

merci pour cette délicate attention. C'est surtout Yoshi qui t'a aidé. Ces notions de logique figurent dans des programmes post bac (implications, équivalences, phrases mathématiques), mais il me semble qu'elles devraient être abordées et approfondies beaucoup plus tôt. Ce n'est qu 'une opinion personnelle..

A bientôt qui sait ! Et excellente journée de même.

yoshi · 26-03-2019 16:48:23

Re,

Yann le mélomane a le cœur sur la main !

Ces notions de logique figurent dans des programmes post bac (implications, équivalences, phrases mathématiques)

J'aurais même écrit Logique (avec une lettre capitale)...
Je pense qu'en France on prend le mauvais chemin : la rigueur ça s'apprend et le plus tôt est le mieux, disons dès la 6e...
Moi, ce que j'ai vu jusqu'à maintenant, c'est que systématiquement dès qu'une notion "grattait" trop, hop !, elle était vouée à disparaître des programmes...
Nombreux sont ceux qui même en 1ere confondent toujours ne serait-ce que somme et addition, produit et multiplication, terme et facteur...
En ce qui concerne la Logique, je crois me souvenir que du temps des Maths "modernes", des notions figuraient dans les programmes (au moins qq tables de vérité), fonction, application (on faisait la différence), injection, surjection, bijection...

Les élèves sont souvent piégés par les mots mathématiques dont ils n'ont qu'une notion approximative : combien de fois du temps où j'étais en activité ai-je dû traduire en français ce qui était demandé...
Et je m'attirais la réponse : Ah bon, c'était ça que ça voulait dire... et ça dégrippait les rouages !

@+

yannD · 26-03-2019 18:26:31

Bonjour Yoshi, as-tu le temps de revenir sur la comparaison de $-0,701$ et $-0,702$ …
# 46

Dernière modification par yannD (26-03-2019 18:27:27)

yoshi · 26-03-2019 18:58:59

Re,

Oui, bien sûr...
je pose $x_1=-0,701$ et $x_2=-0,702$
En vertu de la définition,
si $x_1<x_2$ alors $x_1-x_2<0$
si $x_1>x_2$ alors $x_1-x_2>0$

Calculons donc $x_1-x_2$
$x_1-x_2=-0,701-(-0,702)=-0,701+0.702= 0,001 >0$
Donc $-0,701 >-0,702$

@+

yannD · 26-03-2019 19:11:01

Si j'ai demandé pour tu reviennes sur cette méthode c'est surtout parce que quand j'ai à comparer $-0,701$ et $-0,702$ et bien je fais un brouillon sur une feuille quadrillée…
Je trace un axe gradué, je place 0 au milieu de celui-ci et je fais une graduation : -0,9 ; -0,8; -0,7; -0,6 ; -0,5 dans cet ordre
puis je retrace un autre axe sur la même feuille et je prends un écart un peu plus grand entre $-0,7$ et $- 0,6$ pour trouver $-0,702$ et $-0,701$
Je me rends compte avoir toujours procédé ainsi, et la définition : a a - b < R* , jusqu'à présent, je ne l'avais pas vu.
a a - b appartient à R*

Dernière modification par yannD (26-03-2019 20:36:20)

yoshi · 26-03-2019 20:03:20

Re,

Attention,

$\mathbb{R}^*$ c'est l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels privé de 0...
A ne pas confondre avec :
$\mathbb{R}^-$ ensemble des nombres réels négatifs ou nuls, donc l'ensemble des $x\leqslant 0$
$\mathbb{R}^{*-}$ ensemble des nombres réels strictement négatifs, donc l'ensemble des $x< 0$

$\mathbb{R}^+$ ensemble des nombres réels positifs ou nuls, donc l'ensemble des $x\geqslant 0$
$\mathbb{R}^{*+}$ ensemble des nombres réels strictement positifs, donc l'ensemble des $x> 0$

L'inégalité stricte qui nous a occupé un moment c'était parce qu'il était demandé si f tel que $f(x)=ax^2$ avec $a>0$ était ou non strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$....

