Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 21-03-2019 15:07:32

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

Bonjour,
J'ai un exercice qui me demande de montrer que la fonction  x - > ax² est croissante ou pas sachant que a > 0
Je pense qu'elle est croissante du coup  vu que a > 0

Il est écrit :
On suppose que dans cette question a > 0
Démontrer que la fonction f  :  x -> ax² est strictement croissante sur  [0;+∞]

Maintenant comment je pourrais démontrer que la fonction est strictement croissante sur [0;+∞] ?
J'ai pensé faire un tableau de variations, je ne sais pas si c'est cela qu'il faut faire mais je crois que j'ai besoin de b/2a dont je n'ai absolument pas compris l'utilité.

Dernière modification par yannD (21-03-2019 15:26:28)

Hors ligne

#2 21-03-2019 15:16:32

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

Salut,

tu es sûr que ce ne serait pas $a < 0$ ?


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#3 21-03-2019 15:23:27

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

Bonjour Freddy
Merci de me répondre rapidement.
Je vais vérifier mais il me semble que c'est a > 0

Hors ligne

#4 21-03-2019 15:31:09

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

Il est écrit :
On suppose que dans cette question que a >0
Démontrer que la fonction f : x -> ax² est strictement croissante sur [0;+∞]
Je pense qu'elle est croissante du coup vu que a >0 mais je ne suis pas sûr que c'est une fonction de second degré, car elles peuvent s'écrire aussi sous la forme ax² +bx +c
Et pour démontrer que f : x -ax² est croissante sur [0;+∞] j'ai pensé faire un tableau de variation mais je  crois que j'aurais besoin de b/2a dont je n'ai absolument pas compris l'utilité…

Dernière modification par yannD (21-03-2019 15:39:42)

Hors ligne

#5 21-03-2019 15:56:57

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

Si $a > 0$ , la réponse est alors : non !

Calcule la dérivée et regarde !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#6 21-03-2019 16:01:38

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 072

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

yannD a écrit :

Il est écrit :
Je pense qu'elle est croissante du coup vu que a >0 mais je ne suis pas sûr que c'est une fonction de second degré, car elles peuvent s'écrire aussi sous la forme ax² +bx +c

Bonjour,

je ne comprends pas bien ce que tu veux dire par là...

f : x --> [tex]ax^2[/tex] est une fonction du second degré.

Je ne sais pas si tu as vu les dérivées de fonctions, mais si tu veux montrer que f : x --> [tex]ax^2[/tex] est strictement croissante pour x>0, tu peux par exemple comparer f(x+h) et f(x) avec h>0


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#7 21-03-2019 16:06:36

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

OK, j'ai mal lu et ai cru voir $x-ax^2$, ce que notre ami vient de corriger sans le dire ;-)
Maintenant, c'est oui si $a>0$


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#8 21-03-2019 16:15:07

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 072

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

@Freddy,

j'avais lu comme toi [tex]x-ax^2[/tex] et avais cru comprendre qu'il y avait une deuxième fonction dans cette histoire, dont je me demandais ce qu'elle faisait là...

Dernière modification par Zebulor (21-03-2019 16:15:39)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#9 21-03-2019 16:39:29

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

Désolé, j'aurais dû dire que j'avais rectifié,
c'est bien $ax^2$
Au départ, je cherchais un truc pour faire la petite flèche, et après l'avoir modifié, j'ai continué de me servir du même copier-coller

Dernière modification par yannD (21-03-2019 16:49:56)

Hors ligne

#10 21-03-2019 16:47:39

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 072

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

@yann : rien de grave..


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#11 21-03-2019 16:51:29

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

Ce n'est pas un devoir à rendre tout de suite, j'ai recopié au tableau, et  j'ai lu $x - ax^2$

Hors ligne

#12 21-03-2019 16:56:30

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

Donc, là, j'ai un exercice qui me demande si  la fonction ax² est strictement croissante ou pas sachant que a > 0.
Je pense qu'elle est croissante vu que a > 0 mais je ne suis pas sûr que c'est une fonction de second degré parce qu'elles peuvent aussi s'écrire  sous la forme ax² + bx + c

Hors ligne

#13 21-03-2019 17:31:49

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 944

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

RE,

mais je ne suis pas sûr que c'est une fonction de second degré parce qu'elles peuvent aussi s'écrire  sous la forme ax² + bx + c

Et si b=c =0, elle s'écrit comment ta fonction ?
Le degré d'une fonction c'est le degré du terme qui a le plus grand exposant...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#14 21-03-2019 17:54:29

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

Bonjour Yoshi,

ax² + bx +c
si b=c=0
ax²  + x
euh, non, c'est X * 0
donc ax²

Dernière modification par yannD (21-03-2019 17:55:50)

Hors ligne

#15 21-03-2019 18:02:24

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

Donc ax²  est une fonction de second degré si b et c sont égales à 0.

Hors ligne

#16 21-03-2019 18:31:14

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 944

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

Oui, non. Je ne suis pas sûr de ce que tu as voulu dire...

ax²  est une fonction de second degré si b et c sont égales à 0.

Si tu as voulu écrire "même si" alors oui.
Si tu as voulu écrire "seulement si" alors non, c'est faux.

[tex]ax^2+bx[/tex] est aussi du 2nd degré...
Tout comme [tex]ax^2+c[/tex] également !

La seule condition c'est $ a\neq 0$...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#17 21-03-2019 19:01:58

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

j'ai voulu dire ça :
je pars de : ax² + bx +c
et si b=c=0
j'obtiens ax² + b*0 + 0 = ax²

Hors ligne

#18 21-03-2019 19:42:29

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 944

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

Re,

Ok : Mais ce n'est pas du tout ce que tu as écrit...
Parce que toi, tu trouves que cela :
ax²  est une fonction de second degré si b et c sont égales à 0.
veut dire la même que ton explication de reste du post précédent ?


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#19 21-03-2019 20:09:56

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

Maintenant comment pourrais-je démontrer que la fonction est croissante sur  [0;+∞] ?
J'ai peut-être pensé à faire un tableau de variation mais je crois que j'aurais besoin de b/2a et si je n'ai plus la forme ax² + bx + c je vois pas trop comment faire le tableau

Hors ligne

#20 21-03-2019 20:41:22

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 944

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

Re,

je crois que j'aurais besoin de b/2a

Non, de -b/2a et si tu considères $ax^2$ comme une fonction carré

si je n'ai plus la forme ax² + bx + c je vois pas trop comment faire le tableau

[tex]f(x)=ax^2+0x[/tex]
b=0  et -b/2a = ?
Ou alors, tu reviens à la défnition :
Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I, si et seulement si quels que soient $x_1$ et $x_2$ de I, et $x_1 < x_2$, alors $f(x_1)<f(x_2)$...
On a déjà fait cette démonstration en 2018, en plus compliqué...
$f(x_1)=ax_1$
$f(x_2)=ax_2$
$f(x_2)-f(x_1)=ax_2^2-ax_1^2=a(x_2^2-x_1^2)=\cdots$
et tu dois en déduire que sur [0 ; +oo[ $f(x_2)-f(x_1)>0$ donc que $f(x_2)>f(x_1)$

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#21 21-03-2019 20:49:46

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

f(x) =  ax² + 0x
b = 0 et -b/2a =-0/2a
Pour montrer que ax² est croissante sur [0;+∞] il faut que f(x1) - f(x2) >0 donc que ax1² - ax2² > 0

Dernière modification par yannD (21-03-2019 20:59:58)

Hors ligne

#22 21-03-2019 21:19:54

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 944

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

Oui à condition de partir de x1>x2 et ça figure où dans ce que tu écris ?

Moi, je t'ai écrit :

Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I, si et seulement si quels que soient $x_1$ et $x_2$ de I, et $x_1 < x_2$, alors $f(x_1)<f(x_2)$..

Il était bien précisé les 2 sens :
En prenant  $x_1 < x_2$ on doit avoir $f(x_1)<f(x_2)$

Donc, tu as aussi le droit de prouver qu'en partant $x_1 > x_2$ on aura $f(x_1)>f(x_2)$

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#23 24-03-2019 14:03:47

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

Bonjour, en relisant le # 21, je m'aperçois d'une erreur…

J'ai écrit : Pour montrer que ax² est croissante sur $[0;+∞[$ , il faut que f(x1) - f(x2) > 0
et c'est pas ça, mais plutôt :
pour montrer que ax est croissante $[0;+∞] $ , j'ai besoin de montrer que f(x1) - f(x2) < 0 donc montrer que ax1² - ax2² < 0

Hors ligne

#24 24-03-2019 14:56:03

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 944

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

Re,

Non, ça marche sans les deux sens :
[tex]\forall x_1,\,x_2 \in [0\,;\,+\infty[,\,x_2>x_1\Rightarrow\;f(x_2)>f(x_1)[/tex]
ou
[tex]\forall x_1,\,x_2 \in [0\,;\,+\infty[,\,x_1<x_2\Rightarrow\;f(x_1)<f(x_2)[/tex]

Si tu as [tex]x_1<x_2[/tex] et que tu le lis de droite à gauche, tu as bien [tex]x_2>x_1[/tex]
De même [tex]f(x_1)-f(x_2)<0[/tex] tu peux en déduire que [tex]f(x_1)<f(x_2)[/tex] ou en le lisant de droite à gauche [tex]f(x_2)>f(x_1)[/tex]

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#25 24-03-2019 20:14:21

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

Bonsoir Yoshi, alors pour montrer que la fonction f(x) = x² est strictement croissante sur $[0;+∞[$
j'ai mis :
• je prends 2 valeurs quelconques $x1 < x2$  dans $[0;+∞[$ 
• je veux voir si $f(x1) < f(x2)$ ou si $f(x1) > f(x2)$ c'est à dire si $ax1² - ax2² < 0$ ou si $ax1² -ax² >0$
• si $ax1² - ax2² < 0$, et comme $x1 < x2$ alors $f(x) $  est croissante
• si $ax1² - ax2² > 0$ , et comme c'est un ordre contraire à $x1 < x2$ alors f(x) est décroissante
• Il faut donc étudier le signe de $ax1² - ax2²$ en factorisant  $ax1² - ax2² = a(x1 - x2) (x1 + x2)$
         • Signe de $(x1 + x2)$ : c'est la somme de 2 nombres positifs
         • Signe de $(x1 - x2)$ : on a pris $x1 < x2$ donc  $x1 - x2 < 0$
Produit d'un nombre positif et d'un nombre négatif donc on a montré que $ax1² - ax2² < 0$ , la fonction $f(x) = x²$ est bien croissante sur $[0;+∞[$

Dernière modification par yannD (24-03-2019 20:16:36)

Hors ligne

Pied de page des forums