Pour comparer des nombres, l'inégalité au sens large suffit :
$\forall a,b \in \mathbb{R}, a\leqslant b\Leftrightarrow\,a-b \leqslant 0$ ou $a-b\in \mathbb{R}^-$
$\forall a,b \in \mathbb{R}, a\geqslant b\Leftrightarrow\,a-b \geqslant 0$ ou $a-b\in \mathbb{R}^+$
[tex](-0,701)-(-0,702)=-0,701+0,702=+0,001[/tex] (le + devant 0,001 n'est pas nécessaire, mais je l'ai mis volontairement pour insister)
Donc les deux écritures sont équivalentes
$(-0701)-(-0702) \in \mathbb{R}^+$
$(-0701)-(-0702) \geqslant 0$
La première étant celle qu'on donnait il y a déjà un certain temps, elle fait plus savante...
Dans les deux cas peu importe l'écriture, tu conclus que [tex]-0,701\geqslant -0,702[/tex]

Ta méthode ne marche que si tu disposes de 2 nombres précis, et tant qu'on ne cherche pas à savoir comment tu fais...
Tu as bien vu que dans le cas de ta fonction, quand tu cherchais à savoir si partant de $x_1<x_2$, tu avais $f(x_1)<f(x_2)$ impossible d'utiliser la droite réelle...
Et c'est pourquoi vous êtes passés par la recherche du signe de $f(x_1)-f(x_2)$, donc que vous cherchiez à savoir si cette différence était strictement positive ou strictement négative ou encore si elle appartenait à $\mathbb{R}^{*+}$ ou $\mathbb{R}^{*-}$

Je pense que la définition, que tu l'écrives sous sa forme "savante" ou pas (on n'utilise plus qu'elle à partir d'un certain niveau) , éclaire d'un jour nouveau la méthode dont ton prof t'a dit qu'elle était plus simple...

@+

yannD · 26-03-2019 20:31:24

Oui, impossible d'utiliser la droite des réels parce que on part de x1 et x2 tel que x1 < x2
et x1 c'est peut être 0, mais ça peut aussi être 1, 2 3 etc…
comme on n'a pas de valeurs bien précises, on ne peut pas l'utiliser

yannD · 02-04-2019 14:54:53

Bonjour Yoshi, au #29 : c' est plus simple parce que en factorisant on a un double produit et c'est plus facile pour nous…
Donc je me suis mal exprimé…

https://i.postimg.cc/YSf51bvJ/Capture-d … -46-26.png

yoshi · 02-04-2019 16:17:15

Re,

Bonjour Yoshi, au #29 : c' est plus simple parce que en factorisant on a un double produit et c'est plus facile pour nous…

Suis allé voir le post #29 : je ne vois pas le rapport avec le double produit... Quand on développe (a+b)² ou (a-b)² on a un terme qui est 2ab et c'est le double produit. Où est le rapport ? Tu veux dire produit d'une somme par une différence...

Ton lien: c'est un corrigé de ton prof...
Il est clair.

@+

yannD · 02-04-2019 16:34:21

Oui, je me suis encore mal exprimé, ce n'est pas un double produit
mais un produit de 2 facteurs

Dernière modification par yannD (02-04-2019 16:34:52)

yannD · 02-04-2019 16:44:31

et pour reparler de la démonstration…
a) On va mettre les définitions directement sous cette forme :
• pour la fonction croissante
a a - b < 0
f(a) < f(b) <=> f(a) - f(b) < 0
• pour la fonction décroissante
a a - b < 0
f(a) > f(b) <=> f(a) - f(b) > 0

b) On passe à la démonstration
Ainsi pour démontrer que $f(x) = x^2$ est croissante sur [0;+∞[
• On prend 2 valeurs quelconques a f(b) et il est plus simple d'étudier le signe de leur différence

=> et c'est là que c'est intéressant à comprendre : oui, c'est plus simple parce qu'en factorisant $a^2 - b^2 $ on va avoir 2 expressions

Dernière modification par yannD (02-04-2019 16:48:20)

yoshi · 02-04-2019 17:19:33

Re,

on va avoir 2 expressions

Non, une seule qui est un produit de deux facteurs : une somme par une différence...

@+

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#51 25-03-2019 21:24:37

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#52 25-03-2019 21:32:12

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#53 25-03-2019 22:22:02

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#54 25-03-2019 22:57:04

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#55 26-03-2019 13:38:07

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#56 26-03-2019 15:23:22

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#57 26-03-2019 16:48:23

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#58 26-03-2019 18:26:31

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#59 26-03-2019 18:58:59

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#60 26-03-2019 19:11:01

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#61 26-03-2019 20:03:20

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#62 26-03-2019 20:31:24

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#63 02-04-2019 14:54:53

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#64 02-04-2019 16:17:15

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#65 02-04-2019 16:34:21

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#66 02-04-2019 16:44:31

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#67 02-04-2019 17:19:33

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

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